Optimización de Sistemas

1. Optimización
- Es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente
sin la ayuda de gráficos.
- Método para determinar los valores de las variables que intervienen en un proceso
o sistema para que el resultado sea el mejor posible.

2. Formulación de un Problema de Optimización
-Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres
condiciones deben ser satisfechas:
1. Las derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a
cero. Ello indica que en un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función no
esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una
superficie relativa.
2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son
evaluadas en el punto critico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un
mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo
en relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es
convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de
un mínimo relativo.

3. Formulación de un Problema de Optimización
3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto
crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también
evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto
de inflexión o punto de silla (ver gráfico 4-6). En resumen:

4. Formulación de un Problema de Optimización
- En la situación que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy tienen el mismo signo, la
función esta en un punto de inflexión. Caso contrario, la función estará en un punto
de silla. Si fxx fyy = (fxy)2 entonces se requeriría mayor información.

5. Formulación de un Problema de Optimización
EJERCICIO =
En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son
máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:
f(x, y) = 3x3 – 5y2 – 225x + 70y + 23

6. Formulación de un Problema de Optimización
- Solución.
- Calculando la primera derivada e igualándola a 0:
fx = 9x2 – 225 = 0 fy = -10y + 70 = 0
- Resulta: x = 5, ±y7=. Entonces los puntos críticos serán: (5,7) y (5,-7)
- Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)
fxx = 18 x fyy = -10 fxy = fyx = 0
- Evaluando el punto crítico (5,7):
fxx ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90 fyy ( 5, 7 ) = -10
¿Cumple fxx ( 5, 7 ). fyy ( 5, 7 ) > [ fxy(5,7) ]2 ? 90. (-10) < [ 0 ]2 (no cumple!)

7. Formulación de un Problema de Optimización
-Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy
(evaluadas en este punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto
es un punto de silla.
-Evaluando el punto crítico (-5,7)
fxx ( -5, 7 ) = 18 (-5) = -90 fyy ( -5, 7 ) = -10
¿Cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 ? -90. (-10) > 0 (Si cumple!)
-Dado que se cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 y además, fxx, fyy < 0
entonces el punto en análisis es un máximo.

8. Formas de la Función Objetivo
 Funciones crecientes y decrecientes.
 Concavidad y Convexidad.
 Extremo Relativo.
 Puntos de Inflexión
 Funciones objetivos de una Variable
 Funciones objetivos de dos Variables
 Funciones objetivos con mas de dos Variables
 Funciones con Igualdades
 Funciones con Desigualdades

9. Formas de la Función Objetivo
-Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o
mínimo(s) relativo(s) serán:
1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada a 0.
2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta
condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:
• f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo.
• f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo.
• f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas
sucesivas”:

10. Formas de la Función Objetivo
- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se
evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la
función es un punto de inflexión.
- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando es
evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par, entonces la función es un
extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la función es
cóncava en “a” (y por ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la función es
convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.

11. Función Objetivo
-La función objetivo de un modelo de optimización es una representación
matemática de los logros industriales que se desean conseguir.
- Las funciones objetivos son de maximización o minimización y suelen involucrar un
objeto simple o una expresión compleja que involucra varios objetivos industriales.
- Algunos ejemplos de objetivos son los siguientes:
 Maximizar un beneficio.
Minimizar un coste.
 Minimizar retrasos.
Maximizar el servicio a los clientes.

12. Métodos de Optimización
- Los métodos de optimización es una rama de las matemáticas que consistente en el
uso de modelos matemáticos, estadísticos y algoritmos con objeto de realizar un
proceso de toma de decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos
sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La
investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en
cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo
definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos.

13. Procedimiento general para resolver un problema de optimización.
a) Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan de
encontrar.
b) Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo
variables para las cantidades desconocidas.
c) Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.
d) Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y
expresa resta variable como función de una de las otras variables.
e) Encontrar los valores críticos de la función obtenida.
f) Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos
valores críticos son máximos o mínimos.
g) Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se
Obtuvo anteriormente.