El documento compara y contrasta el método de Lagrange y el método de Kuhn Tucker para la optimización de funciones sujetas a restricciones. El método de Lagrange reduce el problema restringido a un problema sin restricciones mediante la adición de multiplicadores de Lagrange. El método de Kuhn Tucker es una generalización que permite desigualdades en las restricciones. Ambos métodos utilizan derivadas parciales para encontrar puntos estacionarios de la función objetivo sujeta a las restricciones.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN MARACAIBO
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y EVALUACIÓN DE FUNCIONES
MÉTODO DE LAGRANGE y KUHN TUCKER
MÉTODO DE LAGRANGE
METODO KUHN TUCKER
Darwim Martinez
estudiante de ingeniería de sistemas
Asisnatura :
Optimizacion de sistemas

2. DEFINICION DEL METODO DE LAGRANGE
Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin
restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Método
para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones.
En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange, nombrados
así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajar con funciones
de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas
restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin
restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.

3. PASOS PARA APLICAR EL METODO DE LAGRANGE
 Ejemplo:
 Se desea Maximizar la siguiente función:
 Min Z = XY
 SA:
 X+Y =1
 Pasos para aplicar el método:
 PASO 1


Se coloca la función objetivo menos el coeficiente de Lagrange que multiplica a la
restricción (debe igualarse a cero la restricción). Nota: Cada restricción añada un λ, es decir
si hay dos condiciones entonces será λ1 y λ2
XY - λ (x + y -1)

4. PASO 2
Se realiza la derivada de cada una de las variables, recuerde que la derivada de la
función con respecto a λ es la condición o restricción dada, la cual debe ser
igualada a cero.
 ∂/∂x = y -λ = 0
 ∂/∂y = x - λ = 0
 ∂/∂λ = x + y -1 = 0

5. PASO 3
Resolver el sistema de ecuación que queda, por cualquier método:
X = Y = 1/2

6. EJERCIOS PARA RESOLVER DE PRACTICA
1.
SA:
Min Z= X3 + Y3 – 9XY
R DE Y – X = 0
VVPRACTICA
2.
SA:
4.- Min Z = XY
SA:
X² + Y² = 1
Min Z = XYW
2X + 2Y + W = 108
3.
Min V = XYZ
SA:
x+y+z-9=0
5. Mín Z = X² + (Y-2)²
SA:
X² - Y² = 1
6. Min F = X2 Y
SA:
X2 + 2Y2 = 6

7. DEFINICION DEL METODO DE KUHN TUCKER
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones
KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución
de un problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización del
método de los Multiplicadores de Lagrange.
son el resultado analítico más importante en programación no lineal, se
desarrollaran estas condiciones en dos pasos por conveniencia de exposición. En
primer lugar se analizan las condiciones de no negatividad, para en el paso posterior
desarrollar un problema con las condiciones de desigualdad tanto para
maximización como para minimización.

8. PASOS PARA APLICAR EL METODO DE KUHN TUCKER
Se desea Maximizar la siguiente función:
Maximizar
x - 2y
SA:
3x + 2y ≤ 6
2x - 5y ≥ 0
PASO 1
Se revisa la función objetivo. Si es un problema de minimización se debe multiplicar a toda la
función por (-1). En este caso es maximización, no es necesario.

9. PASO 2
Se coloca la función objetivo menos el coeficiente de Lagrange que multiplica a la
restricción (debe igualarse a cero cada restricción). Nota: Cada restricción añada un λ, es
decir si hay dos condiciones entonces será λ1 y λ2. Si la restricción es de signo ≥ se debe
multiplicar a toda la expresión por (-1). En caso contrario no se realiza esta operación.
X – 2Y - λ1 (3X + 2Y - 6) - λ2. (-2X + 5Y) NOTA: en la segunda restricción se multiplicó por (-1)
debido al signo de su igualdad.

10. PASO 3
Se realiza la derivada de cada una de las variables,
recuerde que la derivada de la función con respecto a λ
es la condición o restricción dada, la cual debe ser
igualada a cero.
∂/∂x = 1 - 3λ1 + 2λ2 = 0
∂/∂y = -2 -2λ1 - 5λ2 = 0
∂/∂λ1 = 3X + 2Y - 6 = 0
∂/∂λ2 = -2X + 5Y = 0

11. PASO 4
Resolver el sistema de ecuación que queda, por cualquier método:
-3 λ1 + 2λ2 = -1
-2λ1 - 5λ2 = 2
3X + 2Y = 6
- 2X + 5Y = 0
X = 30/19; Y = 12/19;
λ1 = 1/19; λ2 = -8/19

12. EJERCIOS PARA RESOLVER DE PRACTICA
1. Max Z= Y2 – 2X – X2
SA:
Y2 + X2 – 1 ≤ 0
2. Max Z= -(X-1)2-(Y-1)2
SA:
X+Y ≤3
3. Max Z= (X-1)2 + Y2
SA:
-x2 + y ≤ 0
x+y=2

13. DIFERENCIAS ENTRE EL METODO DE LAGRANGE Y EL METODO
DE KUHN TUCKER

14. VS
 UNAS DE LAS PRINCIPALES DIFERENCIAS ES QUE UNA FUE CREADA CON EL FIN
DE DAR SOLUCIONES A PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA PROGRAMACION
LINEAL.
 KUHN SE ENFOCA MAS EN UNA CANTIDAD DE CASOS PROGRAMATICOS.
 LAGRANGE ENFOCADO EN METODOS MATEMAICOS Y AUNQUE ES MAS ANTIGUO
SU METODO TIENDE A SER MAS IMPORTANTE QUE EL METODO DE KUHN.

15. En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de
Lagrange se interpretan como constates variables, y los
multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevo como
la minimización del hamiltoniano , en el principio mínimo
de Pontryagin.
El teorema de Kuhn radica en que nos dice que
podemos asociar una función de utilidad a unas
preferencias, esto nos abre la puerta de la potente
herramienta del análisis matemático al estudio del
comportamiento del consumidor.
Lagrange permite Identificar, a través de los
simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva
correspondiente a la función restricción donde la función
principal tiene extremos.