El documento presenta dos métodos para resolver problemas de optimización: el método de Lagrange y el método de Jacobiano. El método de Lagrange se usa para encontrar los valores máximos y mínimos de una función sujeta a una restricción, resultando en cuatro puntos extremos. El método de Jacobiano resuelve un sistema de ecuaciones iterativamente cuando la matriz es diagonalmente dominante, encontrando una solución aproximada con un error del 86% después de la primera iteración. Finalmente, se introduce brevemente el método de Kuhn Tucker para problemas de optimización con restriccion

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y FUNCIONES
Alumno: Stalin Meza
C.I.: V-17.090.049

2. Método de Lagrange
¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función
, sobre el círculo ?
Solución:
Se pide calcular los valores extremos de la función
sujeta a la restricción
Calculamos los gradientes:
Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:
2x 2x ……ec nº 1
4y   2y ……ec nº 2
1 2 2 x  y  ……ec nº3
Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:
  2 2 f x, y  x  2y
2x 2x
2x 2x  0
2x1   0

3. entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones.
x  0 y   1,
Si x=0 en la ec nº4 se obtiene:
Luego si , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3,
Como consecuencia tal vez tiene valores extremos en los puntos:
(0,1)
(0,-1)
(1,0)
(-1,0)
Al evaluar a en esos cuatro puntos se encuentra que:
Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos:
(1,0) y (-1,0).

4. Método de Jacobiano
Dado el sistema de ecuaciones
12x1+5x2-x3=15
X1-6x2-4x3=9
2x1-3x2+8x3=5
Con valores iniciales x1= 1 , x2= 3 , x3= 2
Solución:
Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante, si todas las desigualdades se cumplen la solución
debe converger por este método.
12 5 -1
1 -6 -4
2 -3 8
12 >= 5 + -1 = 6
-6 >= 1 + -4 = 5
8 >= -2 + -3 = 5

5. Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de 2 y x3 de 3.

15

























 
12 5 1




9
5
x
x
x
1 -6 -4
2 -3 8
1
2
3
15 5 2 3
12
1
x x
x
 

9 4 1 3
-6
2
x x
x
 

5 2 3 1 2
8
3
x x
x
 


6. Para los valores iniciales;
X1=1
X2= 3
X3=2
12
15 5
1
(3) 2
x
 
 = 0.1666
9 4
-6
2
1 (2)
x
 
 = -2.6666
5 2 3 1
8
3
(1) (3)
x
 
 = 1.50
Iteración # 1
X1=0.1666
X2=-2.6666
X3=1.125

7. Ahora calculamos el error absoluto relativo aproximado:
   
100 500%
1
a
0.16666- 1
0.16666
    a
100 212.50%
2
2.6666-3
2.6666
   
100 33.33%
3
a
1.50-2
1.50
El máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 86%.

8. Sean:
- la función objetivo :
- Las restricciones :
Kuhn Tucker
Supondremos que tanto la función objetivo como las restricciones son
diferenciables. Vamos a considerar el siguiente problema de optimización:
Donde
Definición: Diremos que x verifica KT si existe un λ tal que:

9. Tenemos los siguientes resultados: