Este documento describe los números complejos y sus diferentes formas de representación. 1) Los números complejos son una extensión de los números reales que incluyen raíces de polinomios. 2) Pueden representarse en forma binómica, polar o exponencial. 3) Las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división se definen para los números complejos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
INGENIERÍA CIVIL
Números complejos
Profesora: Integrantes:
Pedro Beltrán
SantiagoEnrique Barberi Castillo
c.i. 26000465
Barcelona, mayo de 2016

2. Los números complejos
Son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo
algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la
notación , siendo el conjunto de los números reales se cumple que (
está estrictamente contenido en ). Los números complejos incluyen todas
las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número
complejo puede representarse como la suma de un número real y un número
imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la
letra i), o en forma polar. En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y,
en general, se consideran como puntos del plano complejo. Este cuerpo contiene a
los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que
caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra pero
que se demuestra aún en un curso de variable compleja, que afirma que
cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones
complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos
reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales:
z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota
; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota
. Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres
operaciones y la relación de igualdad:
 Suma
 Producto por escalar
 Multiplicación
 Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
 Resta
 División
Al número se denomina número complejo real y como entre el conjunto de
estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume
que todo número real es un número complejo. Al número complejo se
denomina número imaginario puro. Puesto que se dice que un
número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.

3. Otras formas de representar los números
complejos
1. Forma binómica
*Parte real.
*Parte imaginaria.
*Módulo.
*Conjugado.
*Opuesto.
*Suma de complejo.
2. Forma polar o módulo-argumento:
*Argumento.
*Argumento principal.
*Producto de complejos.
*Fórmula de Moivre.
*Cambio de forma binómica a polar y viceversa.
3. Forma exponencial:
4. RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO
5. resta
6. multiplicación
7. división
8. producto por escalar

4. 1) Forma binómica:
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se
tiene: Gráficamente, podemos representar (ypor
tanto C) como un plano.
Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y
la segunda, y, se denomina parte imaginaria. Obviamente, dos números complejos
son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes
imaginarias.

5. Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la
suma de vectores. Dados dos vectores y
su suma es
Calcular:
1.) (2+i) + (1+3i)
(2+i) + (5+3i) = (2+5)+(1+3)i
(2+i) + (5+3i) = 7+4i
2.) (4+5i) y (4+6i)
(4+5i) + (4+6i) = (4+4) + (5+6)i = 8 + 11i
“Se define el módulo” de un número complejo como el módulo del vector que lo
representa, es decir, si , entonces el módulo de es
.“El conjugado de un número” complejo se define como su simétrico respecto del

6. eje real, es decir, si , entonces el conjugado de es
.“El opuesto de un número” complejo es su simétrico respecto del origen.
Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un
número en la forma .
En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano
podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de
representación de los números complejos.

7. 2. Forma polar o módulo-argumento:
*Argumento.
*Argumento principal.
*Producto de complejos.
*Fórmula de Moivre.
*Cambio de forma binómica a polar y viceversa.
2. Forma polar o módulo-argumento:
Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,
Donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo
tal que
, .
NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede
definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los
posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,
Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

8. Se denomina argumento principal al único valor tal que , y se
denota
Se verifica entonces que
.
Dos números complejos y ,
representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son
iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas,
es decir, , con . La forma polar de un número complejo es
especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los
módulos y sumar los argumentos, es decir, si ,
y , entonces
Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin
más que dividir los módulos y restar los argumentos
Siempre que .
Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así,
si , para , entonces

9. Suma y resta de números complejos dados en su forma polar No hay una forma
para sumar o restar de manera abreviada números en su forma polar. Una
alternativa para operar es pasarlos a su forma binómica, sumarlos o restarlos y si
se requiere, pasar el resultado a la forma polar.
Ejemplo
Encuentre z1+z2 . Exprese el resultado en forma polar.
z1=630º z2=2−30º
Pasamos los números a su forma binómica, usando la representación
trigonométrica
z1=630º=6(cos(30º)+sen(30º)i)= 3√3+3i
z2=2−30º=3(cos(−30º)+sen(−30º)i)= √3−1i
Entonces sumamos en forma binómica
=4√3−2i
Si se requiere pasamos a la forma polar.
El modulo |z1+z2|= √13
El argumento, θ=atan(2)
4√3
En definitiva,
z1+z2=√13atan (1)
. 2√3

10. Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula
de Moivre:
Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que
.
En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo,
.
La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas trigonométricas
que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y
coseno del ángulo simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la
propia fórmula de Moivre
y el desarrollo del binomio de Newton
De este modo si, por ejemplo, queremos obtener una fórmula para en
función del seno y del coseno de q, bastará con considerar por un lado la fórmula
de Moivre
y por otro el desarrollo del cubo
Si igualamos ahora las partes reales de ambos desarrollos tenemos
Igualando las partes imaginarias obtenemos además, sin ningún esfuerzo adicional
una expresión para
Cambio de forma binómica a polar y viceversa:
Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica

11. Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer
lugar a la forma trigonométrica:
z = rα = r (cos α + i sen α)

12. 3. Forma exponencial:
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida
como fórmula de Euler:
para .
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada
forma exponencial:
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya
que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para
multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para
potencias con exponentes enteros se tiene .
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo
en la forma .

13. 4. RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO
Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo.
Dado , sea , para un número natural p.
Si , puesto que , es decir, . Por
tanto , , y además, , o sea, ,
para .
De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición
sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces
p-ésimas distintas
, para .
Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus
argumentos se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se
encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de
centro 0 y radio .
Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de

14. División:
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los
argumentos.
645° : 315° = 230°
División de números complejos en forma binómica:
Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y
denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones
correspondientes.
La resta de números complejos:
Formalmente la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el opuesto de z2
ejemplo:
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Aplicamos la definición de la resta, la suma con el inverso aditivo
(a + bi) − (c + di) = (a + bi)+(−(c+di))
=(a +bi) + ( − c − di) Opuesto de (c + di)
=(a − c ) + (b − d )i Suma de complejos.
La diferencia de dos números complejos es otro número complejo tal que
su parte real es la diferencia de las partes reales y
y la parte imaginaria es la diferencia de las partes imaginarias
ejemplo:
(3−2i) − (4+6i).
(3−2i) − (4+6i)=(3−4)+(−2−6)i−1−8i

15. Multiplicación de números complejos en forma binómica.
El producto de los números complejos se realiza aplicando la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta
Que
i2
= −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) = 10 − 15i + 4i − 6 i2
= 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
Multiplicación de números complejos en forma polar
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
645° · 315° = 1860°
Producto por un complejo de módulo 1.
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del
origen.
rα · 1β = rα + β