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Capítulo 6
La distribución normal y otras
distribuciones continuas
Comerciales Básicas
11ª Edición
2. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-2
Objetivos de aprendizaje
En este capítulo, aprenderá:
Para calcular probabilidades a partir de la distribución
normal
Usar la gráfica de probabilidad normal para determinar
si un conjunto de datos tiene una distribución
aproximadamente normal
Para calcular probabilidades a partir de la distribución
uniforme
Para calcular probabilidades a partir de la distribución
exponencial
Para calcular probabilidades de la distribución normal a
probabilidades aproximadas de la distribución binomial
3. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-3
Distribuciones de probabilidad
continua
Una variable aleatoria continua es una variable
que puede asumir cualquier valor en un
continuo (puede asumir un número incontable
de valores)
espesor de un artículo
tiempo requerido para completar una tarea
temperatura de una solucion
altura en pulgadas
Estos pueden tomar potencialmente cualquier
valor dependiendo solo de la capacidad de
medir con precisión y exactitud
4. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-4
La distribución normal
' En forma de campana '
Simétrico
Media, mediana y moda
son iguales
La ubicación está determinada
por la media, μ
La dispersión está determinada
por la desviación estándar, σ
La variable aleatoria tiene un
rango teórico infinito:
+ a
Significa
r
=
mediana
= Modo
X
f(X)
m
σ
5. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-5
distribución normal
2
μ)
(X
2
1
e
2π
1
f(X)
La fórmula para la función de densidad de probabilidad
normal es
Donde e = la constante matemática aproximada por 2.71828
π = la constante matemática aproximada por 3.14159
μ = la media de la población
σ = la desviación estándar de la población
X = cualquier valor de la variable continua
6. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-6
Variando los parámetros μ y σ obtenemos
distintas distribuciones normales
Muchas distribuciones normales
7. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-7
La forma de distribución
normal
X
f(X)
m
σ
Cambiando μ
desplaza la
distribución hacia la
izquierda o hacia la
derecha .
Cambiar σ aumenta o
disminuye la
dispersión.
8. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-8
La normalidad estandarizada
Cualquier distribución normal (con cualquier
combinación de media y desviación estándar)
se puede transformar en la distribución
normal estandarizada distribución (Z)
Necesita transformar unidades X en unidades
Z
La distribución normal estandarizada ( Z )
tiene una media de 0 y una desviación
estándar de 1
9. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-9
Traducción a la Distribución
Normal Estandarizada
Traduzca de X a la normal estandarizada (la
distribución "Z") restando la media de X y
dividiendo por su desviación estándar :
σ
μ
X
Z
La distribución Z siempre tiene media = 0 y
desviación estándar = 1
10. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-10
La función de densidad de
probabilidad normal
estandarizada
La fórmula para la función de densidad de
probabilidad normal estandarizada es
Donde e = la constante matemática aproximada por 2.71828
π = la constante matemática aproximada por 3.14159
Z = cualquier valor de la distribución normal estandarizada
2
(1/2)Z
e
2π
1
f(Z)
11. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-11
distribución normal estandarizada
También conocida como distribución “Z”
la media es 0
La desviación estándar es 1
Z
f(Z)
0
1
Los valores por encima de la media tienen valores
Z positivos , los valores por debajo de la media
tienen valores Z negativos
12. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-12
Ejemplo
Si X se distribuye normalmente con una
media de 100 y una desviación estándar de
50 , el valor Z para X = 200 es
Esto dice que X = 200 es dos desviaciones
estándar (2 incrementos de 50 unidades) por
encima de la media de 100.
2.0
50
100
200
σ
μ
X
Z
13. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-13
Comparando unidades X y Z
Z
100
2.0
0
200 X
Tenga en cuenta que la forma de la distribución es
la misma, solo ha cambiado la escala. Podemos
expresar el problema en unidades originales (X) o
en unidades estandarizadas (Z)
( μ = 100, σ = 50)
( μ = 0, σ = 1)
14. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-14
Encontrar probabilidades
normales
a b X
f(X) PAGS
a X b
( )
≤
La probabilidad se mide por el área bajo
la curva.
