Este documento describe diferentes métodos para resolver problemas de transporte, incluyendo el método de la esquina noroeste, método de costo mínimo (por matriz, fila y columna), y método de Vogel. Explica cómo estos métodos asignan cantidades a transportar desde orígenes a destinos de manera de minimizar costos sujeto a restricciones de oferta y demanda. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar la aplicación de estos métodos.

1. Modelos de Transporte: método de la esquina noroeste M. En C. Eduardo Bustos Farías

2. Problemas de transporte Surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar. Se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro hacia varias ubicaciones de la demanda. La cantidad de los bienes disponibles en cada localización de su ministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (destino) es conocida. El objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes hasta los destinos.

3. Dentro de la amplia gama de problemas de programación lineal se encuentran los problemas de transporte, los cuales poseen características particulares. En este caso específico de problemas, es necesario determinar la ruta más eficiente para hacer llegar productos o materiales desde puntos alternativos de origen hasta diferentes puntos de destino, cumpliendo las restricciones específicas de oferta y demanda y con base en la estructura de costos de las rutas de transporte. Las diversas técnicas para abordar el problema de transporte requieren de una tabla de transporte, dicha tabla en su forma estándar registra todos los elementos esenciales del problema de transporte que estamos solucionando: costos de transporte; puntos de origen y destino, cantidades de oferta y demanda; tal y como se muestra a continuación:

4. En la tabla anterior la demanda (33) es igual a la oferta (33), lo cual significa que el problema está balanceado y ello facilita la búsqueda de la solución.

5. Definición del problema * Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción S i *Se tienen n destinos. Cada destino j demanda D j *Objetivo: Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.

6. Caso I. Oferta igual a demanda

7. EJEMPLO 1 Farmacéutica Carlton Problema de transporte

8. Farmacéutica Carlton La farmacéutica Carlton abastece de medicamentos y otros suministros médicos. Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro. Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St Louis y Richmond. La gerencia de Carlton desea realizar el transporte de sus productos de la manera más económica posible.

9. Datos Costo de transporte por unidad, oferta y demanda. Supuestos * El costo de transporte por unidad es constante * Todos los transportes ocurren simultáneamente. * Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino * La oferta total es igual a la demanda total.

10. SOLUCIÓN

11. RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA D 1 =1100 D 2 =400 D 3 =750 D 4 =750 Boston Richmond Atlanta St.Louis Destinos Origenes Cleveland Detroit Greensboro S 1 =1200 S 2 =1000 S 3 = 800 37 40 42 32 35 40 30 25 35 15 20 28

12. Modelo matemático * La estructura del modelo es la siguiente: Minimizar <Costo total de transporte> sujeto a : cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora. * Variables de decisión: X ij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora j donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro) j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)

13. Boston Richmond Atlanta St.Louis D 1 =1100 D 2 =400 D 3 =750 D 4 =750 Restricciones de la Oferta Cleveland S 1 =1200 X11 X12 X13 X14 Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200 Detroit S 2 =1000 X21 X22 X23 X24 Oferta de Detroit X21+X22+X23+X24 = 1000 Greensboro S 3 = 800 X31 X32 X33 X34 Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800

14. El modelo matemático completo = = = = = = =

15. Solución optima obtenida a través de Excel

16. Análisis de Sensibilidad por WINQSB Si utilizamos esta ruta, el costo total aumentara en $5 por unidad transportada. Rango Optimo

17. Precio sombra de la distribuidora - el costo de mandar una unidad más por la distribuidora. Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible en la planta. Rango de factibilidad

18. Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad. * Reducción de Costos: - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la ruta más económicamente atractiva. - Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo así en el costo que ello significa, por cada carga transportada , el costo total aumentara en una cantidad igual a la reducción del costo hecha.

19. * Precios Sombra: - Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad disponible en la planta. - Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad extra demandada por la distribuidora.

20. LA REGLA DE LA ESQUINA NOROESTE

21. Esta regla nos permite encontrar una solución factible básica inicial (SFBI), una vez que tengamos el problema de transporte “balanceado” o equilibrado, es decir que el total de ofertas iguales al total de demandas.

