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Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc. cap 6-1
Capítulo 6
La distribución normal y otras
distribuciones continuas
Comerciales Básicas
11ª Edición

Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-2
Objetivos de aprendizaje
En este capítulo, aprenderá:
 Para calcular probabilidades a partir de la distribución
normal
 Usar la gráfica de probabilidad normal para determinar
si un conjunto de datos tiene una distribución
aproximadamente normal
uniforme
exponencial
 Para calcular probabilidades de la distribución normal a
probabilidades aproximadas de la distribución binomial

Distribuciones de probabilidad
continua
 Una variable aleatoria continua es una variable
que puede asumir cualquier valor en un
continuo (puede asumir un número incontable
de valores)
 espesor de un artículo
 tiempo requerido para completar una tarea
 temperatura de una solucion
 altura en pulgadas
 Estos pueden tomar potencialmente cualquier
valor dependiendo solo de la capacidad de
medir con precisión y exactitud

La distribución normal
 ' En forma de campana '
 Simétrico
 Media, mediana y moda
son iguales
La ubicación está determinada
por la media, μ
La dispersión está determinada
por la desviación estándar, σ
La variable aleatoria tiene un
rango teórico infinito:
+  a  
Significa
r
=
mediana
= Modo
X
f(X)
m
σ

distribución normal
2
μ)
(X
2
1
e
2π
1
f(X)





 

 

 La fórmula para la función de densidad de probabilidad
normal es
Donde e = la constante matemática aproximada por 2.71828
π = la constante matemática aproximada por 3.14159
μ = la media de la población
σ = la desviación estándar de la población
X = cualquier valor de la variable continua

Variando los parámetros μ y σ obtenemos
distintas distribuciones normales
Muchas distribuciones normales

La forma de distribución
normal
X
f(X)
m
σ
Cambiando μ
desplaza la
distribución hacia la
izquierda o hacia la
derecha .
Cambiar σ aumenta o
disminuye la
dispersión.

La normalidad estandarizada
 Cualquier distribución normal (con cualquier
combinación de media y desviación estándar)
se puede transformar en la distribución
normal estandarizada distribución (Z)
 Necesita transformar unidades X en unidades
Z
 La distribución normal estandarizada ( Z )
tiene una media de 0 y una desviación
estándar de 1

Traducción a la Distribución
Normal Estandarizada
 Traduzca de X a la normal estandarizada (la
distribución "Z") restando la media de X y
dividiendo por su desviación estándar :
σ
μ
X
Z


La distribución Z siempre tiene media = 0 y
desviación estándar = 1

La función de densidad de
probabilidad normal
estandarizada
 La fórmula para la función de densidad de
probabilidad normal estandarizada es
Donde e = la constante matemática aproximada por 2.71828
π = la constante matemática aproximada por 3.14159
Z = cualquier valor de la distribución normal estandarizada
2
(1/2)Z
e
2π
1
f(Z) 


distribución normal estandarizada
 También conocida como distribución “Z”
 la media es 0
 La desviación estándar es 1
Z
f(Z)
0
1
Los valores por encima de la media tienen valores
Z positivos , los valores por debajo de la media
tienen valores Z negativos

Ejemplo
 Si X se distribuye normalmente con una
media de 100 y una desviación estándar de
50 , el valor Z para X = 200 es
 Esto dice que X = 200 es dos desviaciones
estándar (2 incrementos de 50 unidades) por
encima de la media de 100.
2.0
50
100
200
σ
μ
X
Z 





Comparando unidades X y Z
Z
100
2.0
0
200 X
Tenga en cuenta que la forma de la distribución es
la misma, solo ha cambiado la escala. Podemos
expresar el problema en unidades originales (X) o
en unidades estandarizadas (Z)
( μ = 100, σ = 50)
( μ = 0, σ = 1)

Encontrar probabilidades
normales
a b X
f(X) PAGS
a X b
( )
≤
La probabilidad se mide por el área bajo
la curva.
≤
PAGS
a X b
( )
<
<
=
(Tenga en cuenta que la
probabilidad de
cualquier valor
individual es cero)

f(X)
X
m
Probabilidad como
área bajo la curva
0.5
0.5
El área total bajo la curva es 1,0 y la curva es
simétrica, por lo que la mitad está por encima de la
media y la otra mitad por debajo
1.0
)
X
P( 




0.5
)
X
P(μ 



0.5
μ)
X
P( 




La tabla normal estandarizada
 La tabla Normal Estandarizada
Acumulativa en el libro de texto (Tabla E.2
del Apéndice) da la probabilidad menor que
un valor deseado de Z (es decir, de infinito
negativo a Z)
Z
0 2.00
0.9772
Ejemplo:
P(Z < 2,00) = 0,9772