≤
PAGS
a X b
( )
<
<
=
(Tenga en cuenta que la
probabilidad de
cualquier valor
individual es cero)
15. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-15
f(X)
X
m
Probabilidad como
área bajo la curva
0.5
0.5
El área total bajo la curva es 1,0 y la curva es
simétrica, por lo que la mitad está por encima de la
media y la otra mitad por debajo
1.0
)
X
P(
0.5
)
X
P(μ
0.5
μ)
X
P(
16. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-16
La tabla normal estandarizada
La tabla Normal Estandarizada
Acumulativa en el libro de texto (Tabla E.2
del Apéndice) da la probabilidad menor que
un valor deseado de Z (es decir, de infinito
negativo a Z)
Z
0 2.00
0.9772
Ejemplo:
P(Z < 2,00) = 0,9772
17. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-17
La tabla normal estandarizada
El valor dentro de la
tabla da la probabilidad
de Z = hasta el
valor Z deseado
.9772
2.0
P(Z < 2,00) = 0,9772
La fila muestra
el valor de Z al
primer punto
decimal
la columna da el valor de Z al
segundo punto decimal
2.0
.
.
.
(continuado
)
Z 0,00 0,01 0,02 …
0.0
0.1
18. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-18
Procedimiento general para
encontrar probabilidades
normales
Dibuje la curva normal para el problema
en
términos de X
Traducir valores X a valores Z
Utilice la tabla normal estandarizada
Para encontrar P(a < X < b) cuando X se
distribuye normalmente:
19. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-19
Encontrar probabilidades
normales
Sea X el tiempo que se tarda en
descargar un archivo de imagen de
Internet.
Suponga que X es normal con media 8.0
y desviación estándar 5.0. Encuentre P(X
< 8.6)
X
8.6
8.0
20. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-20
Sea X el tiempo que se tarda en descargar un archivo de imagen de
Internet.
Suponga que X es normal con media 8.0 y desviación estándar 5.0.
Encuentre P(X < 8.6)
Z
0.12
0
X
8.6
8
µ = 8
σ = 10
m = 0
σ = 1
(continuado
)
Encontrar probabilidades
normales
0.12
5.0
8.0
8.6
σ
μ
X
Z
P(X < 8.6) P(Z < 0,12)
21. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-21
Z
0.12
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Solución: Encontrar P(Z < 0.12)
.5478
.02
0.1 .
5478
Probabilidad normal
estandarizada
Mesa (Porción)
0.00
= P( Z < 0,12)
P( X < 8.6)
22. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-22
probabilidades normales de la cola
superior
Suponga que X es normal con media 8.0
y desviación estándar 5.0.
Ahora encuentra P(X > 8.6)
X
8.6
8.0
23. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-23
Ahora encuentra P(X >
8.6)…
(continuado
)
Z
0.12
0
Z
0.12
0.5478
0
1.000 1,0 - 0,5478
= 0,4522
P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤ 0,12)
= 1,0 - 0,5478 = 0,4522
probabilidades normales de la cola
superior
24. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-24
Encontrar una probabilidad
normal entre dos valores
Suponga que X es normal con media 8.0 y
desviación estándar 5.0. Encuentre P(8 < X <
8.6)
P( 8 < X < 8.6)
= PAG( 0 < Z <
0.12)
Z
0.12
0
X
8.6
8
0
5
8
8
σ
μ
X
Z
0.12
5
8
8.6
σ
μ
X
Z
Calcular valores Z:
25. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-25
Z
0.12
Solución: Hallar P(0 < Z < 0.12)
0.0478
0.00
= PAG( 0 < Z < 0.12)
P( 8 < X < 8.6)
= P( Z < 0,12) – P(Z ≤ 0)
= 0.5478 - .5000 = 0.0478
0.5000
Z .00 .01
0.0 . 5000.5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
.02
0.1 .
5478
Probabilidad normal
estandarizada
Mesa (Porción)
26. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-26
Suponga que X es normal con media 8.0
y desviación estándar 5.0.
