Este documento contiene varios ejercicios de optimización utilizando diferentes métodos como Lagrange, matriz jacobiana y condiciones de Kuhn Tucker. El primer ejercicio busca maximizar una función sujeta a una restricción usando el método de Lagrange. Otro ejercicio calcula el determinante jacobiano de una función. Finalmente, se describen las condiciones de primer orden de Kuhn Tucker para minimizar una función.

1. EJERCICIOS DE MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN
República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Optimización de Sistemas y Funciones
Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez
Realizado por:
Br. Ervin J. La Rosa
C.I. 21.323.331
Porlamar, Junio 2014

2. EJERCICIO MÉTODO DE LAGRANGE
Se Necesita Optimizar la siguiente Función
Optimizar Z = 6x3-3y2
Sujeta a la siguiente restricción
s.a = 4x + 2y = 40
Según el método de LaGrange, se aplica la formula L = Z - λ(s.a)
L = 6x3-3y4– λ (4x + 2y = 40)
Salen las 3 ecuaciones
x = 18x2 - 4 λ = 0
y = 12y3 - 2 λ = 0
4x + 2y – 40 = 0

3. EJERCICIO MÉTODO DE LAGRANGE
De manera que:
λ = 4.5x2 = 6y3
Se descubre el valor de x
4x + 4x – 40 = 0  x* = 5
Se descubre el valor de y
4(5) + 2y = 40
y=(-20+40)/2
y*=10
λ = 22.5
Función Optimizada = F(x) = 450

4. EJERCICIO MATRIZ JACOBIANA
El determinante jacobiano de la función F : R3 → R3 definida como:
F (x, y, z) = (x2 + seny , 5y , 4z2)
Se Construye la matriz jacobiana derivando cada variable
J (x, y, z) = 2x cosy 0
0 5 0
0 0 8Z
SE CALCULA EL DETERMINANTE JACOBIANO ELIMINANDO LA MATRIZ CON MAYOR
CANTIDAD DE CEROS (0)
= 5 . 2X 0 = 10X
0 8Z
{ }
| |

5. EJERCICIO CONDICIONES DE KUHN TUCKER
Minimizar la siguiente función
El problema puede ser graficado con
software tal como “Geobra”
Las condiciones de tucker de primer
orden vienen dadas por:

6. EJERCICIO CONDICIONES DE KUHN TUCKER
Como las condiciones aun no están
restringidas se activa de forma
simultanea:
Al calcular los gradientes respectivos
se obtiene:
Lo cual da origen al siguiente sistema
de ecuaciones:
Reemplazando x1=2 y x2=1 podemos
despejar los valores de los
multiplicadores los cuales cumplen con
las condiciones de no negatividad:


7. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS
VARIABLES
Dada la función Z = f(x,y) = 2x2 + 3y2 + 18x – 24y +25
Determinar que tipo de punto critico posee
Primero se derivan las variables y para encontrar los
valores se iguala a 0
F(x)=4x + 18 = 0  F(y)= 3y – 24 = 0
Despejamos para ambas variables para conseguir los
valores (x,y):
4x = -18 3y = 24
X= -18/4 = -4,5 y = 24/3 = 8

8. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS
VARIABLES
Ahora se sustituyen los valores encontrados en la
función f(x,y)
F(-4.5 , 8) = 2(-4.5)2 + 3(8)2 + 18(-4.5) – 24(8) +25
F(-4.5 , 8) = 2(20.25) + 3(64) + (-81) – 192 + 25
F(-4.5 , 8) = 40.5 + 192 + (-81) – 192 + 25
F(-4.5 , 8) = -15.5
Quiere decir que el punto critico se localiza en el
punto (-4.5, 8, -15.5)

9. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS
VARIABLES
Para determinar la naturaleza del punto se deriva
nuevamente las variables
F(x)=4  F(y)= 3
Se evalúa el para determinar el criterio de punto
critico
D (-4.2, 8) = (4)(2) – [0]2
D (-4.2, 8) = 8 > 0
Como se determina que es mayor a 0, entonces el
punto es un mínimo relativo