Este documento presenta una serie de 33 problemas de modelado matemático que involucran conceptos como crecimiento exponencial, funciones logarítmicas, depreciación, análisis de equilibrio, y modelado de poblaciones y procesos. Los problemas abarcan temas como bacterias, ventas, publicidad, costos, temperatura, áreas, y más, y deben resolverse usando expresiones matemáticas dadas o determinando constantes.

1. MODELAJE MATEMÁTICO
1. Una bacteria se reproduce según una ley geométrica: el primer día nacen 2, el
segundo día 4, el tercer día 8, el cuarto día 16, y así sucesivamente. Si cierto
día nacen 1 048 576, halla la suma de los dígitos del total de bacterias que hay
hasta ese día.
2. Una empresa comercial dona artefactos eléctricos a una asociación benéfica.
El primer año dona 333, y así sucesivamente. Si S es el total de artefactos
donados hasta el duodécimo año, halla la diferencia de la suma de las cifras
que ocupan el lugar impar.
3. Antonio tiene una deuda con un banco. El primer mes le cobran un interés de
S/.11, el segundo mes un interés de S/.101, el tercer mes S/.1 001, el cuarto
mes S/. 10 001, y así sucesivamente. Halla el producto de las cifras del interés
acumulado hasta el décimo mes.
4. Una piedra es lanzada, describiendo un movimiento parabólico, cuya función
es h(t)=40t - 5 , donde h es la altura en metros y t está dado en segundo. ¿En
qué tiempo la piedra estará descendiendo y se encontrará a 60 metros del
suelo? ¿Después de cuánto tiempo comienza a descender? Dibuja la gráfica
respectiva.
5. Un cable cuelga libremente. Si el punto mas bajo del cable está a 5m del
suelo, ¿A que altura h se encuentra un punto de cable si su distancia
horizontal l, medida desde el punto mas bajo, es de 8m? El problema se
L L
k k k
resuelve la siguiente expresión: h e e
2
h
k
L
6. En un estudio sobre la reproducción de la trucha de río, se estima que en un
determinado criadero hay 200 truchas. Transcurrido un año, se contabilizan
360 truchas en dicho criadero. Si suponemos que el crecimiento es
exponencial, calcula cuántas truchas habrá cuando trascurren tres años.
7. Una tienda comercial pone en promoción uno de sus artículos. Suponiendo que
la promoción durará seis días y que cada día se venderá el doble del anterior,
calcular:
a) El número de artículos que se venderá el tercer día, si el primer día
vendieron treinta artículos.
b) El número de artículos que se venderá el último día.

2. c) El número total de artículos vendidos durante la promoción.
8. Algunos tipos de bacteria tienen un crecimiento muy rápido de su población. La
bacteria Escherichia coli puede duplicar su población cada 15 minutos. Si se
hace un cultivo en el que inicialmente hay 5 000 bacterias de este tipo,
¿Cuántas habrá al cabo de cuatro horas?
9. En una colonia de insectos, cuya población es controlada cada año, se observa
que en diez años no ocurrió ningún suceso que alterase su ley de crecimiento.
La población existente cada año era los 4/3 del año anterior. Si el año que
empezó el estudio había 7 290 ejemplares, ¿Cuántos había al cabo de 6 años?
10. (Propagación de una enfermedad) Suponga que el número de casos
diagnosticados de SIDA crece de manera exponencial. En Columbia Británica,
el número de tales casos fue 88 en 1985 y 330 en 1987. Exprese este número
en la forma a e b t en donde a y b son constantes y t es el tiempo medido en
años a partir de 1985. Con base a este modelo, ¿Cuántos casos habrá en
Columbia Británica en los años 1 995 y 2 000?
11. (Curva de aprendizaje) El número de artículos producidos reducidos por hora
en una línea de producción aumenta conforme se producen más artículos.
0.02 x
Suponga que P( x) 30 15 e en donde P es la tasa de producción
después que x unidades han sido producida. Calcula P(0) y P(100). ¿A qué
valor se acerca P(x) conforme x se hace cada vez más grande? Interprete este
valor.
12. (Expulsión de nitrógeno) Cuando se administra oxígeno a un paciente, la
cantidad de nitrógeno eliminado de los pulmones del paciente aumenta de
acuerdo con la fórmula V 1 e k t litros, en donde t es el tiempo en minutos y
k=0.2 ¿Después de cuántos minutos se eliminó el 90% de nitrógeno?
13. (Población de bacterias) La población de Bacterias en el estómago de una
persona que ha ingerido comida infectada, se expande por división celular
duplicándose cada 20 minutos. Si había mil bacterias inicialmente, expresar el
tamaño de la población después de t minutos utilizando la fórmula y a .2 b t y
determine las constantes a y b. ¿A los cuántos minutos habrá 10 000 bacterias
?.
14. (Magnitudes estelares) La magnitud M de una estrella o planeta está definida
5 B
por M . Log a donde B es la brillantes y B 0 es una constante. El
2 B0
planeta Venus tiene una magnitud promedio de -3.9 y la estrella popular, de
2.1. En promedio, ¿Cuántas veces es Venus más brillante que la estrella
polar?.
15. (Escala de Richter). La magnitud R de un terremoto está definida como
A
R Log en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una
A0
constante. (A es la amplitud de la vibración de un sismógrafo estándar
localizado a 100 km del epicentro del terremoto) el terremoto de 1964 en
Alaska midió 8.5 en la escala de Richter. El mayor terremoto registrado midió
8.9 . ¿Cuánto más intenso fue este terremoto que el de Alaska?.

