El documento detalla diversas leyes lógicas en el cálculo proposicional, como las leyes de idempotencia, conmutativa, identidad, dominación, complementación, Morgan y condicional. Se presentan ejemplos y tautologías que ilustran cada ley, además de incluir reglas de inferencia deductiva como el modus ponens y modus tollens. La información es relevante para estudiantes de ingeniería de telecomunicaciones en la asignatura de estructura discreta.

1. Universidad “Fermín Toro”
Asignatura: Estructura Discreta I
Sección: SAIA – A. Año: 2016-4.
Alumno: Ronald Wielman.
C. I. 18.656.843
Carrera: Ingeniería de Telecomunicaciones.
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Los formulas lógicas resultan siempre verdades, no importa la combinación de los valores ya sean verdaderos o falso de sus componentes,
con tautológica o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la
confección de su correspondiente tabla de verdad. Entre esas leyes se encuentran:
1. LEYES DE IDEMPOTENCIA: Cuando se está frente a una disyunción o una conjunción cuyos dos miembros están constituidos por la misma
proposición, se puede prescindir de uno de ellos y quedarse con el otro, como conclusión, ya que en realidad uno y otro son equivalentes. Es
decir, si las dos opciones a elegir en realidad son la misma. A continuación su tautología:
a) P v P ≡ P
P v P ≡ P
1 1 1 1 1
0 0 0 1 0
b) P ^ P ≡ P
P ^ P ≡ P
1 1 1 1 1
0 0 0 1 0
2. LEYES CONMUTATIVA: Esta ley puede aplicarse con tres de los cuatros conectivos diádicos: Conjunción, Disyunción y Bicondicional. Con el
único conectivo que no puede aplicarse esta ley es con el conectivo “Condicional”. Cambia el orden de las proposiciones sin modificar el
conectivo. A continuación su tautología:
a) P v Q ≡ Q v P
P v Q ≡ Q v P
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0
b) P ^ Q ≡ Q ^ P
P ^ Q ≡ Q ^ P
1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0
3. LEYES DE LA IDENTIDAD O ELEMENTO NEUTRO: Esta ley se aplica cuando una proposición esté conectada con una conjunción – disyunción a
un elemento sea verdadero o falso (1 ó 0), siempre se obtendrá el valor de la proposición. A continuación su tautología:
a) P v 0 ≡ P
P v 0 ≡ P
1 1 0 1 1
0 0 0 1 0
b) P ^ 1 ≡ P
P ^ 1 ≡ P
1 1 1 1 1
0 0 1 1 0
4. LEYES DE DOMINACION: Esta ley se aplica cuando una proposición esté conectada con una conjunción – disyunción a un elemento sea
verdadero o falso (1 ó 0), siempre se obtendrá el valor del elemento sea verdadero o falso (1 ó 0). A continuación su tautología:
a) P v 1 ≡ 1
P v 1 ≡ 1
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
b) P ^ 0 ≡ 0
P ^ 0 ≡ 0
1 0 0 1 0
0 0 0 1 0

2. Universidad “Fermín Toro”
Asignatura: Estructura Discreta I
Sección: SAIA – A. Año: 2016-4.
Alumno: Ronald Wielman.
C. I. 18.656.843
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5. LEYES DE COMPLEMENTACION. A continuación su tautología:
a) P v ~P ≡ 1 (Tercer exclusión)
P v ~P ≡ 1
1 1 0 1 1
0 1 1 1 1
b) P ^ ~P ≡ 0 (Contradicción)
P ^ ~P ≡ 0
1 0 0 1 0
0 0 1 1 0
c) ~~P ≡ P (Doble negación)
~ ~P ≡ P
1 0 1 1
0 1 1 0
d) ~1 ≡ 0 ~0 ≡ 1
6. LEYES DE MORGAN: Tiene dos formas en las que se puede aplicar esta ley. A partir de una proposición en conjunción negada, se puede
obtener la negación de cada uno de los conjuntivos pero cambiando el conectivo a disyunción, pero cambiando a Conjunción. A continuación
su tautología:
a) ~(P v Q) ≡~Q ^ ~P
~ (P v Q) ≡ ~Q ^ ~P
0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1 1 1
b) ~(P ^ Q) ≡ ~Q v ~P
~ (P ^ Q) ≡ ~Q v ~P
0 1 1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
7. LEYES DEL CONDICIONAL. A continuación su tautología:
a) P →Q ≡ ~P v Q
P → Q ≡ ~P v Q
1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
b) P →Q ≡ ~Q → ~P (Contra reciproco)
P → Q ≡ ~Q → ~P
1 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1
c) P →Q ≡(P ^ ~Q → 0) (Reducción a los absurdo)
P → Q ≡ (P ^ ~Q → 0)
1 1 1 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 1 1 0

