Demanda de factores: Nota de clase

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Demanda Condicional de Factores
Demanda no Condicionada de Factores
Anexo
Demanda Derivada de Factores
Mauro Gutiérrez Mart´ınez
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ciencias Económicas
gutierrez mauro@hotmail.com
septiembre 2016
Mauro Gutiérrez Mart´ınez Demanda de factores

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Anexo
Contenido
1 Demanda Condicional de Factores
Conceptos
Funci´on de costo m´ınimo
Propiedades de las elasticidades condicionadas
2 Demanda no Condicionada de Factores
Conceptos
Propiedades de las elasticidades de las demandas no
condicionadas
Efecto escala
3 Anexo

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Anexo
Conceptos
Demanda Condicional de Factores (I)
Demanda Condicional de Factores .
La demanda condicionada de Factores por el factor i es una
función que asigna para cada nivel de producción q y precios
w1, w2, la cantidad demandada de zi que permite alcanzar el
menor nivel de costo posible al productor. Denotamos esta función
como zC
i = zi (w1, w2, q)

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Anexo
Conceptos
Demanda Condicional de Factores (II)
Min{c1,c2}C = w1z1 + w2z2 s.a f (z1, z2) = q
Utilizando el lagrangiano
L = w1z1 + w2z2 + λ(q − f (z1, z2))
Obteniendo las condiciones de primer orden:
∂L
∂z1
= w1 − λf1 = 0
∂L
∂z2
= w2 − λf2 = 0
∂L
∂λ = q − f (z1, z2) = 0
De las condiciones de primer orden se desprende:
w1
w2
= f1
f2
De las condiciones de primer orden tenemos:
z1 = z1(w1, w2, q), z2 = z2(w1, w2, q) y λ∗
= λ(w1, w2, q).

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Anexo
Conceptos
Función de costo
Función de Costo M´ınimo.
Al reemplazar las funciones de demanda condicionada de factores
dentro de la función objetivo, se obtiene la función de costo
m´ınimo o función de costos de la empresas
C∗ = w1z1(w1, w2, q) + w2z2(w1, w2, q)
C∗ = C(w1, w2, q)

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Anexo
Conceptos
Propiedades de las elasticidades (I)
Lema de Shepard: costo m´ınimo y demanda derivada.
La derivada de la función de costo m´ınimo respecto al precio del
factor i es igual a la demanda derivada de dicho factor.
∂C∗
∂wi
= z∗
i (w1, w2, q)
Elasticidad precio de la demanda.
Es la variación porcentual de la demanda del factor como
consecuencia de la variación porcentual del precio del mismo:
ηS
ii =
∂z∗
i (w1,w2,q)
∂wi
wi
zi
=
∂lnz∗
i (w1,w2,q)
∂lnwi

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Anexo
Conceptos
Propiedades de las elasticidades (II)
La suma de las elasticidades es igual a cero.
Dado que la función de demanda condicionada es homogénea de grado
cero en precios de los factores
∂zi
∂wi
wi + ∂zi
∂wj
wj = 0 ⇒ ∂zi
∂wi
wi
zi
+ ∂zi
∂wj
wj
zi
= 0 ⇒
ηS
ii + ηS
ij = 0
Nota: Al cambiar proporcionalmente w1 y w2 en igual proporción, la pendiente de la
isocuanta no cambia, por lo que al mantener constante q, se ubica en el mismo punto
de tangencia.