3. 16. (Escala de decibeles) El volumen L de un sonido esta definido en decibeles
I
como L 10 Log donde uno es la intensidad del sonido (La energía
I0
cayendo en una unidad de área por segundo) e I 0 es la intensidad del sonido
más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una
habitación tranquila tiene un nivel sonoro promedio de 35 decibeles. Una
conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles. El umbral de
I
dolor ocurre aproximadamente a 140 decibeles. Calcule para cada
I0
uno de esto tres niveles de sonido.
17. (Radioterapia) cuando se someten a tratamiento de radiación las células
cancerosas, la proporción de células sobrevivientes al tratamiento esta dado
por P e k r j donde r es el nivel de radiación y k una constante. Se ha
encontrado que el 40% de las células cancerosas sobreviven cuando r= 500
Roentgen. ¿Cuál debe ser el nivel de radiación para que solo sobreviva el 1
%?.
18. (Ley de Enfriamiento de Newton) Un cuerpo a una temperatura T por encima a
kt
la del medio que lo rodea, se enfría de acuerdo con la fórmula T T0 . e ,en
donde T 0 es la diferencia inicial de temperaturas t es el tiempo y k es una
constante. Se encontró que la diferencia de temperaturas descendió a la mitad
del valor inicial en 20 minutos. Si al inicio, T0 60 C , ¿Cuánto tiempo pasará
para que la diferencia de temperatura disminuya a 10 C ?.
19. (Crecimiento de Venta) Un producto nuevo fue introducido en el mercado en
t=0, y ha partir de ese momento sus ventas mensuales crecieron de acuerdo
kt 3
con la fórmula S 400 1 e . Si S=2 000 cuando t=10 (esto es, después
de 10 meses), determine el valor de k.
20. (Curva de aprendizaje) La eficiencia de un individuo para realizar una tarea
rutinaria mejora con la práctica. Sea t el tiempo que empleó con el aprendizaje
de la tarea y y una medida del rendimiento del individuo. (Por ejemplo, y podría
ser el número de veces, por hora que la tarea puede realizarse). Entonces una
kt
función que con frecuencia se utiliza para relacionar y con t es y A 1 e
donde A y k son constantes. (La gráfica de tal relación entre y y t se denomina
curva de aprendizaje). Después de una hora de práctica, una persona, en una
línea de ensamblado puede apretar 10 tuercas en 5 minutos. Después de 2
horas, la persona pueda apretar 15 tuercas en 5 minutos. Determine las
constantes A y k. ¿Cuántas tuercas puede apretar la persona después de
cuatro horas de práctica?
21. (Modelo logístico) Una población crece de acuerdo con el modelo logístico, con
1224 245 35
constantes y m .107 , C y k ln . Determine el tamaño
3 3 4
de la población cuando t = 0, 1 y 2.

