Este documento describe diferentes sistemas de numeración como binario, octal y decimal, así como métodos para convertir entre ellos. También explica el código BCD que permite representar números decimales binariamente, y otros códigos como el exceso-3 y el código Gray. Por último, introduce el método de paridad para detección de errores en la transmisión de datos binarios.

1. Conversiones de un Sistema a Otro
Las conversiones entre números de bases diferentes se efectúan por medio de
operaciones aritméticas simples. Dentro de las conversiones más utilizadas se
encuentran:
Conversión de Decimal a Binario
Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos. El primero es divisiones
sucesivas y el segundo es suma de potencias de 2.
Por divisiones sucesivas
Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un
cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es
el bit menos significativo (LSB).
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
Ejemplo de conversión de decimal a binario
El resultado en binario de 153 10 es 10011001, Por sumas de potencias de 2
Este método consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya suma equivalga al
número decimal.
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
15310 = 27 + 24 + 23 + 20 = 128 + 16 +8 +1
15310= 100110012

2. El Sistema de
Numeración Octal
(base 8)
Representar un número en Sistema Binario puede ser bastante difícil de leer, así que
se creó el sistema octal.
En el Sistema de Numeración Octal (base 8), sólo se utilizan 8 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7)
Este Sistema de numeración una vez que se llega a la cuenta 7 se pasa a 10, etc.
La cuenta hecha en octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, .....
Se puede observar que en este sistema numérico no existen los números: 8 y 9
Para pasar del un Sistema Binario al Sistema Octal se utiliza el siguiente método:
- Se divide el número binario en grupos de 3 empezando por la derecha. Si al final
queda un grupo de 2 o 1 dígitos, se completa el grupo de 3 con ceros (0) al lado
izquierdo.
- Se convierte cada grupo en su equivalente en el Sistema octal y se reemplaza.
Ejemplo: Pasar 10110111 2 a octal.
Número en binario convertido a grupos de
010 110 111
3
Equivalente en base 8 2 6 7
Resultado: 101101112 = 2678
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar
Datos numéricos. La norma principal en un sistema de numeración posicional es que
Un mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe.
Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que
se compone
De diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor
dependiendo

3. De la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide
Con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la
posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.
En este sistema el número 528, por ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
500 + 20 + 8 o, lo que es lo mismo,
5⋅102 + 2⋅101 +8⋅100 = 528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso,
algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos
colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se
calcularía como:
8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
8⋅103 + 2⋅102 +4⋅101 + 5⋅100 + 9⋅10−1 +7⋅10−2 = 8245,97
CODIGO BCD NATURAL.
Al hacerse necesario el mostrar los datos en formato decimal, se necesita tantos
elementos como dígitos tenga el dato, ejemplo las calculadoras, donde la visualización de
los datos se realiza mediante visualizadores display de siete segmentos.
En estas aplicaciones aquellos códigos que hacen que se representen cada uno de estos
dígitos decimales, se denominan códigos BCD, significando decimal codificado en binario
(Binary Coded Decimal).
Entre estos códigos, el de más interés práctico, encontramos e l BCD natural, que basa
en representar cada dígito decimal a su correspondiente binario natural. Cada dígito
corresponde a un grupo de 4 bits.
Se requiere que los datos de entrada decimales, sean convertidos internamente a BCD.
Para obtener los datos se requiere una conversión inversa. (Pasar de BCD a decimal)
Para realizar esto se requieren unos circuitos integrados (CI) codificadores y
decodificadores que junto con los display, permiten operar en el sistema decimal, aunque
el aparato lo haga internamente en binario.
El código BCD es un código ponderado; a cada bit le corresponde un valor (peso) de
acuerdo con la posición que ocupa, igual que el binario natural. Los pesos son: 8-4-2-1.
La representación del 1 al 9 corresponde con el binario natural, pero a partir del número
decimal 10, se precisan dos grupos de 4 bits por dígito.

