El documento proporciona información sobre los triángulos, incluyendo sus definiciones, propiedades y clasificaciones. Explica los criterios para determinar si dos triángulos son iguales, y describe las propiedades de los ángulos interiores, lados, alturas, mediatrices, bisectrices y otros elementos geométricos relacionados con los triángulos. También presenta métodos para construir triángulos escalenos, isósceles y rectángulos conociendo diferentes datos.

1. TRIÁNGULO
Triángulo. Superficieplanalimitadapor treslíneas(lados).
Polígonomáspequeño.
Criterios de igualdad entre triángulos.
Dos triángulos son iguales
si tienen los tres lados
respectivamenteiguales.
a = a’
b = b’
c = c’
Dos triángulos son iguales
si tienen iguales dos lados
y elánguloqueforman.
a = a’
b = b’
a = a’
Dos triángulos son iguales si
tienen un lado y dos ángulos
iguales.
a = a
w = w
’
’
a = a’
Dos triángulos son iguales si
tienen dos lados (uno mayor que
el otro) y el ángulo opuesto al
mayordeellosiguales.
a = a’
b = b’
p = p’
b c
a
p
a w
b’ c’
a’
p
a w
’
’ ’
Propiedades de los triángulos.
La suma de los ángulos interiores de cualquier
triánguloes siempre180 grados.
Un lado es siempre menor que la suma de los otros
dos y mayorquesu diferencia.
Amayorladose oponesiempremayorángulo.
p
a w
p + a + w = 180
o
a p
a < b + c
a > b - c
Clasificaciónde los triángulos.
ESCALENO
Tiene los lados y
ángulos diferentes.
ISÓSCELES
Tiene dos lados y dos
ángulos iguales.
EQUILÁTERO
Tiene los lados y los
ángulos iguales.
ÁngulosLados
ACUTÁNGULO
Tiene los tres ángulos
agudos.
OBTUSÁNGULO
Tiene un ángulo obtuso
y dos agudos.
RECTÁNGULO
Tiene un ángulo recto y
dos agudos.
No
existe
No
existe
b c
a

2. MEDIATRICES
Rectas perpendiculares a cada lado
deun triángulopor su puntomedio.
ALTURAS
Rectas perpendiculares desde los
vértices de un triángulo a los lados
opuesto.
MEDIANAS
Rectas que unen los vértices de un
triángulo con los puntos medios de
los ladosopuestos.
P U N T O S Y L Í N E A S E N E L T R I Á N G U L O
m
C
m”
m’
ORTOCENTRO
Punto común de las alturas de un
triángulo.Si unimos los pies de las
alturas obtenemos el TRIÁNGULO
ÓRTICO.
INCENTRO
Punto común de las bisectrices de
los ángulos de un triángulo y
equidistante de sus lados.Centro de
lacircunferenciainscrita.
b’
I b”
b
CIRCUNCENTRO
Punto común de las mediatrices de
los lados de un triángulo. Centro de
lacircunferenciacircunscrita.
BARICENTRO
Punto común de las medianas de un
triángulo y su centro de gravedad,
situado a dos tercios del vértice y un
terciodellado.
o
a B
A
a”
a’ C
CIRCUNFERENCIAS EXINCRITAS
Circunferencias tangentes a un lado del triángulo y a las
prolongacionesdelos otros dos.
EXINCENTROS
Puntos de convergencia de dos bisectrices exteriores de un
triánguloconlabisectrizinteriordeltercervértice.
Los tres exincentros de un triángulo determinan otro
triángulo cuyos lados son las bisectrices de los ángulos
exterioresdelprimero.
Las bisectrices interiores de un triángulo coinciden con las
alturasdelqueformanlos exincentros.
Triánguloórtico.
Triánguloacutánguloinscritoenotroalunirlos piesdelasalturas(puntodecortedealturay lado).
Lasalturasdeun triánguloacutánguloson lasbisectricesdesu órtico.
Losladosdeun triánguloacutánguloson lasbisectricesdelos ángulosexterioresdesu órtico.
A 2
1
B C
3
BISECTRICES
Rectas que pasando por los vértices
de un triángulo equidistan de los
ladosquelos forman.
m m’
B m”
½
½
1/3

