cap

1. Rotación de un cuerpo rígido
FÍSICA I
Ing. Walter Jerezano
Física I

2. Objetivos:
- Describir el movimiento de cuerpo rígido
- Determinar el momento de inercia de un
cuerpo rígido
- Aplicar las reglas de oro al movimiento
circular.

3. Contenido
Velocidad angular y aceleración angular
Cinemática rotacional
Relaciones angulares y lineales
Energía rotacional
Cálculo de los momentos de inercia
Teorema de los ejes paralelos
Ejemplos de momento de inercia

4. Velocidad angular y aceleración
angular
P
r
q
O
x
y
Rotación de un cuerpo rígido
alrededor de un eje que pasa por O.
El punto P se mueve a lo largo de un
círculo de radio r. El arco que describe
esta dado por:
r
s
r
s


q
q
Donde q está medido en radianes.
La velocidad angular promedio se
define como:
t
t
t 





q
q
q

1
2
1
2

5. La velocidad angular
instantánea es:
dt
d
t
t
q
q
 




 0
lim
La aceleración angular
promedio se define como: t
t
t 









1
2
1
2
La aceleración angular
instantánea es:
dt
d
t
t


 




 0
lim
Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula sobre un
cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma
aceleración angular.

6. Cinemática rotacional
Las ecuaciones de cinemática se cumplen para movimiento
rotacional sustituyendo x por q, v por , a por . De esta
forma si  = 0 y q = q0 en t0 = 0 se tiene:
 
0
2
0
2
2
2
1
0
0
0
2 q
q





q
q











t
t
t

7. Relaciones angulares y lineales
La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular
de la siguiente manera:

q
q
r
v
dt
d
r
dt
dr
dt
ds
v




Similarmente para la aceleración:



r
a
dt
d
r
dt
dr
dt
dv
a





8. P
r
q
O
x
y
v
P
r
q
O
x
y
at
ar
a
La velocidad v siempre es
tangente a la trayectoria
La aceleración total en un punto
es a = at + ar

9. Energía rotacional
Un objeto rígido gira alrededor del
eje z con velocidad angular . La
energía cinética de la partícula es:
2
2
1
i
i
i v
m
K 
La energía total del objeto es:
2
2
1

I
K 
La energía total de rotación es la
suma de todos los Ki:
  2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1










i
i
R
i
i
i
i
i
R
r
m
K
r
m
v
m
K
K
Donde I es el momento de inercia
definido como:

 2
i
ir
m
I
mi
ri
q
O
x
y
vi

10. Cálculo de los momentos de inercia
El cálculo de momentos de inercia puede hacerse mediante
la integral:

 




dm
r
m
r
I i
i
mi
2
2
0
lim
Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar la
densidad de volumen:
dV
dm
V
m
V





 0
lim

Entonces:

 dV
r
I 2


11. Teorema de los ejes paralelos
El teorema de los ejes paralelos establece que el
momento de inercia alrededor de cualquier eje que
es paralelo y que se encuentra a una distancia D del
eje que pasa por el centro de masa es
I = ICM + MD2

12. Ejemplos de momento de inercia
Aro o cascarón
cilíndrico
Cilindro hueco
Cilindro sólido
o disco
Barra delgada larga
con eje de rotación
que pasa por el
extremo.
Barra delgada larga
con eje de rotación
que pasa por el
centro.
Placa rectangular
Esfera hueca
Esfera sólida
2
MR
ICM  2
2
1
MR
ICM 
 
2
2
2
1
2
1
R
R
M
ICM 

 
2
2
12
1
b
a
M
ICM 

2
12
1
ML
ICM 
2
3
1
ML
I 
2
5
2
MR
ICM  2
3
2
MR
ICM 