La tabla normal estandarizada
El valor dentro de la
tabla da la probabilidad
de Z =   hasta el
valor Z deseado
.9772
2.0
P(Z < 2,00) = 0,9772
La fila muestra
el valor de Z al
primer punto
decimal
la columna da el valor de Z al
segundo punto decimal
2.0
.
.
.
(continuado
)
Z 0,00 0,01 0,02 …
0.0
0.1

Procedimiento general para
encontrar probabilidades
normales
 Dibuje la curva normal para el problema
en
términos de X
Traducir valores X a valores Z
Utilice la tabla normal estandarizada
Para encontrar P(a < X < b) cuando X se
distribuye normalmente:

normales
 Sea X el tiempo que se tarda en
descargar un archivo de imagen de
Internet.
 Suponga que X es normal con media 8.0
y desviación estándar 5.0. Encuentre P(X
< 8.6)
X
8.6
8.0

 Sea X el tiempo que se tarda en descargar un archivo de imagen de
Internet.
 Suponga que X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0.
Encuentre P(X < 8.6)
Z
0.12
0
X
8.6
8
µ = 8
σ = 10
m = 0
σ = 1
(continuado
)
normales
0.12
5.0
8.0
8.6
σ
μ
X
Z 




P(X < 8.6) P(Z < 0,12)

Z
0.12
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Solución: Encontrar P(Z < 0.12)
.5478
.02
0.1 .
5478
Probabilidad normal
estandarizada
Mesa (Porción)
0.00
= P( Z < 0,12)
P( X < 8.6)

probabilidades normales de la cola
superior
y desviación estándar 5.0.
 Ahora encuentra P(X > 8.6)
X
8.6
8.0

 Ahora encuentra P(X >
8.6)…
(continuado
)
Z
0.12
0
Z
0.12
0.5478
0
1.000 1,0 - 0,5478
= 0,4522
P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤ 0,12)
= 1,0 - 0,5478 = 0,4522
probabilidades normales de la cola
superior

Encontrar una probabilidad
normal entre dos valores
 Suponga que X es normal con media 8.0 y
desviación estándar 5.0. Encuentre P(8 < X <
8.6)
P( 8 < X < 8.6)
= PAG( 0 < Z <
0.12)
Z
0.12
0
X
8.6
8
0
5
8
8
σ
μ
X
Z 




0.12
5
8
8.6
σ
μ
X
Z 




Calcular valores Z:

Z
0.12
Solución: Hallar P(0 < Z < 0.12)
0.0478
0.00
= PAG( 0 < Z < 0.12)
P( 8 < X < 8.6)
= P( Z < 0,12) – P(Z ≤ 0)
= 0.5478 - .5000 = 0.0478
0.5000
Z .00 .01
0.0 . 5000.5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
.02
0.1 .
5478
Probabilidad normal
estandarizada
Mesa (Porción)

y desviación estándar 5.0.
 Ahora encuentra P(7.4 < X < 8)
X
7.4
8.0
Probabilidades en la cola
inferior

Probabilidades en la cola
inferior
Ahora encuentra P(7.4 < X < 8)…
X
7.4 8.0
P(7.4 < X < 8)
= P(-0.12 < Z < 0)
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0,12)
= 0,5000 - 0,4522 = 0,0478
(continuado
)
0.0478
0.4522
Z
-0.12 0
La distribución Normal es
simétrica, por lo que esta
probabilidad es la misma que
P(0 < Z < 0.12)

Reglas empíricas
μ ± 1 σ encierra
aproximadamente el
68,26 % de las X
f(X)
X
m μ +1
σ
μ -1
σ
¿Qué podemos decir acerca de la distribución de
valores alrededor de la media? Para cualquier
distribución normal:
σ
σ
68,26%

La regla empírica
 μ ± 2 σ cubre alrededor del 95% de
las X
 μ ± 3 σ cubre alrededor del 99,7%
de X
X
m
2 σ 2 σ
X
m
3 σ 3 σ
95,44% 99,73%
(continuado
)

 Pasos para encontrar el valor de X para
una probabilidad conocida:
1. Encuentra el valor Z para la probabilidad
conocida
2. Convierte a X unidades usando la fórmula:
Dada una probabilidad
normal,
encuentre el valor de X
Zσ
μ
X 


Encontrar el valor de X para
una probabilidad conocida
Ejemplo:
 Sea X el tiempo que lleva (en segundos) descargar un
archivo de imagen de Internet.
 Suponga que X es normal con media 8.0 y desviación
estándar 5.0
 Encuentre X tal que el 20% de los tiempos de descarga
sean menores que X.
X
? 8.0
0.2000
Z
? 0
(continuado
)