22. PROCEDIMIENTO Iniciar la asignación en el renglón 1 y columna 1 (esquina noroeste) y formar una base asignando cantidades a las rutas, de forma tal que se agoten las existencias de la fabrica y se satisfaga la demanda de los mercados. Así entonces, la asignación inicia en la casilla X11 (esquina noroeste) y si lo fábrica 1 no agotó su oferta continuara en la casilla X12 y así sucesivamente.

23. En el caso de que el total de la oferta de la fabrica 1 no haya sido suficiente para cubrir la demanda del mercado 1, completar con la oferta de la fabrica 2, que es la casilla X21 y si no se agotó la oferta pasar a la casilla X22 y así continuar hasta concluir el proceso de asignación.

24. Con la forma anterior se conseguirá la siguiente solución básica factible inicial: x 11 15 x 12 15 x 13 x 14 30 x 21 x 22 5 x 23 31 x 24 9 45 x 31 x 32 x 33 x 34 50 50 x 41 x 42 x 43 x 44 25 25 15 20 31 84

25. Supuestos del método: Asignamos lo más que podamos a la variable x11 que ocupa la posición noroeste de la tabla. La oferta es igual a la demanda. El proceso de asignar a la variable el mínimo valor entre oferta y demanda disponibles se repite hasta que toda la oferta y demanda totales sean satisfechas. Genera una solución factible básica inicial. Las celdas en blanco corresponden a variables no básicas y sus valores son cero. Se obtienen variables básicas en las celdas con asignación.

26. EJEMPLO 1

27. Encontrar la ruta de costo mínimo para el siguiente problema de transporte, usando el método de la esquina noroeste. x 11 x 12 x 13 x 14 30 x 21 x 22 x 23 x 24 45 x 31 x 32 x 33 x 34 50 x 41 x 42 x 43 x 44 25 15 20 31 84

28. X 11 15 x 12 x 13 x 14 30 15 x 21 x 22 x 23 x 24 45 x 31 x 32 x 33 x 34 50 x 41 x 42 x 43 x 44 25 15 0 20 31 84

29. X 11 15 X 12 15 x 13 x 14 30 15 0 x 21 x 22 x 23 x 24 45 x 31 x 32 x 33 x 34 50 x 41 x 42 x 43 x 44 25 15 0 20 5 31 84

30. X 11 15 X 12 15 x 13 x 14 30 15 0 x 21 X 22 5 x 23 x 24 45 40 x 31 x 32 x 33 x 34 50 x 41 x 42 x 43 x 44 25 15 0 20 5 0 31 84

31. X 11 15 X 12 15 x 13 x 14 30 15 0 x 21 X 22 5 X 23 31 X 24 45 40 9 x 31 x 32 x 33 x 34 50 x 41 x 42 x 43 x 44 25 15 0 20 5 0 31 0 84

32. X 11 15 X 12 15 x 13 x 14 30 15 0 x 21 X 22 5 X 23 31 X 24 9 45 40 9 0 x 31 x 32 x 33 x 34 50 x 41 x 42 x 43 x 44 25 15 0 20 5 0 31 0 84 75

33. X 11 15 X 12 15 x 13 x 14 30 15 0 x 21 X 22 5 X 23 31 X 24 9 45 40 9 0 x 31 x 32 x 33 X 34 50 50 0 x 41 x 42 x 43 x 44 25 15 0 20 5 0 31 0 84 75 25

34. X 11 15 X 12 15 x 13 x 14 30 15 0 x 21 X 22 5 X 23 31 X 24 9 45 40 9 0 x 31 x 32 x 33 X 34 50 50 0 x 41 x 42 x 43 X 44 25 25 0 15 0 20 5 0 31 0 84 75 25 0

35. EJEMPLO 2

37. SOLUCIÓN

39. U =+1-5+2-4=-6

43. Modelos de Transporte: método de costo mínimo y de Vogel M. En C. Eduardo Bustos Farías

45. Método de costo mínimo

46. Métodos de Costo mínimo: de la matriz por columna por fila

47. Costo mínimo de la matriz : Consiste en seleccionar en cada etapa aquella variable xij cuyo costo Cij sea el mínimo para todos los i, j. Costo mínimo por columna : Comenzando con la columna de la izquierda, seleccionamos aquella variable de menor costo. Costo mínimo por fila : Comenzando por la primera fila, seleccionamos xij como la variable correspondiente que tenga menor costo.

