Este documento presenta una introducción detallada a varios conceptos matemáticos fundamentales como conjuntos, números reales, desigualdades y desigualdades con valor absoluto. Explica que los conjuntos son colecciones de elementos y define tipos como conjuntos finitos e infinitos. Describe operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explora los números reales, racionales e irracionales. Analiza propiedades de las desigualdades y desigualdades con valor absoluto, proporcionando ejemplos. Concluye que

1. Conjuntos,
Números Reales y
Desigualdades:
Un Estudio
Detallado
William Hernández
15.508.365
PNF Contaduría

2. Las matemáticas son una disciplina que se
ocupa de las propiedades y relaciones de los
números, las figuras geométricas y los
objetos abstractos. Dentro de este amplio
campo, hay varios conceptos fundamentales
que son esenciales para una comprensión
profunda de las matemáticas. Estos
incluyen los conjuntos y las operaciones con
conjuntos, los números reales, las
desigualdades, el valor absoluto y las
desigualdades con valor absoluto.
Introducción

3. CONJUNTOS
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma
como un objeto matemático. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier
cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o
miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro
de él.
Conjuntos finitos: Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su totalidad. Por ejemplo: los meses del año, los días de la
semana o los continentes.
Conjunto infinito: Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Por ejemplo: los
números.
Conjunto unitario: Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo: La Luna es el único elemento en el conjunto “satélites
naturales de la Tierra”.
Conjunto vacío: No presenta ni contiene elementos.
Conjunto homogéneo: Sus elementos presentan una misma clase o categoría.
Conjunto heterogéneo: Sus elementos difieren en clase y categoría.
Existen diferentes tipos de conjuntos:

4. OPERACIÓN
CON
CONJUNTOS
UNIÓN DE CONJUNTOS: SE REALIZA PARA OBTENER UN CONJUNTO QUE CONTENGA
TODOS LOS ELEMENTOS DE LOS CONJUNTOS ORIGINALES.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: SE REALIZA PARA OBTENER UN CONJUNTO QUE
CONTENGA SOLO LOS ELEMENTOS QUE ESTÁN EN AMBOS CONJUNTOS ORIGINALES.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS: SE REALIZA PARA OBTENER UN CONJUNTO QUE
CONTENGA LOS ELEMENTOS QUE ESTÁN EN UN CONJUNTO ORIGINAL PERO NO EN EL
OTRO.
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS: SE REALIZA PARA OBTENER UN CONJUNTO
QUE CONTENGA LOS ELEMENTOS QUE ESTÁN EN UNO DE LOS CONJUNTOS
ORIGINALES PERO NO EN AMBOS.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: SE REALIZA PARA OBTENER UN CONJUNTO QUE
CONTENGA TODOS LOS ELEMENTOS QUE NO ESTÁN EN EL CONJUNTO ORIGINAL.
UNIÓN DE CONJUNTOS: SI TENEMOS DOS CONJUNTOS, A = {1, 2, 3} Y B = {3, 4, 5}, LA
UNIÓN DE A Y B (DENOTADA COMO A ∪ B) SERÍA EL CONJUNTO {1, 2, 3, 4, 5}, QUE
CONTIENE TODOS LOS ELEMENTOS DE A Y B.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: USANDO LOS MISMOS CONJUNTOS A Y B, LA
INTERSECCIÓN DE A Y B (DENOTADA COMO A ∩ B) SERÍA EL CONJUNTO {3}, QUE
CONTIENE SOLO LOS ELEMENTOS QUE ESTÁN EN AMBOS A Y B.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS: LA DIFERENCIA DE A Y B (DENOTADA COMO A - B)
SERÍA EL CONJUNTO {1, 2}, QUE CONTIENE LOS ELEMENTOS QUE ESTÁN EN A PERO
NO EN B. DE MANERA SIMILAR, B - A SERÍA EL CONJUNTO {4, 5}.
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS: LA DIFERENCIA SIMÉTRICA DE A Y B
(DENOTADA COMO A Δ B) SERÍA EL CONJUNTO {1, 2, 4, 5}, QUE CONTIENE LOS
ELEMENTOS QUE ESTÁN EN A O EN B, PERO NO EN AMBOS.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: SI TENEMOS UN CONJUNTO UNIVERSAL U = {1, 2, 3,
4, 5} Y UN CONJUNTO A = {1, 2, 3}, EL COMPLEMENTO DE A (DENOTADO COMO A’)
SERÍA EL CONJUNTO {4, 5}, QUE CONTIENE LOS ELEMENTOS QUE ESTÁN EN U PERO
NO EN A.
ALGUNAS DE ESTAS OPERACIONES SON:
1.
2.
3.
4.
5.
AQUÍ TIENES ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERACIONES CON CONJUNTOS:
1.
2.
3.
4.
5.