Ahora encuentra P(7.4 < X < 8)
X
7.4
8.0
Probabilidades en la cola
inferior
27. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-27
Probabilidades en la cola
inferior
Ahora encuentra P(7.4 < X < 8)…
X
7.4 8.0
P(7.4 < X < 8)
= P(-0.12 < Z < 0)
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0,12)
= 0,5000 - 0,4522 = 0,0478
(continuado
)
0.0478
0.4522
Z
-0.12 0
La distribución Normal es
simétrica, por lo que esta
probabilidad es la misma que
P(0 < Z < 0.12)
28. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-28
Reglas empíricas
μ ± 1 σ encierra
aproximadamente el
68,26 % de las X
f(X)
X
m μ +1
σ
μ -1
σ
¿Qué podemos decir acerca de la distribución de
valores alrededor de la media? Para cualquier
distribución normal:
σ
σ
68,26%
29. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-29
La regla empírica
μ ± 2 σ cubre alrededor del 95% de
las X
μ ± 3 σ cubre alrededor del 99,7%
de X
X
m
2 σ 2 σ
X
m
3 σ 3 σ
95,44% 99,73%
(continuado
)
30. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-30
Pasos para encontrar el valor de X para
una probabilidad conocida:
1. Encuentra el valor Z para la probabilidad
conocida
2. Convierte a X unidades usando la fórmula:
Dada una probabilidad
normal,
encuentre el valor de X
Zσ
μ
X
31. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-31
Encontrar el valor de X para
una probabilidad conocida
Ejemplo:
Sea X el tiempo que lleva (en segundos) descargar un
archivo de imagen de Internet.
Suponga que X es normal con media 8.0 y desviación
estándar 5.0
Encuentre X tal que el 20% de los tiempos de descarga
sean menores que X.
X
? 8.0
0.2000
Z
? 0
(continuado
)
32. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-32
Encuentre el valor Z para el
20 % en la cola inferior
El área del 20% en la
parte inferior de la
cola es consistente
con un valor Z de -
0.84
Z .03
-0.9 .1762 .1736
.2033
-0.7 .2327 .2296
.04
-0.8 .
2005
Probabilidad normal
estandarizada
Mesa (Porción)
.05
.1711
.1977
.2266
…
…
…
…
X
? 8.0
0.2000
Z
-0.84 0
1. Encuentra el valor Z para la probabilidad
conocida
33. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-33
2. Convierte a X unidades usando la
fórmula:
Encontrar el valor de X
80
.
3
0
.
5
)
84
.
0
(
0
.
8
Zσ
μ
X
Entonces, el 20% de los valores de una
distribución con media 8.0 y desviación
estándar 5.0 son menores que 3.80
34. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-34
Evaluación de la normalidad
No todas las distribuciones continuas son
normales.
Es importante evaluar qué tan bien se aproxima el
conjunto de datos mediante una distribución
normal.
Los datos distribuidos normalmente deben
aproximarse a la distribución normal teórica:
La distribución normal tiene forma de campana
(simétrica) donde la media es igual a la mediana.
La regla empírica se aplica a la distribución normal.
El rango intercuartílico de una distribución normal es
de 1,33 desviaciones estándar.
35. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-35
Evaluación de la normalidad
Comparación de las características de los datos con
las propiedades teóricas
Construir tablas o gráficos.
Para conjuntos de datos de tamaño pequeño o moderado,
construya una representación de tallo y hojas o un diagrama de
caja para verificar la simetría.
Para grandes conjuntos de datos, ¿el histograma o polígono tiene
forma de campana?
Calcular medidas de resumen descriptivas
¿La media, la mediana y la moda tienen valores similares?
¿El rango intercuartílico es de aproximadamente 1,33 σ ?
¿El rango es de aproximadamente 6 σ ?
(continuado)
36. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-36
Evaluación de la normalidad
Comparación de las características de los datos
con las propiedades teóricas
Observar la distribución del conjunto de datos.
¿Se encuentran aproximadamente 2/3 de las observaciones
dentro de la media ± 1 desviación estándar?
¿Aproximadamente el 80% de las observaciones se encuentran
dentro de la media ± 1,28 desviaciones estándar?