48. Este es un procedimiento que aventaja a la regla de la esquina noroeste en la búsqueda de la solución óptima. Aquí emplearemos la misma técnica básica de agotar alternativamente ya sea la oferta de las fábricas o la demanda de los mercados, pero modifica el requisito de proceder geográficamente desde la esquina superior izquierda. En lugar de lo anterior, la asignación corresponde a la casilla de menor costo de la tabla de transporte.

49. Si esta asignación satisface el requisito de demanda de un mercado, se sigue adelante con el costo más bajo siguiente en el mismo renglón y agotando, de ser posible, las existencias de la fabrica en cuestión. El procedimiento agota de la misma manera la oferta de las fábricas y la demanda de los mercados, inspeccionando siempre los costos a fin de encontrar la casilla siguiente para una asignación en el renglón o la columna de que se trata.

50. EJEMPLO 1 Método de costo mínimo

51. Se resolverá la siguiente tabla de transporte por los 3 métodos de costo

52. Costo mínimo de la matriz

53. 2500 0 3500

54. 2500 0 3500 2000 4000 0

55. 2500 0 3500 2000 4000 0 4000 0 1000

56. 2500 0 3500 2500 2000 4000 0 4000 0 1000 0 1000

57. 2500 0 3500 2500 2000 4000 2500 0 4000 0 1000 0 1000 1500 0

58. 2500 0 3500 2500 0 2000 4000 2500 0 0 4000 0 1000 0 1000 1500 0 2500

59. Costo mínimo por fila

60. 4000 0 1000

61. 4000 0 1000 0 4000 2000

62. 4000 0 1000 0 4000 2500 0 3500 2000

63. 4000 0 1000 0 0 4000 2500 0 3500 2500 1000 2000

64. 4000 0 1000 0 0 4000 2500 2500 0 3500 2500 1000 1500 0 2000

65. 4000 0 1000 0 0 4000 2500 0 2500 0 3500 2500 0 1000 1500 0 2500 2000

66. Costo mínimo por columna

67. 2500 0 3500

68. 2500 0 3500 4000 0 1000

69. 2500 0 3500 4000 0 1000 2000 4000 0

70. 2500 0 3500 4000 0 1000 2000 4000 2500 0 1500 0

71. 2500 0 3500 2500 4000 0 1000 0 2000 4000 2500 0 1500 0 1000

72. 2500 0 3500 2500 0 4000 0 1000 0 2000 4000 2500 0 0 1500 0 1000 2500

73. Modelos de Transporte: Problemas de asignación M. En C. Eduardo Bustos Farías

74. EJEMPLO 1 El profesor Michell Problema de asignación

75. Solución mediante el método Húngaro Problema: El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla: Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 96 99 105 108 María 116 109 107 96 Jackeline 120 102 113 111 Edith 114 105 118 115

76. Restricciones del Método * Solo problemas de minimización. * Número de personas a asignar m es igual al número de lugares m. * Todas las asignaciones son posibles * Una asignación por persona y una persona por asignación Matriz de Costos Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 96 99 105 108 María 116 109 107 96 Jackeline 120 102 113 111 Edith 114 105 118 115

77. Restar el Menor valor de cada fila Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 3 9 12 María 20 13 11 0 Jackeline 18 0 11 9 Edith 9 0 13 10 Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 3 0 12 María 20 13 2 0 Jackeline 18 0 2 9 Edith 9 0 4 10

78. Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior. Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 3 0 12 María 20 13 2 0 Jackeline 18 0 2 9 Edith 9 0 4 10 Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás números no rayados y sumarlo en las intersecciones. Para este caso corresponde al valor 2

79. Capítulos Secretaría 13 14 15 16 Juana 0 5 0 14 María 18 13 0 0 Jackeline 16 0 0 9 Edith 7 0 2 10 Se obtuvo la asignación óptima. Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Juana Cap. 13 María Cap. 16 Jackeline Cap. 15 Edith Cap. 14 *Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410