5. El 3: es un número real, racional, entero natural.
El 4,254: es un número real, racional, fraccionario (número
decimal).
El 4/9: es un número real, racional, fraccionario (fracción propia).
El π: es un número real, irracional.
El √2: es un número real, irracional.
El -3: es un número real, racional, entero negativo.
El 1/3: es un número real, racional, fraccionario (fracción propia).
El 0: es un número real, racional, entero.
Un número real es una cantidad que se puede expresar como una
expansión infinita de decimal. Los números reales se usan en medidas
de cantidades que varían contínuamente como el tamaño o la hora.
lgunos ejemplos de números reales son:
NÚMEROS REALES
Números
naturales
N
úmeros enter
o
s
Integrales
Racionales
Números
irracionales

6. Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el
mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si se divide ambos miembros de la expresión por el
mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si se resta el mismo valor a ambos miembros de la
expresión, la desigualdad se mantiene.
Si se suma el mismo valor a ambos miembros de la
expresión, la desigualdad se mantiene.
Si se multiplica o divide ambos miembros de la expresión
por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido.
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden
que se establece entre dos expresiones algebraicas
conectadas a través de los signos: ≠ (desigual que), > (mayor
que), < (menor que), ≤ (menor o igual que), y ≥ (mayor o igual
que), resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por ejemplo, si tenemos la desigualdad 3x + 3 < 9, esto
significa que el valor de la expresión 3x + 3 es menor que 9.
Las desigualdades matemáticas poseen varias propiedades:
Desigualdades

7. El valor absoluto de un número real se define como la
distancia que hay entre ese número y el 0 en la recta real. Por
ser una distancia, su valor es siempre positivo o cero e igual a
la figura del número1. El valor absoluto se representa ubicando
el número entre dos barras verticales, símbolo que se lee:
“valor absoluto de”.
Por ejemplo, el valor absoluto de -3 se escribe como │-3│ y
es igual a 3. Esto significa que entre el -3 y el 0 hay tres
unidades, que representa los números sobre la recta real1. Por
su parte el valor absoluto de +3 o simplemente 3, también es
igual a 3, ya que al medir su distancia al 0 también es de tres
unidades.
Otro ejemplo sería el valor absoluto de -10 -7, que se calcula
como |-10 -7| = |-17| =172. Primero se resuelve la operación
dentro de las barras (es decir, -10 -7 = -17), y luego se toma el
valor absoluto del resultado, que es 17.
Valor Absoluto

8. |x| < 3: Esta desigualdad se cumple para todos los valores
de x que están a menos de 3 unidades de distancia de cero.
Por lo tanto, las soluciones a esta desigualdad son todos los
números entre -3 y 3.
|x - 2| > 5: Esta desigualdad se cumple para todos los
valores de x que están a más de 5 unidades de distancia de
2. Por lo tanto, las soluciones a esta desigualdad son todos
los números menores que -3 o mayores que 7.
Las desigualdades con valor absoluto son una forma de
desigualdad que incluye una variable dentro de un valor
absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia desde
cero en la línea de los números reales, sin tener en cuenta la
dirección. Se denota con dos barras verticales alrededor del
número o la expresión. Por ejemplo, el valor absoluto de -3 y 3
es 3, porque ambos están a 3 unidades de distancia de cero.
Aquí tienes algunos ejemplos de desigualdades con valor
absoluto:
1.
2.
Para resolver desigualdades con valor absoluto, normalmente
se separan en dos casos, uno para la expresión positiva y otro
para la negativa, y luego se resuelven las desigualdades
resultantes. Es importante recordar que el valor absoluto
siempre es positivo o cero, nunca negativo.
Desigualdades con
Valor Absoluto

9. En resumen, los conjuntos, las operaciones con
conjuntos, los números reales, las
desigualdades, el valor absoluto y las
desigualdades con valor absoluto son conceptos
fundamentales en matemáticas que
proporcionan las bases para el estudio de
disciplinas más avanzadas. Al entender estos
conceptos, uno puede desarrollar una
comprensión más profunda de las matemáticas
y estar mejor equipado para abordar
problemas más complejos. Estos conceptos son
esenciales no sólo para los matemáticos, sino
también para cualquier persona que quiera
entender el mundo desde una perspectiva
cuantitativa.
Conclusión