3. Triánguloescaleno.Tres lados.
Situar un lado cualquiera como base del
triángulo.
Trazar arcos, haciendo centro en los extremos
del lado base y con radios equivalentes a cada
uno de los otros dos lados respectivamente, para
hallareltercervértice.
a
b c
C a B
b c
A
Construcciones de triángulos conociendo sus tres lados.
Triángulo escaleno. Dos lados y el ángulo
opuesto a uno deellos.
Construir el ángulo dado sobre un extremo del
lado.
Trazar un arco, con centro en el otro extremo y
radio el lado opuesto al ángulo, que corte en dos
(o uno) puntos el lado del ángulo dando el tercer
vértice.
a
a
b
a
B
a C
A’ b
A
C
a
b
B
A
aaa
b
Triángulo escaleno. Dos lados y el ángulo que
abarcan.
Construirelángulodado.
Llevar a partir del vértice las medidas de los
ladosy unirlos extremoslibres.
Construcciones de triángulos conociendo dos lados y un ángulo.
Escaleno.Tres ángulos.
Los tres ángulos no son datos suficientes,
necesitando otro para poder definir su
construcción
CONSTRUCCIÓN DETRIÁNGULOS.
Construcciones de triángulos conociendo sus tres ángulos.
a b
g
a b
g
Construcciones de triángulos conociendo dos ángulos y un lado.
Triángulo escaleno. Lado y ángulos de sus
extremos.
Situar el lado y construir un ángulo en cada
extremo.
Los lados de los ángulos no coincidentes con el
ladoalcortarsedaneltercervértice.
B a C
A
a ba b
a

4. Construcción delTRIÁNGULO EQUILÁTERO.
A
B C
O
D
Inscrito.
Trazarlamediatrizdeunradio.
El segmento de mediatriz
correspondiente a la cuerda de la
circunferencia es el lado del
triángulo.
D B C
h
A
Altura.
Llevar sobre la bisectriz de un
ángulo de 60 y a partir del vértice la
altura. Trazar por el pie de ésta una
perpendicular que determine en los
ladosdelángulolosotrosvértices.
0
A
B C
A
Lado.
Trazar dos arcos que se corten, de
radio el lado y con centro en los
extremos de éste. El punto común de
los arcos trazados corresponde al
tercervértice.
D B C
h
A
Altura-1
Semejanzadetriángulos.
Construir sobre una recta un
triángulo equilátero y colocar con
los pies en común la altura dada y la
delauxiliar.
Trazar paralelas a los lados del
triángulo auxiliar por el otro
extremo de la altura dada hasta
cortarlarectabase.
F B G
D E
C
h
A
Altura-2
Semejanzadetriángulos(inscrito)
Trazar dos circunferencias, de radio
la mitad de la altura, una desde el
punto medio de ésta y otra desde su
pieenlarectabase.
Los lados del triángulo pasarán por
el punto de corte de ambas
circunferencias y el otro extremo de
laaltura.
E F
B
h
D
C
A
Altura-3
Relacionesentreángulos .
Colocar la altura coincidiendo con
el lado de un ángulo recto y dividir
éste en dos complementarios de 30
y60 .
La recta perpendicular por el pie de
la altura se corta con la común de
estos ángulos complementarios
determinadoellado.
0
0
Altura-5
Propiedad delamediana.
Dividir la altura en tres partes
iguales.
La circunferencia trazada con
centro en la primera división y con
radio equivalente a dos partes es la
circunscrita al triángulo y da el lado
al cortar la recta base trazada por el
piedelaaltura.
E B F
C
D
A
Altura-4
Relacionesentreángulos.
Trazar un arco de circunferencia
desde el pie de la altura que la corte
en un punto y, desde éste, otro de
igual radio que corte al primero.
Trazar por el otro extremo de la
altura perpendiculares a la recta que
une el pie de la altura con los cortes
deambosarcosparaobtenerellado.
Altura-6
Semejanzadeángulos.
Construir un ángulo de 60 a partir
de un punto cualquiera de la recta
baseyestaporlado.
Trazar paralelas al otro lado del
ángulo por el extremo de la altura
libre hasta cortar a la recta base para
obtener los lados del triángulo
equilátero.
0
C E B F
D
A
h
F B G
D E
C
h
A