¿Aproximadamente el 95% de las observaciones se encuentran
dentro de la media ± 2 desviaciones estándar?
Evaluar gráfico de probabilidad normal
¿La gráfica de probabilidad normal es aproximadamente lineal
(es decir, una línea recta) con pendiente positiva?
(continuado)
37. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-37
de una gráfica de probabilidad
normal
Gráfica de probabilidad normal
Organizar los datos en una matriz ordenada
Encuentre los valores cuantiles normales
estandarizados correspondientes (Z)
Trace los pares de puntos con valores de datos
observados (X) en el eje vertical y los valores de
cuantiles normales estandarizados (Z) en el eje
horizontal
Evaluar la trama en busca de evidencia de linealidad
38. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-38
Una gráfica de probabilidad normal
para datos de una distribución
normal será aproximadamente lineal
:
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
probabilidad normal
39. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-39
probabilidad normal
Sesgado a la
izquierda
sesgado a la
derecha
Rectangular
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
(continuado)
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X Los gráficos no
lineales indican una
desviación de la
normalidad
40. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-40
Evaluación de la normalidad
Un ejemplo: rendimientos de fondos
mutuos
40
30
20
10
0
-10
Return 2006
Boxplot of 2006 Returns
El diagrama de caja
parece razonablemente
simétrico, con tres valores
atípicos inferiores en -9,0,
-8,0 y -8,0 y un valor
atípico superior en 35,0.
(La distribución normal es
simétrica.)
41. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-41
Evaluación de la normalidad
Un ejemplo: rendimientos de fondos
mutuos
Estadísticas descriptivas
(continuado)
• La media (12,5142) es ligeramente inferior a la
mediana (13,1). (En una distribución normal, la
media y la mediana son iguales).
• El rango intercuartílico de 9,2 es de
aproximadamente 1,46 desviaciones estándar.
(En una distribución normal, el rango
intercuartílico es de 1,33 desviaciones
estándar).
• El rango de 44 es igual a 6,99 desviaciones
estándar. (En una distribución normal, el rango
es de 6 desviaciones estándar).
• El 72,2% de las observaciones están dentro de
1 desviación estándar de la media. (En una
distribución normal este porcentaje es del
68,26%.
• El 87% de las observaciones están dentro de
1,28 desviaciones estándar de la media. (En
42. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-42
Evaluación de la normalidad
Un ejemplo: rendimientos de fondos
mutuos
40
30
20
10
0
-10
99.99
99
95
80
50
20
5
1
0.01
Return 2006
Percent
Probability Plot of Return 2006
Normal
(continuado)
La trama es
aproximadamente
una línea recta
excepto por algunos
valores atípicos en el
extremo inferior y el
extremo superior.
43. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-43
Evaluación de la normalidad
Un ejemplo: rendimientos de fondos
mutuos
Conclusiones
Los rendimientos están ligeramente sesgados a la
izquierda.
Los rendimientos tienen más valores concentrados
alrededor de la media de lo esperado
El rango es más grande de lo esperado (causado por
un valor atípico en 35.0)
La gráfica de probabilidad normal es una línea
razonablemente recta
En general, este conjunto de datos no difiere mucho
de las propiedades teóricas de la distribución normal.
(continuado)
44. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-44
La Distribución Uniforme
La distribución uniforme es una
distribución de probabilidad que tiene
probabilidades iguales para todos los
posibles resultados de la variable
aleatoria.
También llamada distribución
rectangular.
45. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-45
La Distribución Uniforme Continua:
otherwise
0
b
X
a
if
a
b
1
dónde
f(X) = valor de la función de densidad en cualquier valor de X
a = valor mínimo de X
b = valor máximo de X
La Distribución Uniforme
(continuado)
f(X) =
46. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-46
Propiedades de la
Distribución Uniforme
La media de una distribución uniforme es
La desviación estándar es
2
b
a
μ
12
a)
-
(b
σ
2
47. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-47
Ejemplo de distribución
uniforme
Ejemplo: distribución de probabilidad
uniforme
en el rango 2 ≤ X ≤ 6:
2 6
0.25
f(X) = = 0,25 para 2 ≤ X ≤ 6
6 - 2
1
X
f(X)
4
2
6
2
2
b
a
μ
1547
.
