El método de Lagrange es una estrategia para encontrar el máximo o mínimo local de una función sujeta a restricciones de igualdad. Introduce una nueva variable llamada multiplicador de Lagrange y estudia la función de Lagrange. Este método reduce el problema restringido a uno sin restricciones para resolverlo usando solo la función principal. Se usa comúnmente para encontrar los máximos o mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones dadas por igualdades.

1. Optimización de
Sistemas y Funciones:
Método de Lagrange
VÍCTOR RINCONES
C.I. 25.978.316
21/02/2017

2. Método de Lagrange
El método de lagrange, también conocido como multiplicador de
Lagrange es una estrategia para encontrar el máximo o mínimo local
de una función sujeta a restricciones de igualidad. De tal forma que
se considera un problema de optimización:
Maximiza 𝑓(𝑥, 𝑦)
Sujeto a 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑘

3. Donde 𝑓 y 𝑔 necesitan tener derivadas parciales continuas. Luego se
introduce una nueva variable, lambda (𝜆), denominada el
multiplicador de Lagranguage y se estudia la función de Lagrange
definida por:
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝜆(𝑔 𝑥, 𝑦 − 𝑘)

4. Usos del Método de Lagrange.
El método de Lagrange es principalmente utilizado para encontrar
los máximos o mínimos de una función de múltiples variables la cual
está sometido a ciertas restricciones. Estas restricciones
comúnmente vienen dadas por igualdades. Este método reduce el
problema restringido a uno sin restricciones de manera que se
pueda resolver solamente usando la función principal.

5. Aplicaciones del Método de Lagrange
El método de Lagrange es ampliamente utilizado para solucionar
problemas de valores extremos en ciencia, economía, e ingeniería.
En casos donde la función objetiva 𝑓 y las restricciones 𝐺 tienen
significados específicos, los multiplicadores de Lagrange
comúnmente tienen un significado identificable. En económica, si
estás maximizando las ganancias sujetas a un recurso limitado, 𝜆 es
el valor marginal del recurso. El valor del multiplicador de Lagrange
es el ritmo al cual el valor óptimo de la función objetivo 𝑓 cambia si
las restricciones son cambiadas.

6. Ejemplo del Método de Lagrange
Se desea minimizar el costo de producción de TVs en dos fábricas. El
costo viene dado por la función 𝐶 𝑥, 𝑦 = 6𝑥2 + 12𝑦2 sujeto a una
restricción de un 90 TVs que deben ser producidas.
Entonces tenemos que la restricción viene dada por: x + y = 90
Principalmente establecemos la función de Lagrange:
Resultado
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 6𝑥2 + 12𝑦2 − 𝜆(𝑥 + 𝑦 − 90)
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 6𝑥2 + 12𝑦2 − 𝜆𝑥 − 𝜆𝑦 + 90𝜆

7. 𝐹𝑥 = 12𝑥 − 𝜆
𝐹𝑦 = 24𝑦 − 𝜆
𝐹𝜆 = −𝑥 − 𝑦 + 90
Luego, calculamos la derivada parcial para cada una de las variables:
Igualamos a 0 y despejamos 𝑥 y 𝑦
𝑥 =
𝜆
12
𝑦 =
𝜆
24

8. Remplazamos 𝑥 y 𝑦 en 𝐹𝜆. Igualamos a 0 y despejamos 𝜆
−
𝜆
12
−
𝜆
24
+ 90 = 0
−
𝜆
8
= −90
𝜆 = 720
Reemplazamos el valor de 𝜆 obtenido 𝑥 y 𝑦 para obtener sus valores. Se tiene
que:
𝑥 =
720
12
= 60 𝑦 =
720
24
= 30

9. Se reemplazan los valores de 𝑥 y 𝑦 en la función para así encontrar el valor
mínimo de la función
𝑓 60,30 = 6(60)2+12(30)2= 32400
Para comprobar que este es un mínimo, tomamos un valor para x o y
superior al actual:
𝑥 = 61 𝑦 = 29
𝑓 61,29 = 6(61)2
+12(29)2
= 32418
De tal manera que tenemos que el valor mínimo es 32400 que se encuentra
en el intervalo (60,30)

10. Gracias por su Atención