5. Construcción delTRIÁNGULO ISÓSCELES.
Base y altura.
Trazar la mediatriz del lado base y llevar la longitud de
laalturasobre ellaparadeterminarelvérticeopuesto.
Lados igualesy alturacoincidentes.
Trazarunarectaperpendicularalaalturapor su pie.
Con centro en el otro extremo de la altura trazar un
arco, con radio uno de los lados iguales, que corte a la
rectadandolos vérticesy extremosdelabase.
Base y ángulo opuesto.
Propiedad ángulos interiores.
Construir el ángulo con vértice en un extremo de la
basey ladosu prolongación.
La bisectriz del suplementario determina la medida de
los ángulosdelabase.
Base y radiodelacircunferenciacircunscrita.
Trazar una perpendicular por el extremo de un
diámetro de la circunferencia y llevar sobre ella (mitad
acadalado)labase.
Las perpendiculares por los extremos de la base
determinanlos vérticesalcortarlacircunferencia.
B
A a’
O a A’
C
Base y radiodelacircunferenciacircunscrita.1
Trazarlamediatrizdelabase.
Hallar el centro de la circunferencia circunscrita
trazando un arco, con el radio dado, desde el extremo
delabasey cortandoalamediatriz.
El trazado de la circunferencia da dos soluciones
posibles.
B
A
O A’
C
r
a
A B
C
a
A
a
h
B
c
C a = c
A
B h
C

6. Construcción delTRIÁNGULO ISÓSCELES. 1
Suma de la altura y un lado igual y el ángulo
opuesto a labase.
Trazar, al segmento suma del lado y la altura, una
perpendicular por un extremo y en el otro construir un
ánguloigualalacuartapartedeldado.
La mediatriz del segmento que une el vértice del
ángulo y el punto de corte del lado en la perpendicular
daelpunto(vértice)deuniónentreelladoy laaltura.
Â/4
b’
A
h
b
B C
Suma de la altura y un lado igual y el ángulo
opuesto a labase. 1
(Proporcionalidaddelos triángulos.)
Colocar sobre la bisectriz del ángulo y a partir del
vérticeelsegmentosumadealturay lado.
Trazar una perpendicular al segmento suma por un
punto cualquiera. Llevar, la longitud que hay desde
este punto hasta el vértice, a partir de éste y sobre un
ladodelángulo.
El segmento que crea la perpendicular sobre el lado
llevarlo sobre éste y a partir del punto hallado
anteriormente.
La paralela, al segmento que une el nuevo punto
encontrado con el extremo libre del segmento suma,
trazada por el primer punto hallado en el lado separa
dichosegmentosuma.
A
b h l’
E
F D
l
B G C h+b
E’
b
G’
Semiperímetro y altura.
Perímetro y altura.
Trazar la altura y el semiperímetro formando
ángulorecto.
La mediatriz de la hipotenusa separa el
semiperímetro.
(Repetirlaoperaciónsi sedaelperímetro).
Perímetro y ángulos iguales.
Construir en los extremos del perímetro ángulos
devalorlamitaddelos dados.
La mediatriz del segmento que va desde el
extremo del perímetro hasta el corte de los lados
delos ángulosconstruidosseparalos lados.
A
h
A’ B D C A“
a a ½

7. Construcción delTRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Hipotenusa y suma de los catetos.
Construir un ángulo de 45 en un extremo del segmento
correspondientealasumadelos catetos.
Con centro en el otro extremo y radio la hipotenusa, trazar
un arco que corte al lado del ángulo dando una o dos
posiblessolucionesiguales.
o
C
a
B D c A
a +c
45
0
Hipotenusa y diferenciadelos catetos.
Construir un ángulo de 45 en un extremo del segmento
diferenciadelos catetosy sobre su prolongación.
Con centro en el otro extremo y radio la hipotenusa, trazar
un arcoquecortealladodelángulodandoelvértice.
La perpendicular trazada por este punto a la prolongación
determinaeltercervértice.
0
Hipotenusa y diferenciadelos catetos.1
Construir el arco capaz de un ángulo de 135 y segmento
lahipotenusa.
Con centro en un extremo de la hipotenusa y radio el
segmentodiferenciaentrecatetos,cortaralarcocapaz.
El segmento que une el extremo usado de la hipotenusa y
el punto hallado corta, en su prolongación al arco capaz
del ángulo recto y segmento la hipotenusa dando la
solución.
0
Cateto y su mediana.
Con centro en la mitad del cateto y radio su mediana,
trazarelarcoquelimitaelextremodelotrocateto.
Cateto y lamediana delotro cateto.
Con centro en un extremo del cateto y radio la mediana,
trazar el arco que corta en su mitad al otro cateto, situado
perpendicularmenteenelotroextremo.
C
a a’
b
D 45 A B
c c-b
o
C
a
b
A
B
90
o
a-b
a
A D B
a
C
A D C
a
B