4. 22. (Modelo Logístico) El peso de un cultivo de bacterias está dado por
2
y (t ) t
en donde t se mide en horas. ¿Cuál es el peso cuando t=0, 1,
1 32
2, y 4? .
23. Durante el otoño en promedio cada tres días muere la mitad de población de
moscas. Si inicialmente el tamaño de la población es de 1 millón, determine el
número de sobrevivientes de:
a) 3 semanas
b) T semanas
24. La población de cierta ciudad en el tiempo t (medido en años) está dado por
medio de la fórmula P 50 000 e 0.05 t calcule la población:
a) Cuando t =10
b) Cuando t=15
25. Cierta región con depresión económica tiene una población que está en
disminución. En 1970 su población era de 500 000, y a partir de ese momento
0.02 t
su población estaba dada por la fórmula P 500 000 e en donde t es el
tiempo en años. Encuentre la población en 1980. Suponiendo que esta
tendencia continúa, determine la población para el año 2000.
26. (Depreciación exponencial) Una máquina de compra en $ 10 000 y se deprecia
de manera continua desde la fecha de compra. Su valor de después de t años
0. 2 t
esta dado por la fórmula V 10 000 e .
a) Determine el valor de la máquina después de 8 años
b) Determine la disminución porcentual del valor de cada año.
27. (Análisis de equilibrio) Por medio de un examen a sus competidores, una
compañía manufacturera concluye que el número N de sus empleados
aumenta exponencialmente con su volumen de ventas semanales x de acuerdo
con la fórmula N 100 e0. 0 2 x .El costo promedio del salario es $ 6 por hora con
una semana laborable de 35 horas. El producto de la empresa se vende en $ 2
000 cada uno. Dibuje gráficas del pago semanal y de los ingresos semanales
como funciones de x para 10 < x < 130, y estime gráficamente el intervalo de
valores de x en el que la compañía puede obtener ganancias.
28. (Función de costo) Una compañía manufacturera encuentra que el costo de
producir x unidades por hora está dado por la fórmula
C ( x) 5 10. Log(1 2 x) calcule:
a) El costo de producir 5 unidades por hora
b) El costo extra por aumentar la tasa de producción de 5 a 10 unidades por
hora.
c) El costo extra por aumentar de 10 a 15 unidades por hora.
29. (Publicidad y ventas) Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y
que debe gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de su
400
producto está dado por y 200 Ln . Calcule el gasto publicitario que
500 x
se necesita para vender.
a) 100 unidades
b) 300 unidades

5. c) 490 unidades
30. (Función de Costo) Una compañía está ampliando sus instalaciones y tiene
opción para escoger entre dos modelos. Las funciones de costos son
C1 ( x) 3.5 Log (2 x 1) y C 2 ( x) 2 Log (60 x 105 ) donde x es la tasa de
producción. Encuentre la tasa x a la cual los dos modelos tienen los mismos
costos. ¿Para que valores grandes de x, cuál modelo es más barato?
31. El valor de una máquina se deprecia desde el momento en que se empieza a
kt
usar, según la fórmula: v (t ) A. e , donde t es el número de años de uso.
Así, después del primer año tenía un valor de S/. 1900. Si costó S/. 2 000,
¿Cuál será su valor luego de 2 años de uso?. Nota: no es necesario emplear
calculadora.
32. “t” semanas después del brote de una rara forma de gripe N1H1,
A
aproximadamente: f (t ) 1. 2 t
miles de personas estaban
4 76 . e
contagiadas. Si al inicio del estudio el número de contagios es de 1 000
personas, calcular el valor de A.
33. Con 306 metros de cerca se va a delimitar un terreno rectangular, de modo que
un lado del terreno aprovecha una pared ya existente. ¿Cuál es el área máxima
que puede tener el terreno cercado?.
34. Un tazón de sopa se enfría de 90 °C a 60 °C en 10 minutos, en una habitación
donde la temperatura es 20 °C. ¿Cuánto más tardará la sopa en enfriarse
hasta 35 °C?.