Resumen probabilidad

1. Elaborado por Adriana Rosales
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
CONCEPTOS BÁSICOS
La Teoría de la Probabilidad fue aplicada desde sus inicios en las mesas de juego (casinos) y más
adelante se aplicó a la resolución de problemas socioeconómicos. Actualmente la teoría de la
probabilidad constituye un fundamento de las aplicaciones estadísticas tanto en la investigación
social como en la toma de decisiones. En el estudio de la probabilidad utilizamos los siguientes
términos básicos,
Experimento
Es todo proceso que produce una observación o medición
Ejemplos:
1. Lanzar una moneda al aire
2. Lanzar un dado sobre una mesa
Evento
Es el resultado parcial de un experimento
Ejemplos:
1. Letra, escudo en el lanzamiento de la moneda
2. 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 al lanzar el dado.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Por lo general lo designamos
como 𝑺. Se le llama también Universo o lista colectivamente exhaustiva.
Ejemplos:
1. 𝑆 = {𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎, 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑑𝑜} en el lanzamiento de la moneda
2. 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} en el lanzamiento de un dado.

2. Elaborado por Adriana Rosales
PROBABILIDAD
Probabilidad es la posibilidad de que algo ocurra. La probabilidad se aplica en todos los aspectos
de la vida: en la ciencia, la educación, las comunicaciones entre otros. La idea de la probabilidad
se relaciona con el azar o la aleatoriedad. Hay tres tipos de probabilidad,
Probabilidad clásica
Este concepto se creó originalmente relacionándolo a los juegos de azar. Este concepto se aplica
cuando todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir. La fórmula que
vamos a manejar es la siguiente:
𝑷(𝑨) =
𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑨 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒊𝒓
𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Esta fórmula es primordial al momento del cálculo de las probabilidades.
A la probabilidad clásica también le llamamos probabilidad a priori debido a que si se utilizan
ejemplos previsibles como moneda, dados y cartas no alteradas podemos establecer la
respuesta de antemano sin necesidad de hacer uso de ellos. La probabilidad a priori no la
podemos aplicar a los problemas relacionados con la toma de decisiones.
Probabilidad frecuencia relativa
Define la probabilidad como:
 La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos.
 La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son
estables.
Este método utiliza la frecuencia de lo que ha ocurrido en el pasado y usa esos datos para
predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro.
Probabilidad subjetiva
La que basada en las creencias de las personas efectúan la estimación de probabilidad.
Podemos definir la probabilidad subjetiva como la probabilidad asignada a un evento por parte
de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible.

3. Elaborado por Adriana Rosales
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Complemento de un evento
El complemento de un evento 𝑨 respecto a 𝑺 es el subconjunto de todos los elementos de 𝑺 que
no están en 𝑨. Denotamos el complemento de 𝑨 mediante el símbolo 𝑨′.
Ejemplo: Se arroja un dado, y el evento 𝑨 es que salga un 5, entonces el evento 𝑨′ es que no
salga un 5, o lo mismo, que salga 1, 2, 3, 4 ó 6.
Con lo cual queda:
𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 = {𝟓}
𝑨′ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟔}
Intersección de dos eventos
La intersección de dos eventos 𝑨 y 𝑩, que se denota con el símbolo 𝑨 ∩ 𝑩, es el evento que
contiene todos los elementos que son comunes de a 𝑨 y a 𝑩.
Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los eventos
𝑨: que salga menos de 4
𝑩: que salga más de 2
Con lo cual queda:
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}
𝑩 = {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟑}

4. Elaborado por Adriana Rosales
Dos eventos 𝑨 y 𝑩 son mutuamente excluyente o disjuntos si 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅; es decir, si 𝑨 y 𝑩 no
tienen elementos en común.
Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los eventos
𝑨: que salga menos de 3
𝑩: que salga más de 4
Con lo cual queda:
𝑨 = {𝟏, 𝟐}
𝑩 = {𝟓, 𝟔}
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
Como 𝑨 y 𝑩 tienen intersección nula, no pueden suceder simultáneamente.
Unión de dos eventos
La unión de dos eventos 𝑨 y 𝑩, que se denota con el símbolo 𝑨 ∪ 𝑩, es el evento que contiene
todos los elementos que pertenecen a 𝑨 o a 𝑩, o a ambos.
Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los eventos
𝑨: que salga menos de 4
𝑩: que salga 2 ó 6
Con lo cual queda:
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}
𝑩 = {𝟐, 𝟔}
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟔}