8. Construcción delTRIÁNGULO RECTÁNGULO. 1
Medianadeun catetoy delahipotenusa.
Construirelarcocapazdelamedianadelcateto.
Con centro en el punto situado a un tercio del extremo de
dicha mediana y radio dos tercios de la mediana de la
hipotenusa, trazar el arco que corta al capaz dando el
vérticeentrecatetosy facilitandolaconstrucción.
B
D
A
m1/3
E
C
Medianay alturacorrespondientes a lahipotenusa.
Construido el arco capaz de un segmento de longitud dos
veces la mediana correspondiente a la hipotenusa, trazar,
con distancia la altura dada, una paralela al segmento que
cortaalarcocapazy daeltercervértice.
A a D B
h h’
C C’
m
Cateto, bisectrizdelotrocateto.
Construirelarco(circunferencia)capazdelabisectriz.
Con centro en un extremo de la bisectriz(primer vértice)
trazar un arco de radio el cateto que corta a la
circunferencia capaz en dos puntos: uno es el segundo
vérticey elotropor dondepasaráellado.
B
A D
B’ C
O b
Hipotenusa y de mediana deun cateto.
Desde el punto medio de la hipotenusa trazar un arco de
radiolasextapartedeéstaysu arcocapaz.
Con centro en un extremo de la hipotenusa y radio dos
tercios de la mediana del cateto, trazar un arco que corte al
primero hallando el baricentro del triángulo y la situación
delamediana.
Uniendo los extremos libres de la mediana y la
hipotenusa se obtiene el tercer vértice al cortar el arco
capaz.
H/6
A D h B
m
E
F m
C
b
b2/3
Medianadeun catetoy ángulo de su extremo.
Sobre un segmento cualquiera levantar una perpendicular
en un extremo y construir el ángulo dado en el otro,
determinando un vértice. Situar la mediana desde dicho
vérticey pasandopor lamitaddelsegmentoauxiliar.
Por el extremo libre de la mediana trazar una paralela al
segmento auxiliar para obtener los otros vértices al cortar
las prolongaciones de los lados que divergen del vértice
primero.
A
m
B’ C’
D’
B D C
a

9. Construcción deTRIÁNGULOS.
Perímetro y ángulos delabase.
Construir en los extremos del perímetro ángulos de valor la
mitaddelos dados.
La mediatriz del segmento que va desde el extremo del
perímetro hasta el corte de los lados de los ángulos
construidosseparalos lados.
Dos lados y mediana deltercero.
A partir de un punto colocar la longitud de la mediana en
ambos sentidos. Haciendo centro en los extremos libres y
con los lados por radios trazar arcos que se cortan en un
punto. La unión del punto común de las medianas con el
halladodalamitaddeltercerlado.
A b’ B’
c’ c m’
D
B C
m b
Tres medianas.
Construir un triángulo de lados iguales a los dos tercios de
cada mediana. El segmento que une un vértice de este
triángulo con el punto medio del lado opuesto equivale a la
mitaddeun lado.
C
G
E B
D
F
A
m 2/3c
m 2/3b m
2/3
a
Lado, ángulo opuesto y otro lado. a
Lado, ángulo opuesto y laaltura. b
Lado, ángulo opuesto y lamediana. c
Construirelarcocapazdelánguloy elladoconocidos.
A. Con centro en un extremo del lado y por radio el otro
lado, trazar un arco que corta al arco capaz dando el vértice
opuesto.
b. Trazar una paralela al lado, a la distancia de la altura,
que al cortar al arco capaz da el vértice opuesto (dos
soluciones)
c. Con centro en el punto medio del lado y radio la
mediana, trazar un arco que al cortar al arco capaz da el
vérticeopuesto(dos soluciones)
b’
C
A
m
D E
B
h’
Lado, ángulo de un extremo y bisectriz del ángulo del
otro extremo.
Construirenun extremodelladoelángulodado.
Con centro en el otro extremo del lado y radio la bisectriz,
trazar un arco que corta al otro lado del ángulo fijando la
bisectriz.
Construir un ángulo, simétrico respecto de la bisectriz igual
alobtenidoparadeterminareltercerladodeltriángulo.
C
D
A B
E
b Fb
a
a a p½ p ½
A
A’ B C A“