3. Universidad “Fermín Toro”
Asignatura: Estructura Discreta I
Sección: SAIA – A. Año: 2016-4.
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8. LEYES DEL BICONDICIONAL. A continuación su tautología:
a) P ↔ Q ≡ (P →Q) ^ (Q →P)
P ↔ Q ≡ (P → Q) ^ (Q → P)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
b) P ↔ Q ≡ (P ^ Q) v (~Q ^ ~P)
P ↔ Q ≡ (P ^ Q) v (~Q ^ ~P)
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1
9. LEYES DE DISYUNCION EXCLUSIVA. A continuación su tautología:
a) P v Q ≡ (P ^ ~Q) v (Q ^ ~P)
P v Q ≡ (P ^ ~Q) v (Q ^ ~P)
1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
10. LEYES DE ABSORCION. A continuación su tautología:
a) P v (P ^ Q) ≡ P
P v (P ^ Q) ≡ P
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 0
b) P ^ (P v Q) ≡ P
P ^ (P v Q) ≡ P
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 0
c) P v (~P ^ Q) ≡ P v Q
P v (~P ^ Q) ≡ P v Q
1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 0
d) P ^ (~P v Q) ≡ P ^ Q
P ^ (~P v Q) ≡ P ^ Q
1 1 0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 0 0 0

4. Universidad “Fermín Toro”
Asignatura: Estructura Discreta I
Sección: SAIA – A. Año: 2016-4.
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11. LEYES ASOCIATIVA: Esta ley ordena de diversas formas sin alterar los productos, cuando se tenga el mismo conectivo lógico, ya sea la
conjunción o disyunción. A continuación su tautología:
a) (P v Q) v R ≡ P v (Q v R)
(P v Q) v R ≡ P v (Q v R)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
b) (P ^ Q) ^ R ≡ P ^ (Q ^ R)
(P ^ Q) ^ R ≡ P ^ (Q ^ R)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
12. LEYES DISTRIBUTIVA: Se aplican cuando se tienen dos conectivos diferente: conjunción - disyunción, o disyunción - conjunción. Se distribuye a
la proposición fuera del paréntesis con las que están dentro del mismo. A continuación su tautología:
a) P v (Q ^ R) ≡ (P v Q) ^ (P v R)
P v (Q ^ R) ≡ (P v Q) ^ (P v R)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
b) P ^ (Q v R) ≡ (P ^ Q) v (P ^ R)
P ^ (Q v R) ≡ (P ^ Q) v (P ^ R)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

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Reglas de inferencia deductiva:
Es una forma lógica que consiste en una función que toma premisas, analiza su sintaxis, y devuelve una conclusión (o conclusiones). Entre
estas reglas, podemos mencionar:
I. Modus Ponendo Ponens (MP): [latín: "el modo que, al afirmar, afirma", también llamado modus ponens, eliminación de la implicación o
regla de separación] Esta ley utiliza una condicional o implicación que establece que si el antecedente o primer término se afirma
necesariamente en consecuente o segundo termino también lo que nos lleva a una conclusión valida.
Ejemplos:
p → q
p
“Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)
“Llueve” (premisa)
q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)
II. Modus Tollendo Tollens (TT): [latín: "el modo que, al negar, niega", conocido como modus tollens, negación del consecuente o ley de
contraposición] es una propiedad inversa de las condicionales, si un argumento parece como premisa negada en este caso el efecto esto
nos conducirá a negar el antecedente, puesto que si un efecto no se da su causa tampoco existe.
Ejemplo:
p → q
~q
“Si llueve, entonces las calles se mojan”
“las calles no se mojan”
~p “Luego, no llueve” (conclusión)
III. Doble Negación (DN): La regla de doble negación establece, que si un enunciado esta doblemente negado equivaldría al enunciado
afirmado.
Ejemplo:
~~p ↔ p
~~p
“No ocurre que Ana no es una estudiante”
“No ocurre que Ana no es una estudiante”
p “Ana es una estudiante” (conclusión)
IV. Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirma dos como dos premisas separadas mediante la adjunción podemos unirlos en
una sola premisa utilizando el operador y para la conjunción (^).
Ejemplo:
p
q
“Juan es cocinero”
“Pedro es policía”
p ^ q “Juan es cocinero y Pedro es policía” (conclusión)
V. Simplificación Disyuntiva (SD): Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus
antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.
Ejemplo:
p v q
p → r
q → r
“Helado de fresa o helado de vainilla”
“Si tomas helado de fresa, entonces repites”
“Si tomas helado de vainilla, entonces repites”
r Luego, repites
VI. Silogismo Hipotético (SH): Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo
enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el
antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.
Ejemplo:
p → q
q → r
“Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”
“Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”
p → r Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve

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VII. Leyes de Morgan: Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una
disyunción.
Ejemplo:
Conjunción ~(p ^ q)
~p v ~q
Disyunción ~(p v q)
~p ^ ~q
VIII. Modus Tollendo Ponens (TP): [latín: "el modo que, al negar, afirma"] La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una
elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la
verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.
A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una
disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.
Ejemplo:
p v q
¬q
“He ido al cine o me he ido de compras”
“No he ido de compras”
p Por tanto, he ido al cine
IX. Ley conmutativa: Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se
dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una
elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,
Ejemplo:
p ^ q ↔ q ^ p
p v q ↔ q v p
X. Ley de Adición (LA): Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro
enunciado.
Ejemplo:
p
q
“He comprado manzanas”
“He comprado peras”
p v q He comprado manzanas o he comprado peras
XI. Silogismo Disyuntivo (DS): Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los
antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los
consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección
igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.
Ejemplo:
p → q
r → s
p v r
“Si llueve, entonces las calles se mojan”
“Si la tierra tiembla, los edificios se caen”
“Llueve o la tierra tiembla”
q v s “Las calles se mojan o los edificios se caen”
XII. Simplificación: indudablemente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una
conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.
Ejemplo:
p ^ q “Tengo una manzana y tengo una pera”
p
q
“Tengo una manzana”
“Tengo una pera”