Este documento compara y contrasta los métodos de Lagrange y Kuhn Tucker para la optimización matemática. El método de Lagrange es más cuantitativo y se centra en encontrar puntos máximos y mínimos de funciones sujetas a restricciones, mientras que el método de Kuhn Tucker es más cualitativo y se aplica al análisis del comportamiento del consumidor. Ambos métodos son ampliamente utilizados en economía y teoría de control.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MARACAIBO
Autor: Nixon Diaz
Profesora: Sara López
Maracaibo, Diciembre 2013

2. Kuhn Tucker
Biografía
Albert William Tucker (1905 - 1995), fue un
matemático estadounidense nacido en Canadá
que realizo importantes contribuciones a la
Topología, Teoría de juegos y a la
Programación No Lineal

3. Condiciones Kuhn Tucker
En programación matemática, las condiciones de Karush Kuhn Tucker, también
conocidas como las condiciones KKT o Kuhn Tucker. Son condiciones
necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación
matemática sea optima. Es una generalización del método de los multiplicadores
de Lagrange.
La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos asociar
una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la
potente herramienta del análisis matemática al estudio del comportamiento del
consumidor.

4. Condiciones Kuhn Tucker
Estas condiciones deben ser satisfechas por la solución optima de cualquier
problema lineal y la mayoría de los problemas no lineales. Constituyen la base
para el desarrollo de muchos algoritmos computacionales y proporcionan un
criterio de parada para muchos otros, permitiendo establecer cuando ha sido
alcanzado un optimo local restringido.

5. Condiciones Kuhn Tucker
Campo de Aplicación
 Economía
 Generalmente donde los objetivos no se
cumplen

6. Problema de Kuhn Tucker
Consideramos el siguiente problema general:
D
Donde
es la función objetivo a minimizar
son las
restricciones de desigualdad y
son las restricciones de
igualdad con y el numero de restricciones de desigualdad e
igualdad, respectivamente.
Las condiciones necesarias para problemas con restricciones de
desigualdad fueron publicadas por primera vez en la tesis de
máster de W. Karush, aunque fueron renombradas tras un articulo
en una conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker

7. Lagrange
Biografía
José Louis Lagrange, también llamado Giuseppe
Luigi Lagrangia (1736 - 1813), fue un físico,
matemático y astrónomo italiano que después
vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajo para
Federico II de Prusia, en Berlín durante veinte
años. Demostró el Teorema de Valor Medio,
desarrollo mecánica Lagrangiana y tuvo una
importante contribución en astronomía.

8. Condiciones Lagrange
En los problemas de optimización. El método de
los multiplicadores de Lagrange, llamados así
en honor a Joseph Louis Lagrange. Es un
procedimiento para encontrar los máximos y
mínimos de funciones de múltiples variables
sujetas a restricciones. Este método reduce el
problema restringido con n variables a uno sin
restricciones de n + k variables, donde k es
igual al numero de restricciones, y cuyas
ecuaciones pueden ser resueltas mas
fácilmente.

9. Condiciones Lagrange
Campo de Aplicación
 Economía
 Teoría de Control

10. Campo de Aplicación
Lagrange
 Economía
La optimización reprimida desempeña un papel central en la
economía. Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se
representa como uno de maximizar una función de utilidad sujeta a
una coacción de presupuesto. El multiplicador Lagrange tiene una
interpretación económica como el precio de la oposición asociado con
la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos. Otros
ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una firma, junto
con varias aplicaciones macro – económicas.

11. Campo de Aplicación
Lagrange
 Teoría de Control
En la teoría de control optimo, los multiplicadores de Lagrange se
interpretan como constantes variables, y los multiplicadores de
Lagrange
se
formulan
de
nuevo
como
la
hamiltoniano, en el principio mínimo de Pontryagin.
minimización
del

12. Objetivos de Lagrange
 Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para
distintos valores de la variable z.
 Identificar a través de los simuladores, los puntos x, y sobre la
curva correspondiente a la función restricción donde la función
principal tiene extremos.
 Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el
método de multiplicadores de Lagrange.
 Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en
el simulador de las curvas de nivel de la función principal y la curva
correspondiente a la función condicionante.

13. Condiciones Lagrange
Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la
función f(x,y), y queremos maximizarla estando sujeta a la
condición:
Donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel
de f dadas por

14. Condiciones Lagrange
Para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c.
Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde
g=c.
Entonces en general, las curvas de nivel f y g seran distintas y la
curva g=c por lo general intersecara y cruzara muchos contornos
de f. En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos
incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c toca
tangencialmente una curva de nivel de f, no se incrementa o
disminuye el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y
en los puntos de inflexión restringidos de f.

15. Kuhn Tucker y Lagrange
 El método Lagrange es mas cuantitativo que cualitativo.
 El método de Kuhn Tucker busca analizar el comportamiento del
consumidor.
 El método Lagrange busca analizar el punto máximo y mínimo de
una ecuación.
 El método Lagrange se centra mas en el control.
 El método de Kuhn Tucker se centra mas en la organización.

16. Optimización en la toma de
decisiones
Una de las características del ser humano es su capacidad para
tomar decisiones, lo que incluye, básicamente, su capacidad para
analizar
las
alternativas
y
evaluarlas
en
términos
de
su
comportamiento respecto de los objetivos que desea conseguir. Es
una actividad tan cotidiana que prácticamente no le prestamos
atención. En muchos casos hemos ‘automatizado’ ese proceso de
toma de decisiones como fruto de la experiencia. Sin embargo,
cuando el problema al que nos enfrentamos es muy complejo, hay
muchas alternativas posibles, y son graves sus consecuencias, por
lo que resulta difícil realizar este proceso de análisis y evaluación.

17. “Yo consideraba completamente inútil la lectura de grandes tratados
de análisis puro: un numero demasiado grande de métodos pasan
una vez ante nuestros ojos. Es en los trabajos de aplicación donde
uno debe estudiarlos, allí se juzga su utilidad y se evalúa la manera
de hacer uso de ellos.”
Joseph Louis Lagrange