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Anexo
Conceptos
Propiedades de las elasticidades (III)
Efectos sim´etricos.
∂zi
∂wj
= ∂C∗
∂wi ∂wj
=
∂zj
∂wi
⇒ wi zi
C∗
∂zi
∂wj
wj
zi
=
wj zj
C∗
∂zj
∂wi
wi
zj
⇒
αi ηS
ij = αj ηS
ji

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Anexo
Conceptos
Propiedades de las elasticidades (IV)
Elasticidad sustitución.
La Elasticidad de sustitución es la elasticidad de la relación de dos
argumentos de una función de producción con respecto a la
relación de sus productos marginales (o sus precios):
σ = −
∂ln(zi /zj )
∂ln(fi /fj ) = −
∂ln(z∗
i /z∗
j )
∂ln(wi /wj ) = −
dln(z∗
i /z∗
j )
dln(wi /wj )
σ = −
dln(z∗
i )−dln(z∗
j )
dln(wi )−dln(wj )

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Anexo
Conceptos
Propiedades de las elasticidades (V)
Relación entre la elasticidad precio y la Elasticidad sustitución.
La elasticidad precio es igual al negativo de la elasticidad sustitución
(demostración):
Si dln(wj ) = 0
σ = −
dln(z∗
i )−dln(z∗
j )
dln(wi ) =
dln(z∗
j )
dln(wi ) −
dln(z∗
i )
dln(wi )
σ = ηS
ji − ηS
ii
Si consideramos la propiedad de suma de elasticidades, tenemos:
ηS
ii = −ηS
ij
(...)

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Anexo
Conceptos
Propiedades de las elasticidades (VI)
Relación entre la elasticidad precio y la Elasticidad sustitución
(continúa).
(...) Considerando la propiedad de elasticidades simétricas:
ηS
ii = −
αj
αi
ηS
ji ηS
ii = −
αj
αi
(σ + ηS
ii ) ⇒
ηS
ii 1 +
αj
αi
= −
αj
αi
σ
Si hay solo 2 factores:
ηS
ii = −αj σ

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Anexo
Conceptos
Propiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadas
Efecto escala
Demanda no condicional de factores (I)
Demanda no condicionada de factores.
La demanda no condicionada por el factor i es una funci´on que
asigna, para cada precio p y precios de los factores w1, w2, la
cantidad demandada de zi que permite alcanzar el mayor nivel de
utilidad posible al productor. Esta funci´on se representa por:
zNC
i = zi (w1, w2, p)

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Anexo
Conceptos
Efecto escala
Demanda no condicional de factores (II)
El problema de maximizaci´on de la empresa puede expresarse
como:
Maxz1,z2 π = pf (z1, z2) − w1z1 − w2z2
Las condiciones de primer orden implican:
∂π
∂z1
= pf1(z1, z2) − w1 = 0
∂π
∂z2
= pf2(z1, z2) − w2 = 0
Estas ecuaciones t´acitamente determinan a:
zNC
1 = z1(w1, w2, p) y zNC
2 = z2(w1, w2, p)

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Anexo
Conceptos
Efecto escala
Elasticidad precio de la demanda no condicionada: Es
negativa
Sea |f11|, |f22| > |f12| = |f21|, la elasticidad precio de la demanda no condicionada es negativa
(demostraci´on):
Por las condiciones de primer orden, tenemos:
p.f1 = w1
p.f2 = w2
Derivando tenemos:
p.f11
∂z1
∂w1
+ p.f12
∂z2
∂w1
= 1
p.f21
∂z1
∂w1
+ p.f22
∂z2
∂w1
= 0
Luego, tenemos que:
p.f11
∂z1
∂w1
+ p.f12 −f21
f22
∂z1
∂w1
= 1 ⇒
∂z1
∂w1
= f22
p(f11f22−(f12)2
)
< 0

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Anexo
Conceptos
Efecto escala
Elasticidad cruzada de la demanda no condicionada: Puede
ser negativa o positiva
Demostraci´on:
Derivando las condiciones de primer orden respecto a w2:
p.f11
∂z1
∂w2
+ p.f12
∂z2
∂w2
= 0
p.f21
∂z1
∂w2
+ p.f22
∂z2
∂w2
= 1
Luego tenemos:
p.f21
∂z1
∂w2
+ p.f22 −f11
f12
∂z1
∂w2
= 1 ⇒
∂z1
∂w2
= − f12
p(f11f22−(f12)2
)
> 0
Por tanto, el signo de la elasticidad cruzada depender´a inversamente del signo de f12.

