Este documento presenta los conceptos fundamentales de la rotación de cuerpos rígidos, incluidas las definiciones de momento de inercia, segunda ley de Newton para la rotación, energía cinética rotacional, trabajo rotacional y potencia rotacional. También cubre ejemplos numéricos que ilustran cómo aplicar estos conceptos y las analogías entre la rotación y la traslación lineal.

1. Rotación de cuerpo rígido
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University

2. Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
• Definir y calcular el momento de inercia para
sistemas simples.
• Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de
Newton, energía cinética rotacional, trabajo
rotacional, potencia rotacional y cantidad de
movimiento rotacional a la solución de problemas
físicos.
• Aplicar principios de conservación de energía y
cantidad de movimiento a problemas que
involucran rotación de cuerpos rígidos.

3. Inercia de rotación
Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de
rotación se modele a partir de la ley de traslación.
F = 20 N Inercia lineal, m
a = 4 m/s2 20 N
m = 4 m/s2 = 5 kg
F = 20 N Inercia rotacional, I
R = 0.5 m t (20 N)(0.5 m)
a = 2 rad/s2 I=a = = 5 kg m2
2 rad/s2
La fuerza hace para la traslación lo que el momento de
torsión hace para la rotación:

4. Energía cinética rotacional
Considere masa pequeña m:
v = wR
m
K = ½mv2 m
K = ½m(wR)2 w 4
m3
m1
m2
K= ½(mR2)w2 eje
Suma para encontrar K total: Objeto que rota a w constante.
K = ½(SmR2)w2 Definición de inercia rotacional:
(½w2 igual para toda m ) I = SmR2

5. Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética
rotacional del dispositivo que se
muestra si rota con rapidez constante
de 600 rpm?
Primero: I = SmR2 3 m 3 kg
2 kg
I = (3 kg)(1m)2 w
+ (2 kg)(3 m)2 1m
+ (1 kg)(2 m)2 2m 1 kg
I = 25 kg m2 w = 600 rpm = 62.8 rad/s
K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2
K = 49 300 J

6. Inercias rotacionales comunes
L L
I 1
3
2
mL I 1
12 mL2
R R R
I= mR2 I= ½mR2 I 2
5 mR 2
Aro Disco o cilindro Esfera sólida

7. Ejemplo 2: Un aro circular y un disco
tienen cada uno una masa de 3 kg y un
radio de 30 cm. Compare sus inercias
rotacionales.
R
I  mR  (3 kg)(0.3 m)
2 2
I = 0.27 kg m2 I = mR2
Aro
R I  mR  (3 kg)(0.3 m)
1 2 1 2
2 2
I = ½mR2 I = 0.135 kg m2
Disco

8. Analogías importantes
Para muchos problemas que involucran rotación,
hay una analogía extraída del movimiento lineal.
m t
w w  50 rad/s
x I R o
f t = 40 N m
4 kg
Una fuerza resultante Un momento de torsión
resultante t produce
F produce aceleración
aceleración angular a de
negativa a para una disco con inercia rotacional
masa m. I.
F  ma t  Ia

9. Segunda ley de rotación de Newton
¿Cuántas revoluciones
F wo  50 rad/s
requiere para w
detenerse? R R = 0.20 m
t = Ia 4 kg F = 40 N
FR = (½mR2)a 0
2aq  wf2 - wo2
2F 2(40N) w 0 (50 rad/s) 2
a
2
 q 
mR (4 kg)(0.2 m) 2a 2(100 rad/s 2 )
a = 100 rad/s2 q = 12.5 rad = 1.99 rev

10. Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración
R = 50 cm
lineal de la masa de 2-kg que cae?
M 6 kg
Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio:
a=?
t  Ia TR = (½MR2)a
a 2 kg
T = ½MRa pero a = aR; a =
R
a R = 50 cm
T = ½MR( ) ; y T = ½Ma
R
6 kg
T
Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae:
T
mg - T = ma mg - ½Ma = ma
T +a
2 kg
(2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a
mg
19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a a = 3.92 m/s2

11. Trabajo y potencia para rotación
Trabajo = Fs = FRq t  FR
s
q
Trabajo = tq F
Trabajo
tq q F
Potencia = = t w=
t t s = Rq
Potencia = t w
Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio

12. Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene
un radio de 40 cm y una masa de
6 kg. Encuentre el trabajo y la s
potencia si la masa de 2 kg se q
eleva 20 m en 4 s.
6 kg F
2 kg
Trabajo = tq = FR q
F=W
s 20 m s = 20 m
q= = = 50 rad
R 0.4 m
F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N
Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad) Trabajo = 392 J
Trabajo
Potencia = = 392 J Potencia = 98 W
t 4s

13. El teorema trabajo-energía
Recuerde para movimiento lineal que el trabajo
realizado es igual al cambio en energía cinética
lineal:
Fx  ½mv  ½mv 2
f
2
0
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
trabajo rotacional es igual al cambio en energía
cinética rotacional:
tq  ½Iw  ½Iw 2
f
2
0

14. Aplicación del teorema trabajo-energía:
¿Qué trabajo se necesita
F wo  60 rad/s
para detener la rueda w
que rota? R R = 0.30 m
Trabajo = DKr F = 40 N
4 kg
Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2
= 0.36 kg m2
0
tq  ½Iw  ½Iw2
f
2
0 Trabajo = -½Iwo2
Trabajo = -½(0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J

15. Rotación y traslación combinadas
vcm Primero considere un disco que se
vcm desliza sin fricción. La velocidad de
cualquier parte es igual a la
vcm velocidad vcm del centro de masa.
w
Ahora considere una bola que rueda
sin deslizar. La velocidad angular w v
en torno al punto P es igual que w R
para el disco, así que se escribe: P
v
w O v  wR
R

16. Dos tipos de energía cinética
Energía cinética w
de traslación: K= ½mv2
R v
Energía cinética
de rotación: K = ½Iw2 P
Energía cinética total de un objeto que rueda:
KT  mv  I w
1
2
2 1
2
2

17. Conversiones angular/lineal
En muchas aplicaciones, debe resolver una
ecuación con parámetros angulares y lineales. Es
necesario recordar los puentes:
s
Desplazamiento: s qR q
R
v
Velocidad: v  wR w
R
a
Aceleración: v aR a
R

18. ¿Traslación o rotación?
Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir
todos los términos angulares a términos lineales:
s v a
q w a I  (?)mR 2
R R R
Si debe resolver un parámetro angular, debe
convertir todos los términos lineales a términos
angulares:
s qR v  wR v aR

19. Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un
disco dada su energía cinética total E.
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2
v
E  mv  I w ; I  mR ; w 
1
2
2 1
2
2 1
2
2
R
 v2 
2 2 2  
E  1 mv 2  1 1 mR 2  2  ; E  1 mv 2  1 mv 2
2 4
R 
3mv 2 4E
E or v
4 3m

20. Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular w
de un disco dada su energía cinética total E.
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2
E  1 mv 2  1 I w 2 ; I  1 mR 2 ; v  w R
2 2 2
E  1 m(w R)2  1  1 mR2  w 2 ; E  1 mR2w 2  1 mR2w 2
2 2 2 2 4
3mR 2w 2 4E
E or w
4 3mR 2

21. Estrategia para problemas
• Dibuje y etiquete un bosquejo del problema.
• Mencione lo dado y establezca lo que debe
encontrar.
• Escriba fórmulas para encontrar los momentos
de inercia de cada cuerpo que rota.
• Recuerde conceptos involucrados (potencia,
energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba
una ecuación que involucre la cantidad
desconocida.
• Resuelva para la cantidad desconocida.

22. Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares,
cada uno con la misma masa y radio,
ruedan con rapidez lineal v. Compare sus
energías cinéticas. w
w
Dos tipos de energía: v v
KT = ½mv2 Kr = ½Iw2
v
Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 w=
R
 v2 
Disco: E  ½mv 2  ½ ½ mR 2   2  E = ¾mv2
R 
 v2 
Aro: E  ½mv 2  ½  mR 2   2  E = mv2
R 

23. Conservación de energía
La energía total todavía se conserva
para sistemas en rotación y traslación.
Sin embargo, ahora debe considerar la rotación.
Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f
¿Altura? mgho mghf ¿Altura?
¿Rotación? ½Iwo2 = ½Iwf2 ¿Rotación?
¿Velocidad?
¿Velocidad? ½mvo 2 ½mvf2

24. Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa
de 2 kg justo antes de golpear el suelo.
R = 50 cm
mgho mghf
½Iwo2 = ½Iwf2 6 kg
½mvo2 ½mvf2 2 kg
h = 10 m
mgh0  1 mv 2  1 I w 2
2 2 I  1 MR 2
2
 v2  2.5v2 = 196 m2/s2
mgh0  1 mv 2  1 ( 1 MR 2 )  2 
2 2 2
R 
v = 8.85 m/s
(2)(9.8)(10)  (2)v  (6)v
1
2
2 1
4
2

25. Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde
lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son
sus rapideces en el fondo si la altura inicial
es 20 m?
mgho = ½mv2 + ½Iw2 Aro: I = mR2
 v2 
mgh0  ½mv 2  ½(mR 2 )  2  20 m
R 
mgho = ½mv2 + ½mv2; mgho = mv2
v  gh0  (9.8 m/s 2 )(20 m) Aro: v = 14 m/s
Disco: I = ½mR2; mgho = ½mv2 + ½Iw2 v 4
3 gh0
 v2 
mgh0  ½mv 2  ½(½ mR 2 )  2 
R  v = 16.2 m/s

26. Definición de cantidad de
movimiento angular
Considere una partícula m que v = wr
se mueve con velocidad v en m
un círculo de radio r. m
Defina cantidad de
w 4
m3
m1
movimiento angular L: m2
eje
L = mvr Objeto que rota con w constante.
Al sustituir v= wr, da:
Dado que I = Smr2, se tiene:
L = m(wr) r = mr2w
Para cuerpo extendido en L = Iw
rotación:
Cantidad de
L = (Smr2) w movimiento angular

27. Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de
movimiento angular de una barra L=2m
delgada de 4 kg y 2 m de longitud
si rota en torno a su punto medio m = 4 kg
con una rapidez de 300 rpm.
1 1
Para barra : I  mL 
2
(4 kg)(2 m) 2 I = 1.33 kg m2
12 12
 rev  2 rad  1 min 
w   300     31.4 rad/s
 min  1 rev  60 s 
L = Iw  (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2
L = 1315 kg m2/s

28. Impulso y cantidad de
movimiento
Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso
lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento
lineal:
F Dt  mv f  mv0
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
impulso angular es igual al cambio en cantidad de
movimiento angular :
t Dt  I w f  I w 0

29. Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al
borde de una rueda libre para girar. La fuerza
actúa durante 0.002 s. ¿Cuál es la velocidad
angular final?
I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2 D t = 0.002 s w  0 rad/s
w o
R R = 0.40 m
I = 0.32 kg m2
F F = 200 N
Momento de torsión 2 kg
aplicado t  FR
Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular
0
t Dt = Iwf  Iwo FR Dt = Iwf
wf = 0.5 rad/s

30. Conservación de cantidad de movimient
En ausencia de momento de torsión externo, se
conserva la cantidad de movimiento rotacional de un
sistema (es constante).
0
Ifwf  Iowo = t Dt Ifwf  Iowo
Io = 2 kg m2; wo = 600 rpm If = 6 kg m2; wo = ?
I 0w0 (2 kg  m2 )(600 rpm)
wf   wf = 200 rpm
If 6 kg  m 2

31. Resumen – Analogías rotacionales
Cantidad Lineal Rotacional
Desplazamiento Desplazamiento x Radianes q
Inercia Masa (kg) I (kgm2)
Fuerza Newtons N Momento de
torsión N·m
Velocidad v “ m/s ” w Rad/s
Aceleración a “ m/s2 ” a Rad/s2
Cantidad de mv (kg m/s) Iw (kgm2rad/s)
movimiento

32. Fórmulas análogas
Movimiento lineal Movimiento rotacional
F = ma t = Ia
K = ½mv2 K = ½Iw2
Trabajo = Fx Trabajo = tq
Potencia = Fv Potencia = Iw
Fx = ½mvf2 - ½mvo2 tq = ½Iwf2 - ½Iwo2

33. Resumen de fórmulas: I = SmR2
K  Iw1
2
2
Trabajo = tq I ow o  I f w f
tq
tq  ½Iw  ½Iw 2
f
2
0
Potencia 
t
 tw
¿Altura? mgho mghf ¿Altura?
¿Rotación? ½Iwo2 = ½Iwf2 ¿Rotación?
¿Velocidad?
¿Velocidad? ½mvo 2 ½mvf2

34. Rotación de cuerpo rígido