formulación de un problema de optimizacion formas de la funcion objetivo procedimiento general para resolver un problema de optimizacion metodos de optimizacion

1. Formulación de un problema de Optimización
Un problema de optimización
consta de cuatro partes: un
conjunto de variables de
decisión, los parámetros, la
función objetivo y un conjunto de
restricciones. Al formular un
determinado problema de
decisión en forma matemática,
debe formular un Modelo Mental,
Mientras se trata de comprender
el problema, formulamos las
siguientes preguntas:
¿Cuáles son los parámetros? Por
lo general, son los valores
numéricos constantes dados.
Defina los parámetros con
precisión utilizando nombres
descriptivos.
¿Cuál es la función objetivo? Es
decir, ¿qué quiere el dueño del
problema? ¿Es un problema de
maximización o minimización?
¿Cuáles son las restricciones? Es
decir, ¿qué requerimientos seNIXON TORREALBA

2. Ejemplo
Un carpintero nos comunica
que sólo fabrica mesas y
sillas y que vende todas las
mesas y las sillas que fabrica
en un mercado. Sin embargo,
no tiene un ingreso estable y
desea optimizar esta
situación.
El objetivo es determinar
cuántas mesas y sillas debería
fabricar para maximizar sus
ingresos netos. Comenzamos
concentrándonos en un
horizonte de tiempo,
semanalmente, si fuera
necesario.
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3. La función objetivo es: 5X1
+ 3X2, donde X1 y X2
representan la cantidad de
mesas y sillas; y 5 y 3
representan los ingresos
netos ($) de la venta de una
mesa y una silla,
respectivamente. Los
factores limitantes, que
normalmente provienen del
exterior, son las limitaciones
de la mano de obra (esta
limitación proviene de la
familia del carpintero) y los
Se miden los tiempos de
producción requeridos para
una mesa y una silla en
distintos momentos del día y se
calculan en 2 y 1 hora,
respectivamente. Las horas
laborales totales por semana
son sólo 40. La materia prima
requerida para una mesa y una
silla es de 1 y 2 unidades,
respectivamente. El
abastecimiento total de materia
prima es de 50 unidades por
semana. Así la Función
Objetivo es: NIXON TORREALBA

4. Maximizar 5 X1 + 3 X2
Sujeta a:
2 X1 + X2 £ 40 restricción de
mano de obra
X1 + 2 X2 £ 50 restricción de
materiales
Tanto X1 como X2 son no
negativas.
Nótese que dado que el Carpintero
no va a ir a la quiebra al final del
plazo de planificación, agregamos
La solución óptima, es establecer
X1 = 10 mesas y X2 = 20
sillas. Programamos las
actividades semanales del
carpintero para que fabrique 10
mesas y 20 sillas. Con esta
estrategia (óptima), los ingresos
netos son de US$110.
Esta solución
prescripta sorprendió al carpintero
dado que debido a los mayores
ingresos netos provenientes de laNIXON TORREALBA

5. formas de una función objetivo
La función que se obtiene luego de analizar el
objetivo que se desea alcanzar, es llamada función
objetivo, y la podemos ver de las siguientes formas:
función de costo (minimización)
función de utilidad(maximización)
función de utilidad indirecta (minimización)
Una solución factible que minimice (o maximice, si
este es el propósito) la función objetivo, es llamada
una solución óptima.
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6. Métodos de Optimización
Los métodos de
optimización es una rama de
las matemáticas que
consistente en el uso de
modelos matemáticos,
estadísticos y algoritmos con
objeto de realizar un proceso
de toma de decisiones.
Frecuentemente trata del
estudio de complejos sistemas
reales, con la finalidad de
La investigación de
operaciones permite el análisis
de la toma de decisiones
teniendo en cuenta la escasez
de recursos, para determinar
cómo se puede optimizar un
objetivo definido, como la
maximización de los beneficios
o la minimización de costos.
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7. AREA DE APLICACION:
Algunas personas se verían
tentadas a aplicar métodos
matemáticos a cuanto
problema se presentase, pero
es que ¿acaso siempre es
necesario llegar al óptimo?
Podría ser más caro el modelar
y el llegar al óptimo que a la
larga no nos dé un margen de
ganancias muy superior al que
ya tenemos.
Tómese el siguiente ejemplo:
La empresa EMX aplica
Métodos de optimización y
gasta por el estudio y el
desarrollo de la aplicación $100
pero luego de aplicar el modelo
observa que la mejora no es
muy diferente a la que
actualmente tenía.
Podríamos pues indicar que la
investigación de operaciones
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8. sin olvidar que el simple uso de
los Métodos de Optimización.
trae un costo, que de superar el
beneficio, no resultará
económicamente práctico,
algunos ejemplos prácticos
donde resulta útil son:
En el dominio combinatorio,
muchas veces la enumeración
es imposible. Por ejemplo, si
tenemos 200 trabajos por
que toman tiempos distintos y
solo cuatro personas que
pueden hacerlos, enumerar
cada una de las combinaciones
podría ser ineficiente.
Luego los métodos de
secuenciación serán los más
apropiados para este tipo de
problemas. De igual manera,
los Métodos de Optimización.
es útil cuando en los
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9. Procedimiento general para resolver un
problema de Optimización
1. Leer muy bien todo el
ejercicio. Cuando el ejercicio
de optimización consista en
una situación relacionada con
la geometría, dibujar la
situación, poniendo nombre a
cada uno de los elementos que
intervienen
2. Identificar la función
objetivo, en función a
3. Ponerla en función de una
sola variable (ojo que hay
veces que es mejor una
variable que otra a la ora de
derivar)
4. Una vez la función objetivo
de máximo o mínimo esta en
función de una sola variable,
derivarla e igualarla a cero. Al
resolver esta ecuación tenemos
los posibles máximos o
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10. 5. Confirmar el máximo o
mínimo.
 si la segunda derivada es
fácil de calcular, sustituir los
posibles máximos o
mínimos en la segunda
derivada. (recordar que si al
sustituir es negativa
tenemos un máximo y si es
positiva, tenemos un
 Si es complicado el
calculo de la segunda,
utilizar la primera derivada,
sustituyendo un punto por
encima y otro por debajo del
posible máximo o mínimo y
recordar que antes de un
máximo la función es
creciente ()(primera derivada
positiva) y después
decreciente (primera
derivada negativa). En un
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