Los multiplicadores de Lagrange son una técnica para resolver problemas de optimización no lineales sujetos a restricciones. Se forma el lagrangiano agregando términos que involucran a los multiplicadores de Lagrange y las restricciones. Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las derivadas parciales del lagrangiano respecto a las variables originales y los multiplicadores, se obtiene la solución del problema de optimización. Otra técnica explicada es el método del gradiente, que iterativamente actualiza las variables moviéndose en la dirección opuesta

1. Multiplicadores de Lagrange.- Se pueden utilizar estos multiplicadores para resolver problemas no lineales. Consideremos los del tipo siguiente: max(o min) z=f(x1,x2,…,xn) con las siguientes restricciones como igualdades g1( x1,x2….,xn)=b1 g2( x1,x2….,xn)=b2 gm( x1,x2….,xn)=bm Para resolverlo asociamos un multiplicador li con cada restricción y formamos el lagrangiano L(x1,x2,…xn,l1,l2,….lm)=f(x1,x2….,xn)+sumatoria li[bi-gi(x1,x2….,xn)] Donde li son constantes desconocidas denominadas multiplicadores de Lagrange. Despues resuélvase el sistema de n+m ecuaciones: dL/dxj=0 (j=1,2,….,n) dL/dlj=0 (j=1,2,….,m) Se tiene el programa no lineal siguiente: max z = -2x^2-y^2+xy+8x+3y s.a. 3x+y=10 Entonces L(x,y,l)=-2x^2-y^2+xy+8x+3y+l(10-3x-y) Hacemos dL/dx=dL/dy=dL/dl=0 Esto da dL/dx=-4x+y+8-3l=0 dL/dy=-2y+x+3-l=0 dL/dl=10-3x-y=0

2. De la solución de este sistema salen los siguientes valores: x=71/14 y=73/14 z=-33/14 Se aclara que no siendo un proceso de simplex las variables pueden ser positivas o negativas.

3. Veamos este otro ejercicio: 0,25x1+0,4x2<=500 0,75x1+0,6x2<=1200 z=250x1+(600-x2)x2 Maximizar 0,25x1+0,4x2+x3^2=500 0,75x1+0,6x2+x4^2=1200 Variable floja al cuadrado para que sea + x1>=0 x1-x5^2=0 x2>=0 x2-x6^2=0 L=250x1+600x2-x2^2+l1(500-0,25x1-0,4x2-x3^2)+l2(1200-0,75x1-0,6x2-x4^2)+ +l3(-x1+x5^2)+l4(-x2+x6^2) dL/dx1=250-0,25l1-0,75l2-l3 dL/dx2=600-2x2-0,4l1-0,6l2+2l3x5-l4 dL/dx3=-2l1x3 dL/dx4=-2l2x4 dL/dx5=2l3x5 dL/dx6=2l4x6 dL/l1=500-0,25x1-0,4x2-x3^2 dL/l2=1200-0,75x1-0,6x2-x4^2 dL/l3=-x1+x5^2 dL/l4=-x2+x6^2

4. Haciendo estas derivadas iguales a cero y si se puede resolver el sistema se llegará a la solución buscada.

5. Técnicas de gradiente.- Consideremos el maximizar la función f(x1,x2)=4x1+6x2-2x1^2-2x1x2-2x2^2 A esta es una función cuadrática cuyo óptimo absoluto ocurre en (x1,x2)=(1/3,4/3). Tomemos como punto inicial xA=(1,1). Ahora calculamos el gradiente Delta f(x)=(4-4x1-2x2,6-2x1-4x2) Primera iteración.- Para el punto que se elige inicialmente xA=(1,1) el gradiente da Delta f(xA)=(-2,0) El punto siguiente xB se obtiene considerando xB=(1,1)+r(-2,0)=(1-2r,1) Por consiguiente aplicando esta x en la primera ecuación A tenemos 4(1-2r)+6-2(1-2r)^2-2(1-2r).1-2 y el valor máximo de esta función se halla para r=1/4 y entonces xB=(1/2,1). Para este valor Delta f(x)xB=(0,1) y xC=(1/2,1)+r(0,1)=(1/2,1+r) aplicando este valor en la primera ecuación tenemos 4(1/2)+6(1+r)-2(1/2)^2-2(1/2)(1+r)-2(1+r)^2 y el valor máximo de esta ecuación se halla para r=1/4 y así continuando llega el punto xC=(1/2,5/4) para luego seguir con el procedimiento