4. Ejemplo: el número 13.
0001 0011
1 3
Para codificar un número decimal de N dígitos se requieren N grupos de 4 bits.
Ejemplo: 2001
2 = 0010 0010 0000 0000 0001
0 = 0000 2 0 0 1
0 = 0000
1 = 0001
Tabla de códigos BCD
Decimal Código BCD
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110

5. 7 0111
8 1000
9 1001
10 0001 0000
11 0001 0001
12 0001 0010
13 0001 0011
14 0001 0100
15 0001 0101
Los números decimales se convierten a binario BCD mediante circuitos codificadores y
mediante decodificadores y unidades de visualización (display) se hace la representación
decimal de códigos BCD.
El código BCD natural es el normalmente utilizado cuando tiene que haber representación
numérica; es el ejemplo de calculadoras, instrumental, sistemas de control industrial etc...
CODIGO EXCESO 3.
Es un código BCD no ponderado, cada combinación se obtiene sumando el valor 3 a
cada combinación binaria BCD natural.
Correspondiente entre decimal, BCD natural y BCD exceso 3:
Decimal BCD natural BCD exceso 3
0 0000 0011
1 0001 0100

6. 2 0010 0101
3 0011 0110
4 0100 0111
5 0101 1000
6 0110 1001
7 0111 1010
8 1000 1011
9 1001 1100
Cada número BCD exceso a 3 es igual a su correspondencia BCD natural más 3, resulta
interesante de cara a las unidades aritméticas, especialmente en cuanto a las
operaciones de suma.
Ejemplo. Binario natural: 576 = 1001000000
BCD Natural: 576 = 0101 0111 0110
BCD Exceso a 3: 576 = 1000 1010 1001
CÓDIGO GRAY
Es un código sin pesos y no aritmético; es decir no existen pesos específicos asignados
a las posiciones de los bits. La característica más importante del código gray es que solo
varía un bit de un código al siguiente. Esta propiedad es importante en muchas
aplicaciones, tales como los codificadores de eje de posición, en los que la susceptibilidad
de error aumenta con el número de cambios de bit entre números adyacentes dentro de
una secuencia. La siguiente tabla presenta el código gray de cuatro bits para los
números decimales de 0 a 15. Como referencia se muestran también en la tabla los
números binarios. Como en los números binarios, el código gray puede tener cualquier
número de bits. Observe que, en este código, solo se cambia un bit entre los sucesivos

7. números. Por ejemplo, para pasar del decimal 3 al 4, el código gray lo hace de 0010 a
0110, mientras que el código binario lo hace de 0011 a 0100, cambiando tres bits. En el
código gray, el único bit que cambia es el tercer bit de la derecha y los restantes
permanecen igual.
Decimal Binario Gray
0 0000 0000
1 0001 0001
2 0010 0011
3 0011 0010
4 0100 0110
5 0101 0111
6 0110 0101
7 0111 0100
Método de paridad para detección de errores
En algunos sistemas se emplean un bit de paridad para la detección de errores de bit.
Cualquier cantidad de bit contiene un número par o impar de 1's.
Un bit de paridad par hace el total de dígitos 1's sea par y un bit de paridad impar hace
que el número total de 1's en el grupo sea impar.

8. Se puede decir que un sistema puede funcionar con paridad par o impar, pero no con
ambas. Por ejemplo, si un sistema trabaja con paridad par, una verificación que se realiza
en cada grupo de bits recibidos tiene asegurar que el número total de 1's de ese grupo
sea par. Si existe un número impar de 1's se ha producido error.
paridad par______________Paridad impar
P_______BCD_____________P________BCD
0______0000 ____________1______0000
1______0001 ____________0______0001
1______0010 ____________0______0010
0______0011 ____________1______0011
1______0100 ____________0______0100
0______0101 ____________1______0101
0______0110 ____________1______0110
1______0111 ____________0______0111
1______1000 ____________0______1000
0______1001 ____________1______1001
El bit de paridad se puede agregar al inicio o final del código, depende del diseño del
sistema. El número total de 1’s, incluyendo el bit de paridad, siempre es par para paridad
par y siempre es impar para paridad impar.
Detección de un error. Un bit de paridad facilita la detección de un único error de bit, pero
no detecta dos errores ben un grupo. Por ejemplo Se desea trasmitir el código bcd 1001
.El código total transmitido incluyendo el bit de paridad par es
01001
Considere un error en cuarto bit
00001
Cuando se recibe este código, la circuitería de verificación de paridad determina que solo
existe un 1 (impar), cuando debería ser un número par de 1's. Ya que el código recibido
no es un número par de 1’s, se detecta un error.