10. Construcción deTRIÁNGULOS. 1
Lado su alturay otraaltura.
Trazar el lado y una paralela a la distancia de la altura
correspondiente. Con centro en uno de los extremos del lado
describir un arco de radio la otra altura. La tangente al arco
por el otro extremo del lado da el tercer vértice al cortar a la
paralela.
C
h h
A B
c a
Dos ángulos y altura correspondiente al lado opuesto a
uno deellos.
Construir un ángulo en el extremo de una semirrecta.
Trazar, a la distancia de la altura, una paralela que corte al
ladodandoelvérticedondeconstruirelotroángulo.
Bisectriz,su ángulo y otro ángulo.
Construirelánguloy labisectrizdados.
Sobre uno de los lados del ángulo construir el otro y trazar
por el extremo libre de la bisectriz una paralela al lado del
ánguloconstruido.
Ángulo, su alturay otraaltura.
Trazar sobre una recta base una paralela a la distancia de una
altura. Construir el ángulo sobre la recta base y que corte a la
paralela dando otro vértice. El tercero se determina trazando
por este último una recta tangente al arco de radio la altura
delánguloy centrosu vértice.
Ángulo su bisectrizy lacircunferenciainscrita.
Construir sobre una recta base el ángulo y su bisectriz.
Trazar la circunferencia inscrita y por el extremo libre de la
bisectrizunatangenteaellaparaobtenereltercerlado.
Lado, ángulo deun extremoy su bisectriz.
Construir sobre una recta base el ángulo y su bisectriz.
Trazar una recta que una el otro extremo del lado y pase por
extremolibredelabisectrizparaobtenereltercerlado.
Dos lados y alturadeltercero.
Trazar una paralela a una recta base a la distancia de la altura.
Desde un punto cualquiera de la paralela trazar arcos con
radios iguales a las medidas de los lados que corten a la recta
basedandovariassoluciones.
A
h
B C’ C B’
B
D
b
A Ca b
D
B
b
A Ca
B
h
C A
b
a
E
D
C
A Bb ra
B
h h
A C
b a
a

11. Construcción deTRIÁNGULOS. 2
Lado, ángulo opuesto y lasuma delos otros dos lados.
* Procesode construcciónenlos ejercicios:
Perímetro yángulos delabase.
Dos lados y elángulo opuesto a uno deellos.
Altura y mediana de un lado, sabiendo que éste es el
doble que otro delos lados deltriángulo.
Sobre una recta base llevar perpendicularmente la altura..
Desde su extremo libre trazar un arco que corte la recta base
fijando el punto medio del lado y la mediana. La mediatriz de
la mediana corta a la recta base dando otro vértice siendo
simétricoeltercero.
A
D B C E
Lado, ángulo desu extremoy altura.
Llevar sobre una recta base el lado y construir el ángulo en
uno de sus extremos.Trazar una paralelaal lado a la distancia
delaalturaquecortealángulodandolasolución.
Lado, ángulo desu extremoy mediana.
Llevar sobre una recta base el lado y construir el ángulo en
uno de sus extremos. Trazar un arco, con radio la mediana
dellado,quealcortaralángulodalasolución
Lado, alturay mediana relativas.
Llevar sobre una recta base el lado y trazar una paralela a la
distancia de su altura. El arco trazado con su mediana corta a
dichaparaleladandolassoluciones.
Dos lados y mediana de uno de ellos.
Llevar sobre una recta base el lado y describir dos arcos: uno
con la mediana y otro, desde un extremo, con el otro lado. El
puntocomúndeambosarcoses eltercervértice.
Dos lados y alturade uno deellos.
Llevar sobre una recta base el lado y trazar una paralela a la
distancia de su altura. Desde un extremo del lado trazar un
arcoquealcortaralaparaleladalassoluciones.
C’
A B
C
h
D
b’ m’
b
A C B
m
D D’
m h
A C B
C
h
A Ba
D
m’
m
A C Ba
C
b
C’ c Ba/2 a