Este documento resume conceptos básicos sobre radicación como la definición de radicales, sus propiedades y operaciones. Explica que un radical representa la raíz de un número y define los componentes de un radical como el índice, radicando y grado. Luego describe cómo simplificar radicales y realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con ellos.

1. RadicaciónConceptos y propiedadesOperaciones con radicalesSimplificación de radicalesSuma y RestaMultiplicación con el mismo índiceDivisión con el mismo índiceRacionalización

2. Conceptos y PropiedadesLa radicación es la operación inversa de la Potenciación.La raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada.Consiste en hallar una cantidad llamada Raíz Enésima, cuya potencia enésima es el número dado.

3. El símbolo utilizado en la radicación es √. Éste signo es una variante de la letra latina r, inicial de la palabra latina radix, que significa raíz.Una determinada raíz de una cantidad dada se expresa de la siguiente forma: √a, que se llama radical, donde n es el índice de la raíz, que indica que raíz se va a obtener, y a se llama radicando o cantidad subradical, a la cual se le va extraer la raíz.El grado de un radical es el índice de la raíz. Así, √x, es un radical de segundo grado, √a es un radical de tercer grado.n3

4. √216Signo RadicalÍndice3Radicando o cantidad subradical

5. Así también para indicar la raíz sexta de 16 escribimos √16, o para indicar la raíz quinta de x escribimos √x.Comúnmente la raíz cuadrada de un número a se expresa sin el índice, es decir, se escribe √a, en vez de √a.652

6. Signo de las raícesRecordemos que toda potencia con exponente par es positiva independientemente del signo de la base, por tanto, toda raíz de índice par de una cantidad positiva tiene un valor positivo y otro negativo. Por ejemplo:√25= +5√64= +2√81= +364

7. Vimos en la unidad anterior que las potencias con exponente impar de cantidades negativas son negativas, y las potencias con exponente par o impar de cantidades positivas son siempre positivas. Por ejemplo:(-4) = -64 (4) = 64(-2) = -32 (2) = 32De lo anterior podemos concluir que las raíces de índice impar de cantidades negativas son negativas, y las de cantidades positivas son positivas; es decir, el signo de las raíces de índice impar tienen el mismo signo del subradical. 3355

8. Radicales SemejantesLos radicales semejantes son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidad subradical.Así, 2 √3, 5 √3, y 1/1 √3 son radicales semejantes; pero 2 √3 y 5 √2 no son semejantes porque no tienen la misma cantidad subradical aunque tengan el mismo grado.

9. Obtención de una raízAl estudiar las potencias de cantidades utilizamos únicamente exponentes enteros. ¿Qué sucede cuando los exponentes son fraccionarios?Cuando los exponentes son fraccionarios, vamos a ver que los exponentes generan las raíces de las cantidades.

10. Factorizando 4: (4) = (2 ) Utilizando la ley de la potencia de una potencia= (2) = (2) = (2) = 2Es decir: 4 = 2También ya se dijo: √4= 2Entonces se tiene que: 4 = √4= 2 1/221/22.1/22/211/21/2

11. Del ejemplo anterior se concluye que:a = √a donde n es un número entero diferente de cero. En general se cumple que:a = √a donde m y n son enteros, y n es distinto de cero.n1/nmm/nn

12. Por ejemplo:8 = √88 = (2 ) = (2 ) = (2 )= 4 √8 = √64 = 432/322/332/33.2/32323

13. Escribiendo la igualdad anterior en la forma √a = a , podemos notar que para extraer la raíz de una potencia basta dividir el exponente de la potencia entre el índice de la raíz, conservando la base.Por ejemplo:√ b = b = b √(a+b) = (a+b) = (a+b) √a = a = a = anm/nm366/326/263nnn/n1

14. Hemos visto que un radical se puede expresar como una potencia con exponente fraccionario, y mostramos que las propiedades de los signos de un radical provienen de las propiedades de los signos de las potencias.Así que, las propiedades de los radicales se suelen deducir a partir de las propiedades de los exponentes.

15. Veamos algunas de las propiedades de los radicales que son útiles para efectuar operaciones con ellos: La raíz de un producto de varios factores es igual al producto de las raíces de cada factor. Por ejemplo:

16. √abc= √a. √b. √c

17. √9(x+y) = √3 . √(x+y) = 3(x+y)

18. √ab= √a . √b5555222nnn

19. La raíz de un cociente es igual al cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor. Por ejemplo:

20. √ =

21. √ =

22. √ = 3356 √5 √6 34Xy4√x√y4nnab√a√bn

23. La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia del subradical. Por ejemplo:

24. (√2 )= √(2) = √8

25. (√x )= √x = x = x = x

26. (√a )= √a44433555155/5nmnm

27. Operaciones con radicalesSimplificación de radicales

28. Para efectuar operaciones con radicales es conveniente que estén simplificados; esto significa que el subradical sea entero, que tenga factores con exponente menor que el del índice y que éste sea el menor posible.Por ejemplo:34√ab no esta simplificado, ya que contiene un factor (b ) cuyo exponente es mayor que el índice.Entonces se simplifica la expresión, factorizando b como b . b , así: √ab = √abb =Utilizando propiedades de los radicales=√ab . √b =√ab . b=b√ab433433433333