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Anexo
Conceptos
Efecto escala
Relación entre la demanda condicionada y la no
condicionada
Dada un conjunto de precios de los factores w1, w2 y un precio p
que se encuentra asociado a una cantidad q, se cumple la siguiente
igualdad:
zNC
i (w1, w2, p) = zC
i (w1, w2, q∗(w1, w2, p))
Aplicando la ecuación de Slutky:
∂zNC
i
∂wi
=
∂zC
i
∂wi
Efecto sustitución
+
∂zC
i
∂q∗
∂q∗
∂wi
Efecto escala
El primer término es el efecto sustitución, mientras que el segundo
es el efecto escala.

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Anexo
Conceptos
Efecto escala
Efecto escala: El efecto escala tendrá la misma dirección que el efecto
sustitución si el factor es superior
(demostración): Nótese que:
∂z∗
i (w1,w2,q)
∂q
=
∂2
C∗
(w1,w2,q)
∂wi ∂q
= ∂Cmg
∂wi
Por tanto, el efecto escala es:
∂zC
i
∂q∗
∂q∗
∂wi
= ∂Cmg
∂wi
∂q∗
∂wi
Si el factor es superior ∂Cmg
∂wi
> 0 y ∂q∗
∂wi
< 0, por tanto:
∂zC
i
∂q∗
∂q∗
∂wi
< 0
Es decir, el efecto escala es negativo y va en la misma dirección que el efecto
sustitución.
∂zNC
i
∂wi
=
∂zC
i
∂wi
< 0
+
∂zC
i
∂q∗
∂q∗
∂wi
< 0

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Anexo
Conceptos
Efecto escala
Referencia
Vial, Bernardita y Zurita, Felipe (2007)
Microeconom´ıa intermedia
Cap´ıtulo 6 - Trabajo docente 073, Universidad Cat´olica de Chile.

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Anexo
Anexo: Derivaci´on de la elasticidad de la demanda
compensada (I)
De las condiciones de primer orden tenemos:
w1 − λf1(z∗
1 (w1, w2, q), z∗
2 (w1, w2, q)) = 0
w2 − λf2(z∗
1 (w1, w2, q), z∗
2 (w1, w2, q)) = 0
q − f (z∗
1 (w1, w2, q), z∗
2 (w1, w2, q)) = 0
derivando respeto a w2:
−
∂λ
∂w2
f1 − λf11
∂z∗
1
∂w2
− λf12
∂z∗
2
∂w2
= 0 (1)
1 −
∂λ
∂w2
f2 − λf21
∂z∗
1
∂w2
− λf22
∂z∗
2
∂w2
= 0 (2)
− f1
∂z∗
1
∂w2
− f2
∂z∗
2
∂w2
= 0 (3)
De la ecuaci´on 3 se puede despejar
∂z∗
2
∂w2
:
∂z∗
2
∂w2
= −
f1
f2
∂z∗
1
∂w2
(4)

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Anexo
Anexo: Derivación de la elasticidad de la demanda
compensada (II)
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2 el resultado de la ecuación 4 obtenemos:
−
∂λ
∂w2
f1f2 − λf11f2
∂z∗
1
∂w2
+ λf12f2
f1
f2
∂z∗
1
∂w2
= 0 (5)
f1 −
∂λ
∂w2
f1f2 − λf21f1
∂z∗
1
∂w2
+ λf22f1
f1
f2
∂z∗
1
∂w2
= 0 (6)
Por tanto, dado que f1 y f2 son positivos y por la condición de segundo orden, el
denominador es negativo, por tanto
∂z∗
1
∂w2
> 0.
∂z∗
1
∂w2
= − f1f2
λ(f11f 2
2 +f22f 2
1 −2f21f1f2)
> 0 (7)
Al aumentar el precio de z2 disminuye el uso del factor 2, por lo que, para aumentar el
nivel de producción q se debe de aumentar el uso del factor z1.

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