El método de los multiplicadores de Lagrange permite encontrar máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Se utiliza para encontrar puntos críticos de una función sujeta a ecuaciones de restricción, resolviendo un sistema de ecuaciones formado por la función original, las ecuaciones de restricción y ecuaciones adicionales con multiplicadores de Lagrange.

1. Multiplicadores de
Lagrange

2. Es un procedimiento para
encontrar máximos y mínimos
de funciones de múltiples
variables sujetas a restricciones

3. Objetivo del método de multiplicadores de Lagrange: Encontrar algunos puntos
candidatos donde pueda haber extremos relativos o absolutos de la función F
(función real de q variables reales) condicionados a m ecuaciones de Ligadura L,
cuando vale para estas la hipótesis del teorema de función implícita pero no se
puede despejar explícitamente m variables en función de las otras q-m.
HIPÓTESIS (*): (1) y (2)
PARA APLICAR EL MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
1) Se da la función real que es DIFERENCIABLE en el abierto V:
Usamos la
siguiente
notación:
2) Se dan las siguientes m ecuaciones de Ligadura:
Que cumplen las hipótesis del teorema de Función
Implícita en torno del punto (a,b), es decir:
• son funciones diferenciables en V.
•Las ecuaciones se verifican en el punto (a,b)
•

4. TEOREMA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE:
Si se cumplen las hipótesis (*): (1) y (2)
y si (a,b) es un punto donde f tiene un extremo relativo (puede ser el absoluto)
condicionado a la ligadura L,
Entonces es un punto crítico de la “función de Lagrange”:
para cierto valor
de los “multiplicadores de Lagrange”:
Es decir:
NOTA: El recíproco es falso: no todo punto crítico de la función de Lagrange es
necesariamente un extremo relativo condicionado de f a L.
CONSECUENCIA: Los extremos condicionados hay que buscarlos entre los
puntos críticos de la función de Lagrange y entre los puntos donde no se
cumplen las hipótesis (1) y (2)
pero que verifican la ecuaciones de Ligadura L.

5. EJEMPLO: Hallar los extremos absolutos de F condicionados a L, siendo:
Existen los extremos absolutos porque F es continua en el compacto L.
Se cumplen las hipótesis (1) y (2) del teorema de los multiplicadores de Lagrange
en todos los puntos que verifiquen la ecuaciones de ligadura L. Entonces los
extremos condicionados están solamente entre los puntos críticos de la función
de Lagrange:

6. Dem. del teorema de los multiplicadores de Lagrange:
1er. Caso: En F(x,y) con una sola ecuación de Ligadura:
(a,b) extremo de F
condicionado a L
a extremo relativo de la
función compuesta F(x,y(x))
definida
a interior a
a punto crítico de la función
compuesta F(x,y(x)
Siendo la función de Lagrange:
(1) (2) (3)
Luego: es punto crítico de la f. de Lagrange G.

7. Caso General: En con m ecuaciones de Ligadura L:
Idem. Demostración del 1er. Caso, sustituyendo:

8. Multiplicadores de Lagrange
Dimensiones del terreno rectangular
de perímetro 2 m y de área máxima.
Luego debemos hallar el máximo de
A=xy sabiendo que 2(x+y)=2
A=xy función a optimizar
2(x+y)=2 condición a verificar

9. 4
1
)
,
( 
 xy
y
x
f
0
1
)
,
( 


 y
x
y
x
g
)
,
( b
a
g

)
,
( b
a
f

 k
y
x
f 
)
,
(
)
,
(
)
,
( b
a
g
b
a
f 

 

10. Para calcular los valores máximos y
mínimos de f(x,y,z) sujeta a la
restricción g(x,y,z)=0, hacer:
1: Hallar los puntos x,y,z, de modo que
0
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(




z
y
x
g
z
y
x
g
z
y
x
f 
2: Evaluar f en los punto (x,y,z) y
determinar el valor mínimo y máximo

11. 0
16000
a
sujeto
2
2
4
)
,
,
(






xyz
yz
xz
xy
z
y
x
f
p
G
En el problema inicial de la compañía
que fabrica cajas
Hay que resolver
0
16000
)
,
,
(
)
2
2
,
2
4
,
2
4
(






xyz
xy
xz
yz
y
x
z
x
z
y 
Ejemplo: