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Hecho el depósito legal, Ley N° 26905.
BEG. N° 15013298-1124
Prohibida la reproducción parcial o total de la obra,
sin la previa autorización escrita del Editor de la misma.
Aníbal Jesús Paredes Galván - Editor
Jr. Natalio Sánchez 220 - Otic 304 - Jesús María
Impreso en Perú__________________ Printed in Perú
Composición, diagramación y montaje:
Editorial San Marcos
RUC. 11029221

A mi familia
porsu compresión
porsupaciencia.
A 'DiegoPérezContreras
mihijo.

PROLOGO
El presente trabajo es frutode varios años en ladocencia y está dirigido
a los estudiantes que inician el estudio de la FISICA FUNDAMENTAL.
El objetivo de la obra es, la comprensión de las leyes físicas funda
mentales y el desarrollo en los estudiantes del hábito de utilizarlas en los
diferentes problemas.
Aprovecho laoportunidad,parasaludaramiscolegas,profesores de las
diferentes Academias y Centros Pre universitarios del medio, por la noble
labor que realizan.
Finalmente, pero no con menos calor, quiero saludar a los alumnos,
jóvenes de nuevo tipo, que gracias a su inquietud y espíritu de desarrollo, he
podido elaborar los temas que contiene este libro.
EL AUTOR
NOTAS DEL EDITOR
FísicaTeoríay Problemas desarrolla todoel curso de Física válidopara
losexámenes de admisión a las diferentesuniversidadesde nuestro país; tiene
un contenido de 655 páginas, encontrando en cadacapítulo la teoría expuesta
en forma clara y objetiva, además de un gran número de problemas tipo
resueltos, empleando métodos directos y sencillos de solución, comple
mentados con un gran número de problemas propuestos.

CONTENIDO
Prólogo
CAPITULO 1
ANALISIS DIMENSIONAL
Pág.
1
1. Sistema Internacional (S.ll Magnitudes.
2. Ecuación Dimensional Dimensión de las Magnitudes.
3- Principio de Homogeneidad Dimensional.
1 Vector: Elementos de un Vector.
2 Suma de dos Vectores. Método de Paralelogramo.
3. Suma de "n" Vectores. Método del Póligono.
4. Descomposición Rectangular. Descomposición Poligonal
5. Vectores Unitarios Cartesianos.
6. Vector Unitario. Vector como par ordenado.
1. Fuerza. Tensión. Comprensión. Fuerza Elástica
2. Leyes de ISiewton. Ley de Hooke
3 Diagrama del Cuerpo Libre.
4 Primera Condición de Equiliorio.
5. Teorema de Lamy o de las tres fuerzas.
6. Momento de una Fuerza. Torque. Cupla.
7 Equilibrio de un Cuerpo Rígido.
8 Segunda Condición de Equilibrio.
9. Sistema Física Sistema Aislado. Fuerzas internas.
10. Teorema de Varignon.
11 Centro de Gravedad Centro de masa.
12 Cupla o Par de Fuerzas
13. Rozamiento. Coeficiente de rozamiento
CAPITULO 2
ANALISIS VECTORIAL 17
CAPITULO 3
ESTATICA

CAPITULO 4
CINEMATICA
1. Sistema de Referencia Inercial.
2. Movimiento Mecánico. Velo'cídad Media.
3. Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)
4 Ley de Kepler para el M R,U
5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)
7. Movimiento Relativo. Velocidad y aceleración relativa.
8. Movimiento Compuesto. Composición de velocidades
9. Movimiento Parabólico. Tiempo de Vuelo.
10. Movimeiento Circular. Aceleración Centrípeta.
11. Ley de Kepler para el M C U.
CAPITULO 5
DINAM ICA.......... ......... ........ ..............................................
1 Dinámica Lineal. Segunda Ley de Newton.
2. Sistema de Referencia Inercial y No Inercial.
3. Principio de D'Alambert. Fuerza Inercial.
4. Principio de Equivalencia (Albert Einstem).
5. Dinámica Circular Sistema de Referencia Rotacional.
6. Péndulo Cónico. S.stema de Referencia Rotacional
7. Fuerza Centrífuga. Aceleración Relativa.
CAPITULO 6
TRABAJO - ENERGIA - POTENCIA ................... ........... .
1 Trabaio Mecánico de una Fuerza Constante.
2. Gráfica, Fuerza Versus Posición
3. Energía Energía Cinética.
4. Teorema de la Energía Cinética.
5. fcnergía Potencial Gravitatona.
6. Principio de Conservación de la Energía Mecánica
7 Teorema del Trabajo y la Energía Mecánica.
8. Energía Potencial Elástica Ley de Hooke.
9. Potencia Mecánica. Potencia de un motor.
10. Rendimiento o Eficiencia de una máquina
201
241

CAPITULO 7
CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y CHOQUES 275
1. Cantidad de Movimiento. Impulso.
2. Sistema aislado (S.A). Fuerzas externas.
3. Principio de Conservación del Momentum Lineal.
4. Velocidad de! Centro de Masa.
5. Teorema de la Cantidad de Movimiento.
6. Colisiones o choques. Choque frontal.
7 Coeficiente de Restitución.
8. Clasificación de los Choques. Choque Elástico.
9. Ley de Reflexión en los Choques.
CAPITULO 8
ESTATICA DE FLUIDOS ............................. ........ .......................................... 301
1 Densidad, Presión . Isóbaras.
2. Principio de Pascal.
3. Prensa Hidraúlica. Vasos Cominicantes.
4 Presión Hidrostátic Presión absoluta.
5. Principio Fundamental de la Hidrostática.
6 Principio de Arquímedes. Empuje.
7 Presión Atmosférica Experimento de Torricelli
8. Manómetro Barómetro.
9 Principio de Arquímedes en los gases
CAPITULO 9
M.A.S Y PENDULO SIMPLE .. . ................................................ .............. 329
1. Movimiento L Armónico Simple.
2 Elongación Amplitud. Fuerza recuperadora.
3. Período Energía Total del Sistema.
4. Asociación de resortes: Serie y Paralelo.
5 Período del Péndulo simple.
CAPITULO 10
GRAVITACION Y MOVIMIENTO PLANTETARIO ..................... .......... . 342
1 Ley de Gravitación Universal
2 Campo Gravitatorío. Intensidad del campo gravitatorio

3. Variación de la aceleración de la gravedad con la altura.
4. Energfa potencial de Interacción gravitatoria
5. Leyes del movimiento Planetario Leyes de kepler.
CAPITULO 11
CALOR ................................................................ ........... .......... ..................... 355
1. Temperatura. Escalar Termométricas.
2. Dilatación Lineal, superficial y volumétrica.
3. Variación de la densidad con la Temperatura.
4. Calorimetría, Cantidad de Calor
5 Capacidad Calorífica Calor específico.
6. Equilibrio Térmico o Ley cero de la Termodinámica.
7. Calorímetro de mezcla. Equivalente en agua.
8. Cambio de Fase. Termodinámica.
9. Punto Triple. Calor Latente.
CAPITULO 12
TERMODINAMICA ................... .................................................................. 369
1. Gas Ideal Ecuación de Estado Teermodinámico.
»
2. Proceso Termodinámico. Energía Interna.
3. Trabajo. Pumera Ley de la Termodinámica.
4. Proceso Isobárico. Isócoro, Isotérmico y Adiabático.
5. Segunda Ley de la Termodinámica.
6. Máquina Térmica. Ciclo de Carnot Entropía.
CAPITULO 13
ELECTROSTATICA...... ......... . ... ___ ____ ____ __ _____________ 391
1 Carga Eléctrica. Cuantización de la carga.
2, Ley de Conservación de la carga eléctrica.
3. Fenómenos de Electrización.
4 Ley de Coulomb. Campo Eléctrico.
5. Intensidad del campo eléctrico. Líneas de Fuerza.
6, Energfa Potencial ELéctríca. Campo Eléctrico Homogéneo.
1 Potencial Eléctrico. Diferencia de Potencial
8. Superficies Equipotenciales Equilibrio Electrostático.
9 Potencial y Campo Eléctrico en un esfera conductora
10 Energía Portencial de Interacción Eléctrica.

11. Capacidad Eléctrica. Condensadores.
12. Asociación de Condensadores. Teorema de la Trayectoria.
13. Ley de Coulomb en un medio Dieléctrico.
14- Condensador con dieléctrico. Leyes de Kirchhoff.
ELECTRODINAMICA...................... .'................................................................. 475
1. Corriente eléctrica Resistencia eléctrica. Ley de Ohm.
2. Asociación de Resistencias. Fuentes de Energfa Eléctrica.
3. Fuerza Electromotriz. Potencia Eléctrica.
4. Dilatación Lineal de los conductores. Ley de Joule - Lenz.
5. Teorema de la Trayectoria. Leyes de Kirchhoff.
7. Ley de Conservación de la Energía.
MAGNETISMO .................................................................................................. 548
1. Historia de Magnetismo Natural. Imán natural.
2. Leyes del Magnetismo. Campo Magnético. Líneas de Fuerza.
3. Intensidad de campo magnétco. Flujo magnético.
4. Inducción Magnética. Permeabilidad magnética.
5. Magnetismo Terrestre.
ELECTROMAGNETISMO ........................................................................ ..... 560
1 Efecto Oersted. Campo magnético creado por unacorriente.
2. Ley de Biot - Savart.
3. Campo magnético creado por una corriente circular.
4. Campo magnético creado por un Arco conductor.
5 Acción del Campo magnético sobre un conductor.
6. Acción y Reacción entre dos corrientes.
7. Fuerza de Lorentz. Movimento de las partículas cargadas en los campo eléctricos y
magnéticos.
8. Campo magnético creado por una carga eléctrica en movimiento
9. Campo magnético creadopo un Solenoide
10. Campo magnético producido por un Toroide
11. Inducción Electromagnética. Ley de Lenz.
12 Imágenes Electrostáticas.

1. Naturaleza de la Luz. Velocidad de la Luz
2. Optica geométrica . Indice de refracción.
3. Ley de Reflexión y Refracción. Ley de Smell.
4. Angulo Límite y Refracción Total
5. Lentes convergentes y divergentes.
6. Principio de Fermat. El camino más rápido.
TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD.......................
1. Contracción de la longitud. Transformación de Lorentz.
2. Sistema de Referencia Inercial
3. Dilatación del Tiempo. La masa aumenta.
4. Energía cinética de la partícula relativista.
5. Ley de Interacción de la masa y la energía.
644

CONCEPTO.
Es una parte auxiliar de la Física que
estudia las relaciones entre las magnitudes
fundamentales y derivadas, principalmente
el Sistema Internacional de Unidades
MAGNITUD.
Es todo aquello que es susceptible a ser
medido y que se puede percibir por algún
medio. Por consiguiente magnitud, es todo
aquello que se puede medir.
MEDIR.
Es comparar una magnitud dada, con
otra de su misma especie asumida en forma
arbitraria como unidad o patrón.
Ejemplo: Para medir el largo de la
pizarra, comparamos con un
metro patrón.
CLASIFICACION DE LAS MAGNITUDES
A) Por su origen
1. Magnitudes Fundamentales.
2. Magnitudes Derivadas.
B) Por su naturaleza:
1. Magnitudes Escalares.
2. Magnitudes Vectoriales.
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MAGNITUDES FUNDAMENTALES.
Son aquellas elegidas arbitrariamente
como base para establecer las unidades de
un SISTEMA DE UNIDADES y en función de
las cuales se expresan las demas magni
tudes
MAGNITUDES DERIVADAS.
Son aquellas magnitudes que se expre
san en función de las magnitudes asumidas
como fundamentales.
MAGNITUDES ESCALARES.
Son aquellas que enunciado su valor
seguido de su correspondiente unidad
quedan perfectamente definidas, a veces
afectado de un signo negativo convencio
nalmente elegido
Ejemplo: La temperatura: - 15o C
Son magnitudes escalares: Longitud,
masa, tiempo, volumen, densidad, trabajo,
potencia, energía, carga eléctrica, intensidad
de corriente eléctrica, potencial eléctrico, ilu
minación.
MAGNITUD VECTORIAL.
Son aquellas que además de conocer su
módulo o valor, es necesario conocer su
dirección y sentido para que esté plenamente
definida.
Son m agnitudes vectoriales: Des
plazamiento, velocidad, aceleración, fuerza,
torque, impulso, cantidad de movimiento, in
tensidad del campo eléctrico, inducción
magnética

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
MAGNITUD UNIDAD s ím b o l o
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
Angulo plano radián rad
Angulo sólido estereoradián sr
En la X conferencia de Pesas y Medidas
(1954), se establecieron las unidades y mag
nitudes fundamentales del S.I. Este sistema
fue complementado en la XIV Conferencia de
Pesas y Medidas, realizado en Francia en
1971, el S.I. considera siete magnitudes fun
damentales y dos au-xiliares:
ECUACION DIMENSIONAL.
Es aquella igualdad matemática que
muestra la relación que existe entre una
magnitud derivada y las que asumen como
magnitudes fundamentales.
La DIMENSION de una “magnitud física"
se representa del siguiente modo:
Sea A la magnitud física,
[A ]: dimensión de la magnitud física"A“,
o ecuación dimensional de A.
Ejemplos:
1. [longitud] = L
2. [masa] = M
3. [tiempo] = T
4 [intensidad de corriente] = I '
5. [temperatura] = 0
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6- [intensidad luminosa] = J
7. [cantidad de sustancia] = N
8. [número) - 1
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMEN
SIONAL.
Si una fórmula física es correcta, todos
los términos de la ecuación deben ser dimen-
síonalmente iguales.
Sea la fórmula física:
A = B + C . D
[A] = [B] = [C.D]
Ejemplos: Analicemos !a fórmula para
determ inar la altura en
caída libre.
h = V0
I I
m
rn
s
Luego: Todos los términos tienen uni
dad de longitud.

1ra. PROPIEDAD:
Los ángulos, funciones trigonométricas,
funciones logarítmicas y en general
cualquier número son adimensionales
Convencionalmente la dimensión de un
número es igual a la unidad.
Ejemplos:
[30o] = 1
[Sen 30o] = 1
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FINES Y OBJETIVOS DEL ANALISIS DI
MENSIONAL.
1 Expresar las magnitudes derivadas en
función de las denominadas magnitudes
fundamentales
2. Comprobar la veracidad de las fórmulas
físicas mediante el principio de homo
geneidad dimensional
* 3
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*
Determinarformulas empíricas a partirde
datos experimentales.
C PROBLEMAS RESUELTOS
;
PROBLEMA Nfi 01
Determinar la ecuación dimensional
de las principales magnitudes derivadas.
SOLUCION
1. [área] = L2
2. [volumen] = [área x h] = L
3. [densidad] = [ m /v ] = M .L-3
4. [velocidad] = [ e / 1] = LT 1
5. [aceleración] = [ A V / 1] = L.T"2
6. [fuerza] = [ m . a ] - M .L T 2
7. [trabajo] = [ F d ] = M . L 2 .T“ 2
8. [potencia] = [ W / 1] = M.L2 . T ”3
9. [energía] = [ m . c2] = M.L2 T ‘
10 [cantidad de calor] = [energía]
=M.L2 . T 2
11 [presión] = [F/A] = M.L-1 T 2
12. [velocidad angular] =[0 / 1] = T 1
13 [período] = T
14. [frecuencia] = T-1 *
PROBLEMA Ne02
Determinar las unidades de "E" en el
Sistema Internacional.
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E =
D.V
D: densidad
V: velocidad lineal
g: aceleración de la gravedad
SOLUCION
Del principio de homogeneidad dimen
sional.
[E
]= L.P.U
V
.2
J
tJ lg]
[E] =
M . L~3 . L2 . T 2
L T 2
[E] = M . L
Luego; E se mide en: kg . rrf2
PROBLEMA N®03
Hallar la dimensión de “S" en la
siguiente ecuación dimensionalmente co
rrecta.
V.S. = A Cos 60° + UP . Ln 2
A : aceleración centrípeta
V : velocidad lineal

sional.
[V.S] = [ a Cos60°]
[V][S] = [A 12]
L / r ’ .ts] = l 1/2. t
Luego: [S] = L
-1/2
Para la solución del problema no es ne
cesario conocer el tercer termino.
PROBLEMA N204
En la siguiente fórmula física, indique
las dimensiones de "Y"
Y = w . A . Cos (w.t)
donde:
A = longitud; t = tiempo
SOLUCION
1. La dimensión del ángulo es igual a
la unidad:
[w . t] = 1
[w]. T = 1
[w] = T 1
2 La dimensión de la función coseno
es igual a la unidad:
[Cos (wt) ] = 1
[Y] = [w] [A] [Cos (wt) ]
[Y] = T L . 1
Luego: [Y] = L . T 1
PROBLEMA N205
La velocidad "V" del sonido en un gas
depende de la presión “P" del gas y de la
densidad "D" del mismo gas, y tiene la
siguiente forma:
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Hallar la fórmula física para determinar
la velocidad del sonido en cualquier gas.
SOLUCION
sional:
[V] = [Px] . [Dy]
L . T 1= Mx . L~x . T 2x . My. L 3y
M °L 1. T 1= Mx+y. Lx_3y . T 2x
A bases iguales le corresponden expo
nentes iguales.
1 .
T : -1 = -2x —
> x = —
M : 0 = x+ y
Reemplazando:
Luego:
1
2
V =P1/2. D~1/2
PROBLEMA N206
Sabiendo que el Impulso es I =F.t, en
contrar las dimensiones de "Z" para que
la siguiente ecuación sea dimensional
mente correcta.
. W ,
Y + m Z
W : trabajo
m : masa
SOLUCION
F : fuerza
t : tiempo
sional
[l] = [Fj-[t]
[I] = M . L . T 2 .T = M . L . T _1
De la ecuación:

i i = M
[Z]
[ m ] [ Z ]
Reemplazando:
M. L. T 1 = M. [Z ]
Luego: [ Z ] = L . T
Compruebe Ud., el mismo resultado con
la otra igualdad.
PROBLEMA Ns 07
Dimensionalmente, la siguiente ex
presión es correcta y su respectiva
ecuación dimensional es la unidad.
[U N A u n i] =1
donde; U = m.C2
m : masa de un fotón
C : velocidad de la luz
I : radio de la Tierra
Hallar la dimensión de N
SOLUCION
Cálculo de la dimensión de U
[U] = [m] [c ]
[U] = M . L2 . T -2 (1)
La dimensión de un exponente siempre
es igual a la unidad.
[ü] [N] [I] =1
M.L2 .T _2.[N]L =1
[N] - M _1 . L-3 . T2
PROBLEMA Ne 08
El período de oscilación de un péndulo
depende de la longitud ( l ) de la cuerda y
.de la aceleración de la gravedad (g) y tiene
la siguiente forma:
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Hallar la fórmula física correcta
SOLUCION
Por principio de Homogeneidad
[ T ] = U x] [g y ]
T = Lx . Ly 1_2y
L ° j1= L**y . T -2y
A bases iguales le corresponde exponen
tes iguales.
L : O = x + y
T : 1 = -2y
Resolviendo:
x = +
y=~
Reemplazando en la formula:
PROBLEMA Ne 09
Un chorro de agua con densidad (D) y
velocidad (V), choca contra un área (A).
La fuerza que ejerce el chorro de agua
contra la superficie tiene la siguiente
forma:
F = ^ Vx . Ay . D2
Hallar la fórmula física correcta.
SOLUCION
Por principio de Homogeneidad
t F ] = [ V x] [ Ay ] [ Dz ]
LMT “2 = LxT x ,L2y .Mz L~3z
L1. M 1. T 2 = Lx+2y_3z MZ.T X
A bases ¡guales le corresponde exponen
tes iguales.
L : 1 = x + 2y - 3z

M : 1 = z
T -2 = -x
Resolviendo
x = 2
y = z = 1
F = V2 V2 A . D
PROBLEMA N® 10
La velocidad de un satélite artificial
terrestre (Sputnik) que se desplaza no le
jos de la superficie terrestre depende de
la distancia al centro de la tierra o radio de
curvatura R y de la aceleración de la
gravedad "g” en la superficie equipoten
cial en que se mueve el satélite.
Determinar una fórmula empírica que
permita calcular el valor de la velocidad.
C = 1 = constante adimensional.
SOLUCION
1. De la condición del problema:
V = C.RX.gy
2. Por el principio de homogeneidad
dimensional.
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[V] = [C] [R]x [g]v ....(2)
3. Sabemos que:
[V] = L.T -1 , IR] = L
[C] = 1 , [g] =L . T
4. Reemplazando en (2):
L.T -1 = 1. L*. Ly. T _2y
L1.T _1= L x+y j _2v
Identificando exponentes:
L: 1 = x + y
T -1 = 2y .
.... (3)
1
En (3) X = 7
5. Reemplazando en (1).
V=R . g V = VR7g
...a esta velocidad del satélite se le llama
también VELOCIDAD ORBITAL
PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
ANALISIS DIMENSIONAL
MAGNITUD UNIDAD S.I. SIMBOLO DIMENSION
Longitud metro m L
Masa kilogramo kg M
Tiempo segundo s T
Temperatura kelvin K O
Intensidad de corriente eléctrica ampere A I
Intensidad Luminosa candela cd J
Cantidad de Sustancia mol mol N

La siguiente es un fórmula física co
rrecta:
KF = mV
donde: m = masa
F = Fuerza
V = Velocidad
Determinar qué magnitud representa K.
SOLUCION:
Por principio de Homogeneidad dimen
sional
[ K . F ] = I m . V ]
I K ] [ F ] = [ m ] [ V ]
[ K ] L M T 2 = M L T 1
[ K ] = T
K representa un tiempo
PROBLEMA Nfi 02
En la siguiente fórmula física:
PK = m g h
donde: P = Potencia
m = masa
g = aceleración
h = altura
¿Qué magnitud representa K ?
a) Longitud b) Masa
c) Tiempo d) Area
e) Volumen
PROBLEMA Nfi 3
La siguiente expresión es dimensio
nalmente correcta y homogénea:
KF = mV2
donde: F = Fuerza
m = masa
V = Velocidad
¿Qué magnitud representa K?
SOLUCION:
Por principio de homogeneidad dimen
sional
[ K.F] = [ m . V2 ]
[ K ] [ F ] = [ m ] [ V 2 ]
[ K ] L M T -2 = M L 2T~2
[ K ] = L
K representa una longitud
PROBLEMA Ns4
La siguiente fórmula física es dimen
sionalmente correcta y homogénea.
KV = mc2A
donde: V = Volumen
m = masa
c = velocidad
A = Area
Determinar que magnitud representa K
a) Longitud b) Masa
c) Tiempo d) Fuerza
e) Densidad
PROBLEMA N®05
En la siguiente fórmula física:
E = AV2 + BP
donde: E = Energía
V = Velocidad
P = Presión
Determinar qué magnitud representa
A/B
SOLUCION
Por principio de homogeneidad
[E] = [A.V2] = [B.P]
L2 MT ~2 = [A] L2T ~2 = [B]L"1MT ~2
------0 ) -----
------------ - (2)
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4
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m
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C
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❖

de (1) [A] = M
de (2): [B] = L3
de donde: = ML
<-3
entonces — representa una densidad.
l5
PROBLEMA N®6
En la siguiente fórmula física.
KX = A d + i- BP
donde
K = Constante Física ( M T~2)
X = Longitud
d = Longitud
p = momentum lineal (M LT ~1)
Hallar qué magnitud representa A.B.
a) Masa b) Tiempo
c) Velocidad d) Aceleración
e) Fuerza
PROBLEMA Ns 7
La siguiente fórmula es dimensional
mente correcta y homogénea:
E = AW2 + BV2 + CP
donde: E : Energía
W : Velocidad Angular
V : Velocidad Lineal
P : Presión
Hallar:
■ m
SOLUCION:
Por principio de Homogeneidad:
[E] =[AW2] = [BV2] = [CP]
L2M1 = [A] "2=[B]L21 ‘2 =[C]L"1M T 2
J
— ------- (2) --------1
-(3).
*
*
*
4)
%
*
*
*
«
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*
*
*
*
*
*
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*
*
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*
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*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
ü
*
*
*
*
de (1)
de (2)
de (3)
entonces:
[A] = L M
[B] = M
[C] = L3
PROBLEMA Ne8
La posición de una partícula móvil so
bre el eje X está dada por:
X = K1+K2 T + * K3 T2
donde:
Hallar:
X . distancia
T tiempo
K52
c) M
Kl . K3
a) L4 b) T
d) M °L°T° e) N.A.
PROBLEMA N2 9
La fórm ula que determina la altura
máxima h alcanzada por una partícula que
es lanzada verticalmente hacia arriba con
una velocidad inicial Vo tiene la siguiente ‘
forma:
y
h =-
xg*
siendo:
g = aceleración de la gravedad
Hallar la fórmula física correcta.
SOLUCION:
x g y

L =
(L T 1)X
(L r2)y
L1T 0 = |_*“y>T 2y~x
de donde: x - y = 1 ....(1)
2y - x = 0 ....(2)
Resolviendo.
x = 2 ; y = 1
entonces:
h =
Vo
2g
PROBLEMA Ns 10
La presión P que un fluido ejerce sobre
una pared depende de la velocidad V del
fluido, de su densidad D y tiene la
siguiente forma:
Hallar la fórmula física correcta
a) P =V2 V2 D2 b) P =V2 V2 D
c) P =V D
e) N.A.
PROBLEMA N® 11
Dada la ecuación:
d) P = V D
F = nx ry v2
donde:
F = Fuerza
n = Viscosidad
masa
; Longitud x tiempo
r = radio (Longitud)
v = velocidad
Hallar: (x + y + z)
SOLUCION:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
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*
m
*
%
*
*
*
fj*
*
*
*
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*
*
*
*
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*
*
*
■
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*
•3*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
[F] = [n]x [r]y [V]z
LMT-2 = (ML~1T _1)x(L)y (LT “ ’)
L1M1T _2=L~x+y+z M* T ~x_z
de donde:
- x + y + z = 1
x = 1
-x - z = -2
Resolviendo.
x = 1; y = 1 ;
entonces:
(1)
(2)
- - O )
z = 1
x + y + z = 3
PROBLEMA Ne 12
La siguiente es una fórmula física di
mensionalmente correcta y homogénea:
P = K Dx gy hz
siendo:
Hallar.
a) -1
d) 3
K = Adimensional
P = Presión
D = Densidad
g = aceleración
n = altura
(x + y + z)
b) i
e) N.A.
c) 2
PROBLEMA Ne 13
La fórmula para hallar la rigidez de una
cuerda es:
donde:
Q = carga (newtons)
R = Radio (metros)
d = Diámetro (metros)
S = Rigidez (newtons)

Hallar las ecuaciones dimensionales
de las magnitudes a y b.
SOLUCION;
Desarrollando:
por P.H.D.:
[ S ] = [ a ] = [bd2]
LMT “ 2 = [a] L ! MT ' 2 = [b] L2
(1)
(2)
[a] = L-1
[b] = L~1M T-2
de (1):
de (2):
PROBLEMA Ns 14
En la siguiente expresión:
donde: F = Fuerza
V = Velocidad
Hallar la ecuación dimensional de la mag
nitud "b“
a) M ~1T b) MT “ 1
c) M T d) LT
e) N A.
PROBLEMA Ns15
Dada la siguiente fórmula física:
P = KW2 Tg e
donde:
P = Potencia
W = Velocidad Angular
Hailar la unidad de la magnitud K en el
sistema internacional.
*
*
*
*
«
*
*
*
*
SOLUCION:
[P] = [K] [W]2 [Tg6]
La M T 3 = [K] T ’ 2 1
[K] = L2M T “ 1
La unidad de K será:
Kg . n f . s 1
* PROBLEMA N« 16
*
*
*
*
*
*
*
$
*
$
*
*
*
#
*
*
#
*
*
La siguiente es una fórmula física di
mensionalmente correcta.
Q = K A V2gh
donde Q = Caudal (Se mide en m /s)
A = Area
g = aceleración de la gravedad
h = altura.
Hallar la unidad de la magnitud K en el
sistema internacional de unidades
a) L b) L¿
-1
d) No tiene unidades
PROBLEMA Ns 17
c) LT
e) N.A.
Dada la siguiente fórmula física, di
mensionalmente correcta y homogénea:
Q = m.Ce.AT
*
f
t
*
*
donde:
Q = Cantidad de calor
m = masa
AT = Variación de Temperatura
Hallar la ecuación dimensional del
calor específico Ce.
SOLUCION:
[O] = [m] [Ce] [AT]
L2 M T-2 = M [Ce] 6
[Ce] = L2T ”2 6 " 1

Hay que señalar que el calor Q es una
forma de energía
PROBLEMA N® 18 .
Si la longitud final de una barra al di
latarse, está dada por la siguiente re
lación:
Lf = L0 (1+ ccA T)
AT: Variación de la Temperatura.
Determinar la ecuación dimensional
del coeficiente de dilatación lineal a
1
a) L6
d) 0
PROBLEMA N9 19
b) L 6 '
e) N.A.
c) L-1 e
La entropía S de un gas, se define
matemáticamente por la siguiente re
lación:
AS -
AQ
donde:
AS increm ento de Entropía (Si - So)
AQ =Cantidad de Calor absorbido.
T =Temperatura
Hallar la ecuación dimensional de la
entropía "S".
SOLUCION.
[AQ]
[AS] =
m
[S] =
L2 M T 2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
$
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*
*
*
*
#
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
♦
*
*
*
*
#
*
*
*
donde'
K = Constante de Boltzman
T = Temperatura Absoluta
Determinar la ecuación dimensional de la
constante de Boltzman.
a) L M T ~2 6 -1
c) L2 M T -2e
b) L M T e
d) L2M T _2e
e) N.A.
PROBLEMA N®21
La siguiente es la ecuación universal
de los gases ideales
PV = n R T
donde:
P = Presión
V = Volumen
n = Número de moles
T = Temperatura
constante universal de los gases R.
SOLUCION:
[P] [V] = [n] [R] m
L-1 MT ~2 . L3 = N [R] 6
[R) = L2 M T_2e V 1
PROBLEMA N®22
La energía interna, por mol, de un gas
ideal depende únicamente de la tempera
tura, como lo indica la siguiente fórmula.
*
[S] = l2 m r 2e~1 *
*
*
*
U=f RT
PROBLEMA N® 20
La siguiente fórmula física nos deter
mina la energía cinética promedio de una
molécula monoatómica de un gas ideal.
E = f KT
*
*
#
*
donde:
R = Constante Universal de los gases
T = Temperatura.
Determinar la ecuación dimensional de la
energía interna U.

b) MLT “2 N“ 1
d) ML2 T ~2 N
a) ML2T~2N _1
c) ML2T -1N ~1
e) N.A.
PROBLEMA Ne23
La cantidad de calor Q que atravieza
una lámina de Area A y espesor b, desde
una temperatura Ti hacia una tempera
tura T2 , en un tiempo t está dada por la
siguiente fórmula:
<
*
II
0
fT s -T i 1
" b 1
l D J
donde:
K = Conductividad térmica del mate
rial.
Hallar la ecuación dimensional de K
SOLUCION:
[Q] = [ K ] [ A ] ^ [ t ]
L2MT~2 = [Kj L2 . ® .T
[K] = LMT -3 6 ~1
PROBLEMA Ne 24
El calor latente de fusión de una sus
tancia está definido por la siguiente re
lación:
r Q
C l =~r
m
donde:
Q = Cantidad de calor entregado,
m = masa de la sustancia
Hallar la ecuación dimensional del calor
latente CL
a) L2t '
c) L2T 2
e) N.A.
b) LT
d) L T 1
-2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
%
*
*
*
*
*
*
*
*
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*
*
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*
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*
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*
*
*
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*
*
*
*
*
*
*
O
f
*
*
*
*
*
¡h
*
*
*
*
*
*
*
Si la intensidad de corriente eléctrica
se define por la siguiente relación:
1=
donde:
Q = Carga Eléctrica
t = Tiempo
carga eléctrica "Q"
SOLUCION:
[11 =
M
[t]
[Q] = I T
La unidad de carga eléctrica es el cou
lomb (c) en honor a Charles A. de Cou
lomb (1736 -1806) que fue el primero que
midió las fuerzas eléctricas y magnéticas.
Según ésto:
1c= 1A.S
PROBLEMA N926
Si el potencial eléctrico V define por la
siguiente relación:
V —
w
o
donde: W = trabajo
Q = Carga Eléctrica
Hallar la ecuación dimensional del po
tencial eléctrico V.
a) L2M T ^ r 1
c) LMT~3r 1
e) N.A.
b) L2M T~2 r 1
d) LMT 2 1
-1

La ley de Ohm, se expresa matemáti
camente por la siguiente relación:
AV = IR
donde:
AV = Diferencia de Poten
cial
I = Intensidad de Co
rriente Eléctrica
R = Resistencia Eléctrica
resistencia eléctrica "R".
SOLUCION:
m = [t][R ]
L2M T_3I“ 1 = I [R]
[R] = L 2M T ~ 3 r 2
Para la ecuación dimensional del poten
cial electrico V se ha utilizado el resul
tado del problema anterior.
La unidad de resistencia eléctrica es el
Ohm (Li) en honor a Georg S Ohm
(1787 - 1854) quien formuló la ley de
Ohm. según ésto.
1 0 = 1 m2KgS“3 A~2
PROBLEMA N9 28
Si la capacidad eléctrica de un con
ductor se define matemáticamente como:
C =7
donde: Q = Carga Eléctrica
V = Potencial Eléctrico
Hallar la ecuación dimensional de la ca
pacidad eléctrica C
a) L-1M -1 T 4 1
2
c) L-2 M -1 T 4I
e) L_2.M~1T 4 . 1
2
b) L-1M~1T 4 I
d) L-2 M, T 4 I
*
m
m
«¡6
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
+
*
*
*
#
*
*
#
*
*
*
*
*
*
*
üt
*
*
*
*
*
La fuerza F que actúa sobre un alam
bre, por el cual circula una corriente I, está
dada por la siguiente relación:
F = I L B
donde:
L = Longitud del alambre
B = Densidad de flujo magnético ex
terno.
Hallar la ecuación dimensional de "B".
SOLUCION:
[*=] = [ l ] [ L ] [ B ]
LMT -2 = I L [ B ]
[B] = M T
-2,-1
La unidad de densidad de flujo magnético
es la TESLA (T) en honor de Nickola
Testa (1856-1943) quien demostró el
valor de la corriente alterna. Según ésto:
1T = 1Kg.s~2A_1
PROBLEMA N®30
Si el flujo m agnético, se define
matemáticamente por la siguiente re
lación:
<
}>= BA Cos 6
Donde:
B = D ensidad de flujo
magnético
A = Area
Hallar la ecuación dimensional del flujo
magnético <
J
>
a) L M T -2 I _1
c) L2 M T “2 1
e) N.A.
b) L M T ^ I
d) L2 M T 2 I”1

Si la inductancia de un bobina está
dada por la siguiente relación:
I
donde:
N = Número de vueltas del arro
llamiento
$= Flujo magnético
I = Intensidad de corriente
inductancia “L"
SOLUCION:
[N] m
[L i
li]
[L] -
l2 m t ~2 r 1
[ L ] = L2M T “2r 2
Hay que hacer notar que el número de
vueltas N es adimensional y la dimensión
del flujo magnético <
¡>se ha tomado del
problema anterior. La unidad S.l. de In-
ductancia es el Henry (H) en honor a
Joseph Henry (1797 -1878) que realizó
experimentos que condujeron al
telégrafo eléctrico. Según esto:
1H = 1m2 . Kg . s-2 A-2
PROBLEMA Nfi 32
La energía W que almacena una bo
bina en forma de campo magnético tiene
la siguiente forma:
W J - i x Ly
x
donde:
I = Intensidad de corriente
L = Inductancia de la bobina
Hallar (x+y)
*
*
*
*
s
k
i
*
sis
#
m
m
*
*
m
*
*
*
*
*
s
is
<
¡f
*
*
<
¡f
*
$
*
*
*
m
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
a) 1 b) 2
d) 4 e) 0
PROBLEMA Ne33
La intensidad de Campo Eléctrico E,
está definida matemáticamente por la
E = ^
q
donde:
F = Fuerza Eléctrica
q = Carga eléctrica de
prueba
Hallar la unidad S.l, de "E" (1voltio
(V) = m2 Kg s~3 A-1 )
SOLUCION:
[El J f l
11 L
q]
[E
]
LMT
= |T
[E] = LMT ~3 1_1
Según ésto la unidad S I de la intensidad
de campo Eléctrico es:
m . K g . s~3A-1
pero por definición:
1V = m2 Kg . s-3 A-1
entonces la unidad de E es:
1 V/m
PROBLEMA Nfi 34
La fuerza de Lorentz, que es la fuerza
que actúa sobre una partícula que se mue
ve con una velocidad V en una región
donde existe un campo eléctrico E y un
campo magnético B, está dada por la si
guiente relación.
F = XE + Y V . B
Hallar las unidades S.l. de las magni
tudes X e Y. (1 coulomb (c) = 1 A.S)

a) 1c ;1A b) 1c ; 1c
c)1c;1A.S d )1 c .s ;1 c
e) N.A.
PROBLEMA Ne35
La densidad de flujo magnético B,
originado por una corriente rectilínea I, a
una distancia radial r, está dada por la
B =
2n
Hallar la unidad S.l. de la permeabili
dad magnética n .(1Henry(H)=1m .Kg.s-2.A-2)
SOLUCION:
,111
[B] =[H]
[ r ]
lv i = LM T-2r 2
Según ésto la unidad S.l.de la permea
bilidad magnética es:
m . Kg . s ~2A-2
p _p o
Pero por definición: 1H =m Kgs A
entonces la unidad de n es: 1H/m
PROBLEMA Nfi 36
La intensidad de campo magnético H
se define matemáticamente como:
donde: B = Densidad de flujo
magnético
u = Perm eabilidad m ag
nética
Hallar la unidad S.l. de “H"
a) A m b) A/m c) m/A
d) A e) N.A.
*
*
s|í
*
$
*
*
#
*
*
*
*
#
#
*
*
*
*
*
#
s
je
*
*
+
*
*
#
#
*
*
#
*
*
*
*
¡Se
*
*
*
*
*
*
*
*
*
$
Determ inar la velocidad de propa
gación de una onda mecánica en una
cuerda tensa sabiendo que depende de la
fuerza de tensión F a la cual está sometida
y de su densidad lineal de masa n (masa /
longitud). La constante numérica de pro
porcionalidad es la unidad.
SOLUCION:
La velocidad de propagación V puede
expresarse de la siguiente manera:
V = K
siendo K la constante numérica de pro
porcionalidad.
Por principio de homogeneidad dimen
sional.
[V] = [F]x [|o.]y
L T 1 = (LM“
r 2)x(ML-1)y
L1M °T _1 = Lx-y Mx+yT “2*
A bases iguales le corresponden expo
nentes iguales.
L :
M :
T :
Resolviendo:
Por lo tanto:
1
1 = x —y
0 = x + y
-1 = —
2x
e y = -
PROBLEMA Ns 38
La aceleración centrípeta es una mag
nitud física vectorial que mide el cambio
que experimenta la velocidad en direc
ción y sentido. Se representa por un vec
tor que indica en todo instante al centro
de curvatura.
Su valor depende déla velocidad lineal
"V" y del radio de curvatura "R" de la
trayectoria. Hallar la fórmula empírica
para calcular el valor de la aceleración
centrípeta ac-

La constante numérica de proporcio
nalidad es la unidad.
a) ac = V¿R
c) ac = V ~2R
e) N.A.
PROBLEMA N939
b) ac = VR
d) ac = V^R-1
La cantidad de calor "Q“ que disipa un
conductor cuando por él circula una co
rriente eléctrica, depende de la intensidad
de corriente "I" que por ella circula, del
valor de su resistencia "R" y del tiempo
"t" transcurrido. Si la constante numérica
de proporcionalidad es k = 1, hallar la
fórmula empírica de la cantidad de calor
Q.
SOLUCION
La cantidad de calor Q puede expresarse
de la siguiente manera:
Q = K I x R y t z
*
*
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*
*
*
*
*
siendo K la constante numérica de pro
porcionalidad.
Por P..H.D. tenemos que:
[O] = [ I f [ R ] y [ t ] z
l2m t "2 = i*(l2m t ~3 r 2) y t 7
L2M1T -2 |0= L2yMy T - 3y+zr 2y
A bases iguales, le corresponden expo
nentes iguales.
L 2 = 2y
M : 1 = y
T : -2 = -3y + z
I 0 = x - 2 y
Resolviendo:
x = 2 ; y = 1 ; z = 1
Luego.
Q = r R T

Es un ente matemático, que se repre
senta mediante un segmento de recta
orientado, dentro det espacio euclidiano tridi
mensional. En física, el vector, sirve para
representar a las magnitudes físicas vecto
riales.
_ L írie < i de
i c c i 6 r
x
Se representa con cualquier letra del al
fabeto, con una pequeña flecha en la
parte superior de la letra.
—
»
A ; se lee : vector A
O : origen del vector
P : extremo del vector
—
) —
>
También se denota : A = OP
ELEMENTOS DE UN VECTOR
7. Módulo
Indica el valor de la magnitud vectorial.
Geométricamente es el tamaño del vec
tor.
*
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#
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i
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$
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*
*
IAI = y2
|A| = V42 + 32 = 5p
2. Dirección
Es la orientación que tiene el vector, res
pecto al sistema de coordenadas carte
sianas. En el plano se define mediante
el ángulo que forma al vector respecto del
eje (+)
tge = *
M x
* 3. Sentido
Indica hacia que lado de la dirección
(Línea de acción) actúa el vector. Gráfi
camente se representa por una cabeza
de flecha
A = OP

Sentido de A :
O hacia P
CLASIFICACION DE LOS VECTORES
1. Vectores Colineales.
Son aquellos dos o más vectores que
tienen una misma linea de acción o todos
ellos están contenidos en una misma
recta
Los vectores a ; b y c son colineales.
2. Vectores Paralelos.
Son aquellos vectores que tienen sus
lineas de acción respectivam ente
paralelas.
Si, Li es paralelo con , entonces-
a es paralelo con el vector b
a es paralelo con el vector c
3. Vectores Opuestos.
Dos vectores serán opuestos cuando
tienen igual dirección, igual módulo, pero
sentidos opuestos.
La suma de dos vectores opuestos es
igual al vector nulo (Tamaño igual a cero).
*
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%
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#
M
í
#
*
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*
S
í!
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$
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*
$
*
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*
#
*
*
s
¡»
*
*
*
*
*
*
*
*
%
*
*
s
H
*
- - L2
Si, L, es paralelo con L2; o son iguales
lal = Ibl y sentidos opuestos a +b = 0
4. Vectores Iguales.
Dosvectoresserán iguales, cuandotienen sus
tres elementos respectivamente iguales.
-----------------------2---------------- L,
L2
Igual dirección Li // L2
Igual modulo lal = Ibl
Igual sentido : -»
5. Vectores Coplartares.
Dos o más vectores se denominan copla-
nares, cuando todos ellos están conteni
dos en un mismo plano.
6. Vectores Concurrentes.
Dos o más vectores se denominan con
currentes, cuando todos ellos tienen un
mismo punto de aplicación o sus líneas
de acción se intersectan en un mismo
punto.
a ; b y c son vectores coplanares y
concurrentes.

OPERACIONES CON VECTORES
SUMA DE VECTORES COLINEALES Y
PARALELOS.
Dado que todos los vectores tienen la
misma dirección, entonces el vector re
sultante también tendrá la misma direc
ción, por consiguiente la suma se realiza
algebraicamente teniendo en conside
ración los signos (sentidos)
I
a + b = (2) + (4) = +6
a + c = (2) + (-3) = -1
(-): sentido a la izquierda.
2 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN
VECTOR.
En principio una cantidad escalar es todo
número real, positivo o negativo, entero
o fracción. Cuando se multiplica un es
calar por un vector, el vector resultante es
otro vector de igual dirección. Si la can
tidad escalar es positiva también tiene el
mismo sentido, pero si la cantidad esca
lar es negativa el sentido es opuesto al
vector inicial.
*
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#
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*
*
*
*
2A
-A
L
3. SUMA DE DOS VECTORES
(Método del Paralelogramo)
Para sumar dos vectores que tienen el
mismo origen, se construye un paralelo-
gramc, trazando por el extremo de cada
vector una paralela al otro. Geométri
camente el módulo del vector resultante
se obtiene trazando la diagonal del para
lelogramo desde el origen de los vec
tores.
El módulo del vector resultante se deter
mina del siguiente modo:
R = Va 2 + B 2+ 2 . A . B. Cose
i) A y B representan el tamaño de los
vectores.
ii) R es el tamaño del vector resultante.
es el opuesto de *
*
*
*
iii) 0 es el ángulo que forman los vec
tores.
DEMOSTRACION

Teorema de Pitágoras:
R2 = (B + pf + q2
R2 = B2 + 2pB + p2 + q2
Pero: p = A.Cos 0
p2 + q2 = A2 .... (2)
Reemplazando (2) en (1):
R2 = B2 + 2(ACos 0) B + A2
(1)
R2 = A2 + B2 + 2A.B Cos 0
PROBLEMA N9 01
¿Qué ángulo deben formar dos fuer
zas de 27N y 45N para que actúen sobre
un cuerpo como una sola fuerza de 63N?
SOLUCION
Método del Paralelogramo.
R? = A2 + B2 + 2A.B. cos 0
(63)2=(27)2+(45)2+2 (27) (45) cos 6
*
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92.72 = 92 32 + 92.52+2(9.3)(9.5)Cos 0
49 = 9 + 25 + 30 . Cos 0
Cos 0 = —
Luego; las fuerzas forman un ángulo: •
0 = 60°
CASOS PARTICULARES
1. RESULTANTE MAXIMA
La resultante de dos vectores es máxima,
cuando forman entre sí un ángulo igual a
cero, por consiguiente tienen igual direc
ción y sentido.
Rmax —a +b
2. RESULTANTE MINIMA
La resultante de dos vectores es mínima,
cuando forman entre si un ángulo igual a
180° por consiguiente tienen sentidos
opuestos.
Rrmn —3 —b
3. La resultante de dos vectores se obtiene
mediante el Teorema de Pitágoras, cuan
do forman entre sí un ángulo igual a 90°
R = Va2
a*+b

La resultante de dos vectores de
módulo constante, varía al hacer girar uno
de ellos. El mínimo módulo de la resul
tante es 2 y el máximo 14. Determinar el
módulo de la resultante, cuando los vec
tores forman ángulo recto.
SOLUCION
Resultante mínima:
a - b = 2 .....(1)
Resultante máxima:
a + b = 14 .... (2)
Sumando las Ec. (1) y (2)
a = 8 y b = 6
Cuando forman ángulo recto
R2 = a2 + b2
R2 = 64 + 36
R = 10
PROBLEMA Ns03
La figura muestra tres vectores de
módulos iguales. Hallar la medida del án
gulo "6" para obtener la resultante
mínima.
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$
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*
*
El módulo de la resultante no se altera si
giramos los vectores un ángulo “ 6 “ en
sentido anti-horario.
Los vectores a y b se puede reem
plazar por el vector S
La resultante de sumar los vectores
—
> —
>
c y S será mínimo cuando forman un
ángulo de 180°.
45° + 90° + 20 = 180°
0 = 22,5°
4. SUMA DE "n" VECTORES
(Método del Polígono)
Consiste en construir un polígono con los
vectores sumandos, manteniendo constan
tes sus tres elementos (módulo, dirección y
sentido), uniendo el origen del segundo vec
tor con el extremo del primero, el origen del
tercero con el extremo del segundo, así
sucesivamente hasta el último vector El
módulo del vector resultante se determina
uniendo el origen del primero con el extremo
del último vector.

Calcular el vector resultante, de los vec
tores mostrados.
POLIGONO CERRADO
Si el polígono vectorial resulta cerrado,
entonces el módulo del vector resultante
es igual a cero.
!a + b + c + d | = 0
CASO PARTICULAR (TRES VECTORES)
A + B + C = 0
Se cumple la ley de Senos
B
*
*
*
Ü
f
*
*
*
*
*
*
«
e
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
«
fe
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
<
¥
Sen a Sen p Sen y
PROBLEMA Ne 04
La figura muestra una circunferencia de
—
)
centro "O". Escribir el vector x en función de
—
> —
>
los vectores a y b .
SOLUCION
El punto “O", es el punto medio del mó-
—
> —
>
dulo de los vectores a y b
Del método del Polígono:

( b - a )
> D
c + d
Pero: AD = 4 n
Luego:
*
PROBLEMA NB05
En la figura los puntos A,B,C,D,E y F
determinan un exágono regular de lado
2|x. Hallar el módulo del vector resultante,
en el sistema vectorial mostrado.
SOLUCION
Trazamos los vectores manteniendo
constante su módulo, dirección y sentido
El vector AF ocupa la posición CD y el
vector AB ocupa la posición ED.
Si , "G" es el baricentro del triángulo
AOB y M es punto mudio de AB. Escribir
el vector x en función de los vectores
—
► —
>
a y b.
Ia + b + c + d l = 8 | i
*
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*
«
5
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*
*
#
*
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*
*
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*
#
*
#
*
*
*
*
*
0
?
*
#
0
SOLUCION
Sea, p un vector auxiliar
—
> —
» —
*
AOAB : a + 2 p = b
—
> —
>
”* b - a
P ■ (1)
AOAM : 3 x = a + p .... (2)
x =
a + b
PROBLEMA Nfi 07
—
*
Expresar el vector x en términos del
-> ->
vector a y b, sabiendo que ABCD es un
paralelogramo, además M y N son puntos
medios de AB y CD respectivamente.

*
*
*
SOLUCION
Del método del paralelogramo:
-» -> ->
x = 2 (p + . ..(1)
-> -» ->
Del ADAM: 2 p + q = a ... (2)
—
> —
* —
*
Del ADCN : 2 q + p = b ... (3)
sumando:
^ (a + b )
P + q = • 3
Reemplazando en (1):
x = - { a + b }
5. DIFERENCIA DE DOS VECTORES
*
La diferencia de dos vectores que tienen
el mismo origen se consigue uniendo los
extremos de los vectores E! vector dife
rencia D indica al vector minuendo A.
*
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s*
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*
*
*
*
*
*
*
*
-+
*
*
*
Del método del Polígono:
-> -» -»
B + D = A
D = A - B
El modulo del vector diferencia se deter
mina aplicando la Ley de Cosenos
D = V a 2+ B2 - 2 A.B. Cos G
PROBLEMA N908
dos los vepto
= 6N X 2 O
0
Dados los vectores a = 5N
, b
/ 73o
Calcular la - b I
SOLUCION
Llevamos los orígenes a un punto común
" O " .

a - b
Cálculo del vector diferencia :
—
> —
> -»
D = a - b
D2 = a2 + b2- 2(a) (b) Cos 53°
D2 = 25 +36 -2 (5 ) ( 6 ) |
b
la - b I = D = 5N
6. DESCOMPOSICION RECTANGULAR
En principio un vector se puede escribir
en función de dos o mas componentes.
En este caso particular escribiremos en
función de dos componentes que forman
entre sí un ángulo recto.
'
!
A. Sen
l : - ________ ~
Cos
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*
*
Ax : Componente de A en el eje x
Ay : Componente de A en el eje y
De la figura: Cos 0 =—
<
ii
X
<
. Cos
6I
Sen B :. Ay
" A
| Ay = A . Sen
lJ
Para determinar la resultante de un
sistema de vectores por este método, se
sigue los siguientes pasos:
1.
2.
3.
4.
Cada vector se descompone rectan
gularmente, respecto de un sistema
de ejes coordenados arbitraria
mente elegido.
Se determina la resultante en cada
eje cartesiano:
Rx : Resultante en el eje x
Ry : Resultante en el eje y
El modulo del vector resultante se
halla aplicando el Teorema de
Pitágoras.
| R = V ~ R f + Ry |
La dirección, del vector resultante,
respecto del eje x se determina me
diante la función tangente:
PROBLEMA Ne 09
Si las componentes rectangulares de
un vector F en el sistema de coordenadas
x e y son Fx = 5 ; Fy = 5 VíT
Hallar las componentes del vector en
el sistema de coordenadas x’ e y’, que con
respecto al primero ha sido rotado un
ángulo de 23 .
r..

Calculo del módulo del vector F
F=V F
?+F
p =10
Cálculo del ángulo “ 9 " que forma el
—
>
vector F con el eje x.
tge = | * = V3 =>
r x
0 = 60°
El vector F forma un ángulo de 37° con el
eje x'.
Cálculo de las componentes en el sis
tema x’ e y'
FX-=F cos37° = 10. ~
Fx
I!
03
Ll!
II
se n 37°
Fy
II
O)
3
5
PROBLEMA Ne 10
La figura muestra un cuadrado ABCD
de 4cm de lado, donde M es el punto
medio del segmento BC. Determinar el
valor del ángulo “ G“, tal que el módulo de
la resultante vectorial sea igual a .221 cm.
*
*
*
*
*
*
&
*
I
*
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*
#
*
jfi
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#
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*
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*
*
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*
*
m
*
*
*
*
*
#
#
*
#
*
*
#
#
*
SOLUCION
Descomponiendo los vectores rectangu
larmente:
4Tg8
Cálculo de la resultante en los ejes x
e y.
Rx = 10
Pero:
Ry = 8 + 4 tg 0
R2 = R2 + R2
221 = 100 + (8 + 4.Tg G)2
121 = (8 + 4Tg 0)2
T9 e= f
0 =37°
7. VECTORES UNITARIOS CARTESIA
NOS
Son aquellos vectores cuyo módulo es la
unidad de medida y se encuentran en los
ejes coordenados cartesianos.
y

i : vector unitario en el eje x
j : vector unitario en el eje y
Representación de un vector en función
de los vectores unitarios cartesianos:
PROBLEMA N9 11
Determinar el módulo del vector resul
tante del conjunto de vectores mostrados
en la figura. El lado de cada cuadrado es
la unidad.
SOLUCION
Escribimos los vectores en función de los
vectores unitarios
->
A = (-1; 2) = - i + 2j
B =(-2;-2) = —
2¡ —2j
C = ( 1; -1) = ¡ - j
D = ( 2 , 1 ) = 2¡ + j
$
sü
sü
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
$
*
*
»
v
*
H
j
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
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*
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*
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*
*
*
*
*
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*
*
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*
*
*
*
*■
*
*
*
*
sü
*
*
#
S
ü
sü
*
sü
*
*
*
Sumando:
—
>
R = (0 ; 0) = Oi + O
j
.-. R = vector nulo
R = 0
Módulo de la resultante igual a cei ^
8. VECTOR UNITARIO
Es aquel vector cuyo módulo es la unidad
de medida y tiene por misión indicar la
dirección y sentido de un determinado
vector El vector unitario se define como
la relación del vector A entre su módulo.
Por definición:
Despejando:
-i -»
A = A . M
MODULO
J V
LO / DIRECCION'Y SENTIDO
Cualquier vector, se puede escribir como
el producto de su módulo por su corres
pondiente vector unitario.
PROPIEDAD
Dos vectores paralelos o colineales (del
mismo sentido) tienen e¡ mismo vector

unitario, por consiguiente los vectores
serán directamente proporcionales a sus
módulos.
Si, Li es paralelo con L2
-» _ L
A
8 1
Tamaño de A Tamaño de B 1
PROBLEMA Ne 12
Los puntos A, B, C y D determinan un
cuadrado. Escribir el vector x en función
de los vectores a y b
*
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$
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*
*
*
*■
*
*
*
*
*
*
*
*
Comparando los gráficos. El vector x es
colineal con el vector suma (a+b)
a + b
(Tamaño x ) Tamaño (a + b)
-> -> -»
a + b
PROBLEMA Ne 13
Los puntos P, Q, R y S determinan un
cuadrado donde M y N son puntos medios
de PQ y QR respectivamente. Relacionar
-» —
» —
»
el vector x con los vectores a y o .

Los triángulos SPM y PQN son congruen
tes.
Luego:
*
*
*
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*
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*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
a + p = 90°
Los triángulos rectángulos POM y POS
son semejantes, cuyos lados están en la
razón de 1 a 2.
Luego : SO = 4 x
Método del polígono, en el ASPM

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
ANALISIS VECTORIAL
PROBLEMA Ns 1
Hallar el módulo del vector resultante
de dos vectores de 15 y 7 unidades que
forman entre sí un ángulo de 53°
SOLUCION:
Sabemos
R = A2 + B2 + 2 AB Cos 0
R = V 152 + 72+ 2 (15) (7) Cos 53
R = 20
PROBLEMA N2 2
Se desea extraer un clavo de una ma
dera mediante la acción de dos fuerzas de
30 y 50 Newtons que forman entre sí un
ángulo de 127°. Hallar el efecto neto que
producen las dos fuerzas actuando sobre
el clavo.
a) 20 N b) 30 N c) 40 N
d) 50 N e) 60 N
PROBLEMA N2 3
Si la resultante máxima de dos vec
tores es 17u y la resultante mínima es 7u,
determinar el módulo de la resultante
cuando los vectores formen entre sí un
ángulo de 90°.
m
*
*
*
*
*
N
i
*
*
*
*
*
S
lí
#
*
*
*
*
$
*
*
*
*
*
*
*
* Rmax —A + B —17
Rmin = A — B = 7
Resolviendo
A = 12 ; B = 5
Cuando los vectores forman un ángulo de
90°, su resultante se determina por:
R = ^ A2 + B2
R = V l 2 2+ 52
R = 13
PROBLEMA Ne 4
Si la resultante máxima de dos vec
tores es 8u y la resultante mínima es 2u,
determ inar el módulo de la resultante
cuando los vectores formen entre sí un
ángulo de 60°
a) 4u b) 5u c) 6u
d) 7u e) N.A.
PROBLEMA Ns 5
Hallar el ángulo que forman dos vec
tores de igual módulo, si su vector resul
tante tiene el m ism o m ódulo que los
vectores componentes.
SOLUCION :