5. Elaborado por Adriana Rosales
REGLAS BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD
Las probabilidades son números reales que están en el intervalo [0, 1] es decir:
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
Si se tiene la certeza de que siempre ocurrirá un evento, su probabilidad es 1, Y si se tiene la
certeza de que nunca ocurrirá, su probabilidad es 0.
Ejemplo de un evento seguro
¿Cuál es la probabilidad que en el mes de abril existan 30 días?
La probabilidad que en el mes de abril hayan 30 días es igual a 1. También se puede decir (o
interpretar) que estamos 100% seguros que el mes de abril tendrá 30 días.
Ejemplo de un evento nulo
¿Cuál es la probabilidad que en el año 2020 exista un mes con 32 días?
La probabilidad que un mes del año 2020 tenga 32 días es igual a 0. También se puede decir (o
interpretar) que en el año 2020 no hay ningún mes que tenga 32 días y eso es nulo (es falso o
imposible)
Regla de adición
o Probabilidad de eventos que son mutuamente excluyentes
𝑃(𝐴 𝒐 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Si dos eventos son mutuamente excluyentes o mutuamente exclusivos (o sea que no pueden
ocurrir simultáneamente o al mismo tiempo, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ ) la probabilidad de que uno u otro
ocurran es igual a la suma de sus probabilidades.
Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los eventos
𝑨: que salga menos de 3
𝑩: que salga más de 4
Con lo cual queda:
𝑨 = {𝟏, 𝟐}
𝑩 = {𝟓, 𝟔}
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
¿Cuál es la probabilidad que al tirar un dado salga menos de 3 o que salga más de 4?
𝑃(𝐴 𝒐 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =
2
6
+
2
6
=
4
6
=
2
3
= 0.6667
La probabilidad que al tirar un dado salga menos de 3 o que salga más de 4 es de 0.6667.

6. Elaborado por Adriana Rosales
o Probabilidad de eventos que son mutuamente no excluyentes
𝑃(𝐴 𝒐 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Dos eventos no son mutuamente excluyentes cuando es posible que ambos se puedan presentar
al mismo tiempo. La probabilidad se debe ajustar para evitar el conteo doble.
Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los eventos
𝑨: que salga menos de 4
𝑩: que salga más de 2
Con lo cual queda:
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}
𝑩 = {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟑}
¿Cuál es la probabilidad que al tirar un dado salga menos de 4 o que salga más de 2?
𝑃(𝐴 𝒐 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
3
6
+
4
6
−
1
6
=
6
6
= 1
La probabilidad que al tirar un dado salga menos de 4 o que salga más de 2 es 1. Es un evento
seguro.
o Probabilidad del evento 𝑨 mas la de su complemento 𝑨’
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴′) = 1
De esto se obtienen los siguientes resultados:
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴′
) 𝑃(𝐴′) = 1 − 𝑃(𝐴)
Ejemplo: Se arroja un dado, y el evento 𝑨 es que salga un 5, entonces el evento 𝑨′ es que no
salga un 5, o lo mismo, que salga 1, 2, 3, 4 ó 6.
Con lo cual queda:
𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 = {𝟓}
𝑨′ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟔}
¿Cuál es la probabilidad que al tirar un dado salga menos de 4 o que salga más de 2?
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴′) =
1
6
+
5
6
= 1
La probabilidad es 1. Es un evento seguro.

7. Elaborado por Adriana Rosales
Regla de multiplicación
Si dos eventos pueden ocurrir simultáneamente o al mismo tiempo, se presenta una
intersección de evento y la probabilidad se denota como,
𝑃(𝐴 𝒚 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los eventos
𝑨: que salga menos de 4
𝑩: que salga más de 2
Con lo cual queda:
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}
𝑩 = {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟑}
¿Cuál es la probabilidad que al tirar un dado salga menos de 4 y más de 2?
𝑃(𝐴 𝒚 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
6
= 0.3333
La probabilidad que al tirar un dado salga menos de 4 y más de 2 es 0.3333.