Encuentre el valor Z para el
20 % en la cola inferior
 El área del 20% en la
parte inferior de la
cola es consistente
con un valor Z de -
0.84
Z .03
-0.9 .1762 .1736
.2033
-0.7 .2327 .2296
.04
-0.8 .
2005
Probabilidad normal
estandarizada
Mesa (Porción)
.05
.1711
.1977
.2266
…
…
…
…
X
? 8.0
0.2000
Z
-0.84 0
1. Encuentra el valor Z para la probabilidad
conocida

2. Convierte a X unidades usando la
fórmula:
Encontrar el valor de X
80
.
3
0
.
5
)
84
.
0
(
0
.
8
Zσ
μ
X






Entonces, el 20% de los valores de una
distribución con media 8.0 y desviación
estándar 5.0 son menores que 3.80

Evaluación de la normalidad
 No todas las distribuciones continuas son
normales.
 Es importante evaluar qué tan bien se aproxima el
conjunto de datos mediante una distribución
normal.
 Los datos distribuidos normalmente deben
aproximarse a la distribución normal teórica:
 La distribución normal tiene forma de campana
(simétrica) donde la media es igual a la mediana.
 La regla empírica se aplica a la distribución normal.
 El rango intercuartílico de una distribución normal es
de 1,33 desviaciones estándar.

Comparación de las características de los datos con
las propiedades teóricas
Construir tablas o gráficos.
 Para conjuntos de datos de tamaño pequeño o moderado,
construya una representación de tallo y hojas o un diagrama de
caja para verificar la simetría.
 Para grandes conjuntos de datos, ¿el histograma o polígono tiene
forma de campana?
Calcular medidas de resumen descriptivas
 ¿La media, la mediana y la moda tienen valores similares?
 ¿El rango intercuartílico es de aproximadamente 1,33 σ ?
 ¿El rango es de aproximadamente 6 σ ?
(continuado)

Comparación de las características de los datos
con las propiedades teóricas
Observar la distribución del conjunto de datos.
 ¿Se encuentran aproximadamente 2/3 de las observaciones
dentro de la media ± 1 desviación estándar?
 ¿Aproximadamente el 80% de las observaciones se encuentran
dentro de la media ± 1,28 desviaciones estándar?
 ¿Aproximadamente el 95% de las observaciones se encuentran
dentro de la media ± 2 desviaciones estándar?
Evaluar gráfico de probabilidad normal
 ¿La gráfica de probabilidad normal es aproximadamente lineal
(es decir, una línea recta) con pendiente positiva?
(continuado)

de una gráfica de probabilidad
normal
 Gráfica de probabilidad normal
 Organizar los datos en una matriz ordenada
 Encuentre los valores cuantiles normales
estandarizados correspondientes (Z)
 Trace los pares de puntos con valores de datos
observados (X) en el eje vertical y los valores de
cuantiles normales estandarizados (Z) en el eje
horizontal
 Evaluar la trama en busca de evidencia de linealidad

Una gráfica de probabilidad normal
para datos de una distribución
normal será aproximadamente lineal
:
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
probabilidad normal

probabilidad normal
Sesgado a la
izquierda
sesgado a la
derecha
Rectangular
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
(continuado)
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X Los gráficos no
lineales indican una
desviación de la
normalidad

Un ejemplo: rendimientos de fondos
mutuos
40
30
20
10
0
-10
Return 2006
Boxplot of 2006 Returns
El diagrama de caja
parece razonablemente
simétrico, con tres valores
atípicos inferiores en -9,0,
-8,0 y -8,0 y un valor
atípico superior en 35,0.
(La distribución normal es
simétrica.)

mutuos
Estadísticas descriptivas
(continuado)
• La media (12,5142) es ligeramente inferior a la
mediana (13,1). (En una distribución normal, la
media y la mediana son iguales).
• El rango intercuartílico de 9,2 es de
aproximadamente 1,46 desviaciones estándar.
(En una distribución normal, el rango
intercuartílico es de 1,33 desviaciones
estándar).
• El rango de 44 es igual a 6,99 desviaciones
estándar. (En una distribución normal, el rango
es de 6 desviaciones estándar).
• El 72,2% de las observaciones están dentro de
1 desviación estándar de la media. (En una
distribución normal este porcentaje es del
68,26%.
• El 87% de las observaciones están dentro de
1,28 desviaciones estándar de la media. (En

mutuos
40
30
20
10
0
-10
99.99
99
95
80
50
20
5
1
0.01
Return 2006
Percent
Probability Plot of Return 2006
Normal
(continuado)
La trama es
aproximadamente
una línea recta
excepto por algunos
valores atípicos en el
extremo inferior y el
extremo superior.

mutuos
 Conclusiones
 Los rendimientos están ligeramente sesgados a la
izquierda.
 Los rendimientos tienen más valores concentrados
alrededor de la media de lo esperado
 El rango es más grande de lo esperado (causado por
un valor atípico en 35.0)
 La gráfica de probabilidad normal es una línea
razonablemente recta
 En general, este conjunto de datos no difiere mucho
de las propiedades teóricas de la distribución normal.
(continuado)

La Distribución Uniforme
 La distribución uniforme es una
distribución de probabilidad que tiene
probabilidades iguales para todos los
posibles resultados de la variable
aleatoria.
 También llamada distribución
rectangular.

