El documento aborda la derivación implícita de funciones donde la variable dependiente y está mezclada con la independiente x. Se describen los pasos para derivar ecuaciones de la forma f(x,y)=0, así como ejemplos prácticos. Además, se presenta una aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la velocidad de un tablón en movimiento.

1. Delys Rodríguez
Diseño de Obras Civiles
Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto

2. Función Implícita
Es aquella función en la que la variable dependiente y, se halla
mezclada con la variable independiente x, se puede expresar
como:
𝑓(𝑥,𝑦)=0
4𝑥^5 𝑦^3+2𝑥^3 𝑦^2−3𝑥𝑦+2=0

3. Derivación Implícita
• Es la derivada que se realiza directamente sobre una
función implícita. En este tipo de funciones, como se
indico anteriormente, la variable y se halla mezclada con
la variable x, de la que depende, de forma que cada vez
que derivemos la variable y tendremos que multiplicarla
por el término 𝑑𝑦/𝑑𝑥=𝑦´
• La derivación implícita se da, cuando no se puede
expresar en esta forma.
• Cuando la variable y esta definida implícitamente, se
deriva teniendo estos pasos:
• Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x.
• Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el
lado izquierdo de la ecuación y los demás a la
derecha.
• Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuación
• Despejar dy/dx

4. EJEMPLO: Derivar la ecuación
y3+y2-5y -x2 =-4
3 2 2
[ 5 ] [ 4]
d d
y y y x
dx dx
    
   3 2 2
5 4
d d d d d
y y y x
dx dx dx dx dx
              
2
3 2 5 2 0
dy dy dy
y y x
dx dx dx
   
SOLUCIÓN
1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x

5. 2. Agrupar los términos que aparezcan dy/dx en el lado
izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha.
2
3 2 5 2
dy dy dy
y y x
dx dx dx
  
3. Factorizar dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación
2
[3 2 5] 2
dy
y y x
dx
  
4. Despejar dy/dx
2
2
3 2 5
dy x
dx y y

 

6. Teorema:
• Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y)=0,
define a y de manera implícita como una función de x, es
decir: y=f(x), para todo x, en el dominio de f(x).
• Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx, con la
fórmula:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝑭 𝒙
𝑭 𝒚
(𝑭 𝒚 ≠ 𝟎)
donde:
𝑭 𝒙: es derivada de F con respecto a x, se toma y
como constante.
𝑭 𝒚: es derivada de F con respecto a y, se toma x
como constante.

7. En efecto:
Tenemos la ecuación:
F(x,y)=0
𝑑𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
=
𝑑(0)
𝑑𝑥
= 0
𝑑𝐹
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝑑𝐹
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
𝑑𝐹
𝑑𝑥
+
𝑑𝐹
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−
𝑑𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝐹
𝑑𝑦
=
−𝐹𝑥
𝐹𝑦
(𝐹𝑦 ≠ 0)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝑭 𝒙
𝑭 𝒚
(𝑭 𝒚 ≠ 𝟎)

8. Ejemplo: Derivar:
𝒙 𝟐
𝒚 − 𝒙𝒚 𝟐
+ 𝒙 𝟐
= −𝒚 𝟐
SOLUCIÓN
𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 → 𝑥2 𝑦 − 𝑥𝑦2 + 𝑥2 + 𝑦2 = 0
𝐹𝑥 = 2𝑥𝑦 − 𝑦2 + 2𝑥
𝐹𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝐹𝑥
𝐹𝑦
hallamos
Luego, se reemplaza en la fórmula y
se obtiene:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−(𝟐𝒙𝒚−𝒚 𝟐+𝟐𝒙)
𝒙 𝟐−𝟐𝒙𝒚+𝟐𝒚
=
−𝟐𝒙𝒚+𝒚 𝟐−𝟐𝒙)
𝒙 𝟐−𝟐𝒙𝒚+𝟐𝒚

9. Aplicación:
Un obrero levanta con la ayuda de una soga,
un tablón hasta lo alto de un edificio en
construcción.
Supongamos que el otro extremo del tablón de
5m sigue una trayectoria perpendicular a la
pared y que el obrero mueve el tablón a razón
de 0.15m/s. ¿A qué ritmo se desliza por el
suelo el extremo cuando está a 2.5 m de la
pared?

10. Solución
Del teorema de Pitágoras
se tiene que x2 + y2 = r2
Derivamos a la expresión
como función implícita
tomando en cuenta que el
tablón no cambia de
longitud. Se tiene:
0
dx dy
x y
dt dt
 
0.15m/s
Vx
2.5m
5m
y

11. De donde:
.x
dx y dy
v
dt x dt
 
4.33
.(0.15)
2.5
0.26
x
x
v
mv
s

