Este documento introduce el concepto de error en la interpolación y proporciona una fórmula para estimar dicho error. Explica cómo se puede aproximar una función desconocida f(x) mediante un polinomio de interpolación pn(x) y define el error como la diferencia f(x) - pn(x). Luego deriva una expresión que estima el error En(x) en términos de la derivada (n+1)-ésima de f evaluada en un punto z del intervalo.

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6.4 Error en la interpolación
Para entender este concepto usaremos un polinomio de interpolación para aproximar a una función
conocida. Así puede determinarse en forma exacta el error en la interpolación.
Ejemplo. Suponga que se desea aproximar la función f(x)=e
x
, 0≤x≤2, con un polinomio de
segundo grado.
Para obtener este polinomio tomamos tres puntos de la función f: (0, e
0
), (1, e
1
), (2, e
2
) y usamos
la fórmula de Lagrange para obtener el polinomio de interpolación, con cinco decimales:
p2(x) = 1.4762x
2
+ 0.24204x+1
a) Encuentre el error en la aproximación cuando x = 0.5
Si se aproxima f(x) con p2(x) se introduce un error cuyo valor es f(x) – p2(x)
f(0.5) – p2(0.5) = e
0.5
– 1.4762(0.5)
2
– 0.24204(0.5) –1 = 0.1587
b) Encuentre el máximo error en la aproximación
Si se desea conocer cual es el máximo error en la aproximación, se debe resolver la ecuación
2
d
(f(x) p (x)) = 0
dx
− ⇒ e
x
– 2.9524x – 0.2420 = 0
Con un método numérico se encuentra que el máximo ocurre cuando x = 1.6064.
Entonces el máximo valor del error es: f(1.6064) – p2(1.6064) = –0.2133
En general, dados los puntos (xi, fi), i=0, 1, ..., n, siendo f desconocida
Sea pn(x) el polinomio de interpolación, es decir el polinomio tal que pn(xi) = fi , i=0, 1, ..., n
Suponer que se desea evaluar f en un punto t usando pn como una aproximación:
f(t) ≅ pn(t), t ≠ xi, i=0, 1, ..., n
Definición. Error en la interpolación
En(t) = f(t) - pn(t)

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Representación gráfica del error en la interpolación
Siendo f desconocida, no es posible conocer el error pues el valor exacto f(t) es desconocido.
Únicamente se tiene el valor aproximado pn(t). Pero es importante establecer al menos alguna
expresión para estimar o acotar el valor del error En(t). En los puntos dados En(xi) = 0, i=0,1, ..., n
6.4.1 Una fórmula para estimar el error en la interpolación
En las aplicaciones comunes, únicamente se conocen puntos de la función f, siendo igualmente
importante estimar la magnitud del error al usar el polinomio de interpolación. A continuación se
desarrolla un procedimiento para estimar el error
Sean g(x) =
n
i
i=0
(x x )−∏ = (x-x0)(x-x1) ... (x-xn), g es un polinomio de grado n+1
h(x) = f(x) – pn(x) – g(x)En(t)/g(t). h es una función con las siguientes propiedades
1) h es diferenciable si suponemos que f es diferenciable
2) h(t) = 0
3) h(xi) = 0, i = 0, 1, ..., n
Por lo tanto, h es una función diferenciable y la ecuación
h(x) = 0 tiene n+2 ceros en el intervalo [x0, xn]
Aplicando sucesivamente el Teorema de Rolle:
h
(n+1)
(x) = 0 tiene al menos 1 cero en el intervalo [x0, xn]
Sea z∈[x0, xn] el valor de x tal que h
(n+1)
(z) = 0
Derivando formalmente la función h:
h
(n+1)
(x) = f
(n+1)
(x) – 0 – (n+1)! En(t)/g(t)
Al evaluar esta función con x=z:
h
(n+1)
(z) = f
(n+1)
(z) – 0 – (n+1)! En(t)/g(t) = 0
Se obtiene finalmente:
En(t) = g(t) f
(n+1)
(z)/(n+1)!, t≠xi, z∈[x0, xn]
Definición. Fórmula para estimar el error en el polinomio de interpolación
En(x) = g(x) f
(n+1)
(z)/(n+1)!, x≠xi, z∈[x0, xn ]
Siendo g(x) =
n
i
i=0
(x x )−∏ = (x-x0)(x-x1) ... (x-xn)
Para utilizar esta fórmula es necesario poder estimar el valor de f
(n+1)
(z).
En el siguiente capítulo se introduce una técnica para estimar f
(n+1)
(z) usando los puntos de f.
f(t)
pn(t)
. . .