La Distribución Uniforme Continua:
otherwise
0
b
X
a
if
a
b
1



dónde
f(X) = valor de la función de densidad en cualquier valor de X
a = valor mínimo de X
b = valor máximo de X
La Distribución Uniforme
(continuado)
f(X) =

Propiedades de la
Distribución Uniforme
 La media de una distribución uniforme es
 La desviación estándar es
2
b
a
μ


12
a)
-
(b
σ
2


Ejemplo de distribución
uniforme
Ejemplo: distribución de probabilidad
uniforme
en el rango 2 ≤ X ≤ 6:
2 6
0.25
f(X) = = 0,25 para 2 ≤ X ≤ 6
6 - 2
1
X
f(X)
4
2
6
2
2
b
a
μ 




1547
.
1
12
2)
-
(6
12
a)
-
(b
σ
2
2




uniforme
Ejemplo: Usar la distribución de
probabilidad uniforme para encontrar P(3
≤ X ≤ 5):
2 6
0.25
P( 3 ≤ X ≤ 5 ) = (Base)(Altura) = (2)(0.25) = 0.5
X
f(X)
(continuado)
3 5
4

La Distribución Exponencial
 A menudo se usa para modelar el tiempo
entre dos ocurrencias de un evento (el tiempo
entre llegadas)
 Ejemplos:
 Tiempo entre camiones que llegan a un muelle de
descarga
 Tiempo entre transacciones en un cajero automático
 Tiempo entre llamadas telefónicas al operador principal

X
λ
e
1
X)
time
P(arrival 



 Definido por un solo parámetro, su media λ
(lambda)
 La probabilidad de que un tiempo de llegada
sea menor que un tiempo especificado X es
donde e = constante matemática aproximada por 2.71828
λ = el número medio de llegadas de la población por unidad
X = cualquier valor de la variable continua donde 0 < X < 

exponencial
Ejemplo: Los clientes llegan al mostrador de servicio a
razón de 15 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que
el tiempo de llegada entre clientes consecutivos sea
menor a tres minutos?
 El número medio de llegadas por hora es 15, entonces
λ = 15
 Tres minutos son 0.05 horas
 P(tiempo de llegada < .05) = 1 – e - λ X = 1 – e -(15)(0.05) =
0.5276
 Por lo tanto, existe una probabilidad del 52,76 % de
que el tiempo de llegada entre clientes sucesivos sea

En Excel
Cálculo de la probabilidad de que una
distribución exponencial con una media de 20
sea menor que 0.1

Aproximación normal a la
distribución binomial
 La distribución binomial es una distribución
discreta, pero la normal es continua.
 Para usar la normal para aproximar la binomial,
la precisión mejora si usa una corrección para
el ajuste de continuidad
 Ejemplo :
 X es discreto en una distribución binomial, por lo que
P(X = 4) se puede aproximar con una distribución
normal continua encontrando
P(3,5 < X < 4,5)

 Cuanto más cerca esté π de 0,5, mejor será la
aproximación normal a la binomial
 Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n,
mejor será la aproximación normal a la binomial
 Regla general:
 La distribución normal se puede utilizar para
aproximar la distribución binomial si
norte _ ≥ 5
y
n(1 – π ) ≥ 5
(continuado)

 La media y la desviación estándar de la
distribución binomial son
μ = norte π
 Transforma binomial a normal usando la
fórmula:
(continuado)
)
(1
n
n
X
σ
μ
X
Z
π
π
π





)
(1
n
σ π
π 


Uso de la aproximación normal
a la distribución binomial
 Si n = 1000 y π = 0,2, ¿cuál es P(X ≤ 180)?
 Aproximar P(X ≤ 180) usando un ajuste de corrección
de continuidad:
P(X ≤ 180,5)
 Transformar a normal estandarizado:
 Entonces P(Z ≤ -1.54) = 0.0618
1.54
0.2)
)(1
(1000)(0.2
)
(1000)(0.2
180.5
)
(1
n
n
X
Z 







π
π
π
X
180.5 200
-1.54 0 Z

Resumen del capítulo
 Distribuciones continuas clave presentadas
 normal, uniforme, exponencial
 Probabilidades encontradas usando fórmulas y
tablas
 Reconocido cuando aplicar diferentes
distribuciones
 Distribuciones aplicadas a problemas de
decisión

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