1. MÉTODO DE LAGRANGE
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
I.U.P “SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS
MATURÍN ESTADO MONAGAS
BACHILLER:
DÍAZ YUNIOR 23.895.594
ASESORA:
AMELIA MALAVE
2. HISTORIA DEL METODO
DE LAGRANGE
• El método lagrange (también conocido como multiplicadores langrange) lo propuso Joseph
Louis Lagrange (1736-1813), un matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores lagrange
tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el físico, astronomía y
económica. La lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés,
y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de
la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue
incorporada a la Academia de Turín.
• En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados,
una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del
movimiento rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de
variantes.
3. • Realizo un trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre
mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de
Ciencias de París
• En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo
durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique,
Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como
«perfectas en forma y contenido».
• Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las
funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una
revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.
4. ¿Qué es y para qué sirve el método
de Lagrange?
• El método de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de
funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema
restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al
número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. El método
dice que los puntos donde la función tiene un extremo, condicionado con k restricciones,
están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como
una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos
coeficientes son los multiplicadores.
• La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias
variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las
condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de
la función sean iguales a cero.
5. Objetivos del método de Lagrange
• Visualizar algunas superficies cuadráticas y curvas de nivel para distintos valores de la
variable z.
• Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la
función restricción donde la función principal tiene extremos.
• Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de
Lagrange.
• Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las
curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante.
• Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente
computacional.
6. Características del método de
Lagrange
• Visualizar algunas superficies cuadráticas y curvas de nivel para distintos valores de la
variable z.
• El método de eliminación de variables no resulta operativo cuando el problema tiene muchas
restricciones o las restricciones son complejas, por lo que resulta muy útil éste método.
• Los Multiplicadores de Lagrange es un método alternativo que además proporciona más
información sobre el problema.
• Todos los óptimos que verifiquen las condiciones de regularidad establecidas tienen
asociados los correspondientes multiplicadores.
• El teorema de Lagrange establece una condición necesaria de optimalidad (bajo las
condiciones de regularidad).
7. Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en
la Química, en la Astronomía, en Biología, en Economía etc. Situaciones
en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto
intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta
cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que
verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la
existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El método de la
interpolación de Lagrange es de gran importancia en el análisis numérico.
Campo de aplicación del método de
Lagrange
8. Función del método de Lagrange
El método de Lagrange aplica cálculo diferencial, implicando el cálculo de
derivadas parciales, hasta temas de optimización restringida. El propietario
de un negocio, por ejemplo, puede utilizar esta técnica para maximizar el
beneficio o minimizar los costos dados que el negocio tiene sólo una cierta
cantidad de dinero que invertir. Un consumidor hipotético, que, por ejemplo,
deriva la utilidad de coleccionar libros y CDs, podría utilizar este método
para determinar la forma de obtener el número óptimo de libros y CDs,
dado que sólo tiene 8000bs. de ingresos disponibles para gastar.
9. IDENTIFICACIÓN
El multiplicador de Lagrange, representado en la ecuación por la letra
minúscula griega lambda ( λ), representa la tasa de cambio en la
utilidad relativa al cambio en la restricción de presupuesto. En
economía, esto se conoce como el valor o utilidad marginal, el
aumento en la utilidad ganada de un aumento en la restricción de
presupuesto.
EFECTOS
Basado en los resultados de un análisis de Lagrange, una persona o
empresa tiene una base empírica para tomar decisiones sobre la
maximización de utilidad continuada en los cambios de las
restricciones externas. Un incremento del precio en un artículo
favorito. por ejemplo, podría llevar a que el consumidor compre una
cantidad más baja de ese artículo o trabajar más horas para
conseguir más ingresos y alcanzar el precio más alto.
10. Aporte que brinda el método de
Lagrange
Para la Solución de Problemas de Optimización Dinámica: La
resolución de un problema de interpolación lleva a un problema
de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones.
Usando una base monómica estándar para el polinomio interpolador, se
llega a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base
de Lagrange, se llega a la forma más simple de matriz identidad = δi
que puede resolverse inmediatamente.
11. • Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s,
y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
• Se procede a buscar un extremo para h
• Lo que es equivalente a:
• Para entender mejor explicaremos el procedimiento de la siguiente manera:
• Se tiene una función y una restricción.
• Se iguala la restricción a 0.
• La restricción se multiplica por lambda y se resta de la función principal
• Se obtienen las derivadas parciales de la función resultante.
• Se construye un sistema de ecuaciones con estas derivadas.
• A continuación se obtienen los valores críticos desarrollando el sistema de ecuaciones, en donde siempre el valor
debe eliminarse para que se puedan obtener los valores críticos de las variables.
• Se sustituyen los valores necesarios para sacar los puntos críticos.
Método
12. FIN DE LA PRESENTACIÓN
Muchas gracias por su atención