1
12
2)
-
(6
12
a)
-
(b
σ
2
2
48. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-48
Ejemplo de distribución
uniforme
Ejemplo: Usar la distribución de
probabilidad uniforme para encontrar P(3
≤ X ≤ 5):
2 6
0.25
P( 3 ≤ X ≤ 5 ) = (Base)(Altura) = (2)(0.25) = 0.5
X
f(X)
(continuado)
3 5
4
49. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-49
La Distribución Exponencial
A menudo se usa para modelar el tiempo
entre dos ocurrencias de un evento (el tiempo
entre llegadas)
Ejemplos:
Tiempo entre camiones que llegan a un muelle de
descarga
Tiempo entre transacciones en un cajero automático
Tiempo entre llamadas telefónicas al operador principal
50. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-50
La Distribución Exponencial
X
λ
e
1
X)
time
P(arrival
Definido por un solo parámetro, su media λ
(lambda)
La probabilidad de que un tiempo de llegada
sea menor que un tiempo especificado X es
donde e = constante matemática aproximada por 2.71828
λ = el número medio de llegadas de la población por unidad
X = cualquier valor de la variable continua donde 0 < X <
51. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-51
Ejemplo de distribución
exponencial
Ejemplo: Los clientes llegan al mostrador de servicio a
razón de 15 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que
el tiempo de llegada entre clientes consecutivos sea
menor a tres minutos?
El número medio de llegadas por hora es 15, entonces
λ = 15
Tres minutos son 0.05 horas
P(tiempo de llegada < .05) = 1 – e - λ X = 1 – e -(15)(0.05) =
0.5276
Por lo tanto, existe una probabilidad del 52,76 % de
que el tiempo de llegada entre clientes sucesivos sea
52. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-52
La Distribución Exponencial
En Excel
Cálculo de la probabilidad de que una
distribución exponencial con una media de 20
sea menor que 0.1
53. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-53
Aproximación normal a la
distribución binomial
La distribución binomial es una distribución
discreta, pero la normal es continua.
Para usar la normal para aproximar la binomial,
la precisión mejora si usa una corrección para
el ajuste de continuidad
Ejemplo :
X es discreto en una distribución binomial, por lo que
P(X = 4) se puede aproximar con una distribución
normal continua encontrando
P(3,5 < X < 4,5)
54. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-54
Aproximación normal a la
distribución binomial
Cuanto más cerca esté π de 0,5, mejor será la
aproximación normal a la binomial
Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n,
mejor será la aproximación normal a la binomial
Regla general:
La distribución normal se puede utilizar para
aproximar la distribución binomial si
norte _ ≥ 5
y
n(1 – π ) ≥ 5
(continuado)
55. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-55
Aproximación normal a la
distribución binomial
La media y la desviación estándar de la
distribución binomial son
μ = norte π
Transforma binomial a normal usando la
fórmula:
(continuado)
)
(1
n
n
X
σ
μ
X
Z
π
π
π
)
(1
n
σ π
π
56. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-56
Uso de la aproximación normal
a la distribución binomial
Si n = 1000 y π = 0,2, ¿cuál es P(X ≤ 180)?
Aproximar P(X ≤ 180) usando un ajuste de corrección
de continuidad:
P(X ≤ 180,5)
Transformar a normal estandarizado:
Entonces P(Z ≤ -1.54) = 0.0618
1.54
0.2)
)(1
(1000)(0.2
)
(1000)(0.2
180.5
)
(1
n
n
X
Z
π
π
π
X
180.5 200
-1.54 0 Z
57. Estadísticas comerciales básicas, 11e © 2009 Prentice-Hall, Inc.. cap 6-57
Resumen del capítulo
Distribuciones continuas clave presentadas
normal, uniforme, exponencial
Probabilidades encontradas usando fórmulas y
tablas
Reconocido cuando aplicar diferentes
distribuciones
Distribuciones aplicadas a problemas de
decisión