2. Introducción
El curso de Cálculo III, con siglas mat 220,
trata sobre algunos aspectos de lo que se
conoce como Cálculo en varias variables. El
objetivo de este curso es extender ciertas
nociones del Cálculo en una variable a varias
variables.
3. Los tópicos de cálculo III abarcarán los principales
temas que incluyen la mayoría de textos tradicionales
sobre cálculo en varias variables, con la excepción de
superficies de revolución cuyo tratamiento dado en clase
es novedoso, y el cual no es, para nada, considerado en
tales textos
4. A lo largo del curso nos guiaremos bajo la premisa de
que la matemática se aprende haciéndola y no
leyéndola, con esto queremos enfatizar que esperamos
de parte del estudiante un compromiso real con el
trabajo que demandará el curso.
5. Funciones de varias variables
reales
Introducción En muchas situaciones habituales
aparecen funciones de dos o m´as variables, por
ejemplo:
w = F · D (Trabajo realizado por una fuerza)
V = πr2h (Volumen de un cilindro circular recto)
V = xyz (Volumen de un solido rectangular)
z = e x + sen(y) = f(x, y) w = f(x, y, z) = x 2 + 3yz
6. Definición Una función f : D ⊂ R n → R (x1,
x2, . . . , xn) → f(x1, x2, . . . , xn) ∈ R
se dice que es una función de n variables reales
con valores reales. El dominio de f es D ⊂ R n y
su imagen el conjunto {f(x1, x2, . . . , xn) : (x1,
x2, . . . , xn) ∈ R n} ⊂ R.
La manera más habitual de describir una función
de varias variables es mediante una ecuación.
A menos que se diga lo contrario el dominio de
la función será el mayor conjunto de puntos para
el que la ecuación está definida.
7. Las funciones de varias variables pueden
combinarse de la misma forma que las funciones
de una variable:
(f ± g)(x, y) = f(x, y) ± g(x, y) (Suma o diferencia).
(f · g)(x, y) = f(x, y) · g(x, y) (Producto).
(f /g)(x, y) = f(x,y) g(x,y)
si g(x, y) 6= 0 (Cociente).
Si f(x, y), g(z) y Rango(f) ⊂ Dom(g) (g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y))
(Funci´on compuesta).
8. La gráica de una función de dos variables f(x, y) es el conjunto de
todos los puntos (x, y, z) tales que z = f(x, y) para (x, y) ∈ Dom(f).
La gráfica de f(x, y) es una superficie en el espacio. Ejemplo
Representar la gráfica de la función f(x, y) = p 16 − 4x 2 − y 2.
9. En el otro bloque desarrollaremos un
taller para garantizar el aprendizaje
significativo del curso.