R =Va 2+ B2 + 2 AB Cos 9
pero por condición del problema:
A = B = R, entonces:
A = ÍA 2+ a 2+ 2A¿ Cos 0
A2 = 2A2 + 2A2 Cos 0
Cos 0 = -
1
0 = 120°
*
*
*
*
*
*
slí
*
*
*
*
*
<
!=
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
m
*
*
*
*
*
*
*
*
*
PROBLEMA NB6
tante de los tes vectores mostrados en la
figura:
PROBLEMA Nfi 7
En la figura, determinar el modulo del
vector resultante del conjunto de vec
tores mostrado, si el radio de la circun
ferencia es de '-'S unidades y O es su
centro.
*
*
*
*
*
<
t*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
#
sis
*
*
#
#
Utilizando la conclusión del problema re
suelto anteriormente deducimos que la
—
* —
»
resultante de los vectores P y Q es el
—>
vector B de móduloVÉT y forma 60° con
el vector Q. Ahora el problema se reduce
—
» —
>
a hallar la resultante de A y B.
R2 = A2 + B2 + 2AB Cos 0
R2 = V Ír + ^ + 2 (a
/5)2 Cos 127
R2 = 10+ 10 ( - f )
5

Dado el conjunto de vectores mos
trado en la figura, hallar el valor de 6 para
obtener la resultante máxima.
a) 5o
d) 20°
b) 10°
e) 30°
c) 15°
i y
PROBLEMA Ne 9
—
> —
> —
*
Si dados los vectores A, B y C se
cumple que:
A + B + C = 0
SOLUCION :
Si la resultante de los tres vectores
mostrados es CERO el módulo de la
*
*
*
*
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*
&
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*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
resultante de dos de ellos tendrá igual
módulo que el tercero según esto.
C =a/a2+ b 2 + 2 a b Cose
13 =^J?2+ 82 + 2 (7) (8; Cos 6
169 = 113+ 112Cos6
Cos 0 = 7
T
9 = 60°
PROBLEMA N® 10
coplanares mostrados en la figura es
CERO, hallar el módulo del vector O, si:
a) 5 b) 7 c) 8
d) 10 e) N.A.
PROBLEMA Nfi 11
La figura adjunta muestra dos vecto
res A y B, siendo:
—
V
i A I = 20

SOLUCION :
Sabemos:
1A - B I=Va*+ B 2- •2AB Cos 0
IA - B l=^202+72-2 (20)(7)Cos 37
(A - B )
IA - B 1= 15
PROBLEMA Nfi 12
-> ->
Dados los vectores A y B mostrados
en la figura, determinar:
—
> —
►
IA - 2 B I
Si se cumple que:
I A l= 5
—
>
I B l= 3
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 20
PROBLEMA Ne 13
Si el módulo de la suma de dos vec
tores de igual módulo es dos veces del
*
#
*
*
*
$
*
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$
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*
$
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#
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*
*
$
*
*
*
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*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
slí
#
*
*
#
*
*
*
4
=
*
*
módulo de su diferencia, hallar el ángulo
comprendido entre dichos vectores.
SOLUCION :
Sea: A = B = x
* S2 = A2 + B2 +2AB Cos 0
S2 = 2X2 + 2x2 Cos 6
* D2 = A2 + B2- 2AB Cos 0
D2 = 2X2- 2x2. CosG
Pero:
S2 = 4D2
2X2 +2X2 Cos 6=4(2x2 - 2X2 Cos 0)
1 + Cos 0 = 4 ( 1 - Cos 0)
Cos 0 = §
o
0 = 53°
PROBLEMA Ne14
Si el módulo de la suma de dos vec
tores de igual módulo es el triple del mó
dulo de su diferencia. Hallar el ángulo
comprendido entre dichos vectores.
c) 45°
a) 30° b) 37°
d) 53° e) 60°
PROBLEMA N9 15
trado en la figura, determinar el módulo de
su vector resultante

SOLUCION :
Utilizando el método del triángulo reem
plazamos cada par de vectores conse
cutivos por su respectivo vector
resultante.
Entonces:
R : 2 + 4 + 6 + 8
R = 20
PROBLEMA N® 16
tante de los vectores mostrados en la
figura, sabiendo que ABCD es un trape-
ció, donde: AB = 14.; DC = 22.
a) 4
b) 8
c) 16
d) 20
e) Faltan datos
PROBLEMA N9 17
Hallar el módulo de la resultante del
conjunto de vectores mostrados en la fi
gura, si el lado de cada cuadrado pequeño
es de 1 unidad de longitud.
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*
SOLUCION :
De donde:
R = V2
PROBLEMA N®18
En la figura, determinar el módulo de
la resultante del conjunto de vectores
mostrado, si el lado de cada cuadrado
pequeño es de 2 unidades de longitud.
a) 1u
b) 2u
c) 3u
d) 4u
e) N.A.
PROBLEMA N9 19
Hallar el módulo de la resultante de los
vectores mostrados en la figura.

De donde: R = 5 + 5
R = 10
PROBLEMA Ns20
de los tres vectores mostrados en la figu
ra.
HafHar el vfector x en función de ios
—
» —
»
vectores A y B, sabiendo que Mes punto
medio de su respectivo lado.
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m
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*
*
*
*
*
B + x + 2x - A
B + 3x = A
x =
A - B
G Baricentro del triángulo rectángulo
isósceles.
PROBLEMA N®22
En el paralelogramo mostrado M y N
son puntos medios de sus respectivos
lados. Hallar el vector:( x + y ) en fun-
—
» —
»
ción de los vectores A y B.
a )¿ ( A + B )
*
*
*
tjs
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*
*
í¡*
*
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*
*
*
*
*
♦
b) A + B
3 “* Á
c ) | ( A + B ) A
PROBLEMA Ns23
Si dados los vectores A , B y C mos
trados en la figura se cumple que:

A + B + C = O
Siendo:
IAI = 7
IB! =15 ; IC l= 20
Hallar los ángulos 6 y a, si 6 es agudo
y a es obtuso.
SOLUCION
Siempre que la resultante de tres vec
tores es CERO, se cumple que el módulo
de cada uno de ellos es directamente
proporcional al seno de su ángulo
opuesto, según ésto:
A B
Sena Sen143° Sen 9
15 20
Sen a 3 /5 Sen 0
7
* Sen a =
25
a =164°
De donde:
9 =53°
* Sen 9 = —
5
PROBLEMA N924
mostrados es CERO, hallar el ángulo 0 si
es agudo (P = 18 ; Q - 15).
*
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*
♦
*
*
*
a) 53°
b) 60°
c) 67°
d) 75°
e) 80°
PROBLEMA N925
Si en el trapecio mostrado en la figura,
M es punto medio de su respectivo lado,
hallar el módulo de la resultante de los
dos vectores mostrados en la figura.
SOLUCION:
Descompongamos cada uno de los vec
tores en las direcciones indicadas
De la figura es fácil darse cuenta que los
vectores oblicuos se anulan y, en con
secuencia, resultante del conjunto de
vectores es:
R = 4 + 8
R = 12

Dado el paralelogramo ABCD mostra
do en la figura, hallar el módulo del vector
resultante de los tres vectores indicados.
Donde:
a) 8
AB = 4 y BC =3,5
*
*
*
*
*
*
*
*
«
*
*
* Ry = SVy = 25
R = 25^2
PROBLEMA Ne28
tante de los tres vectores en la figura si
La figura muestra un cuadrado cuyo
lado es de 10 unidades. Determinar el
módulo de la resultante de los tres vec
tores mostrados si M y N son puntos me
dios de sus respectivos lados.
M
*
*
*
*
*
PROBLEMA Ns29
de los cuatro vectores mostrados en la
figura si: A b 2 ^ ; B = 10 ; C = 4 ;
D = 10^2
SOLUCION:
Descompongamos cada uno de los vec
tores en sus componentes rectangulares.
M
. N
*
*
*
*
*
*
*
#
*
m
*
*
*
*
*
SOLUCION :
Rx = X Vx = A + B .Cos37° - C. Sen 60°
Rx = —
2
Ry = £Vy = B. Sen 37° + C. Cos 60° -
Ry = —
2
- D. Sen 45°
- D. Cos 45°

R =*I Rx + Ry
R = 2>/2
PROBLEMA Ns30
Dado el conjunto de vectores mostra
dos en la figura, determinar el módulo de
su vector resultante, si A = 10; B = 20;
C = 6 ; D = 13.
a) 13
b) 26 V2
C)39^
" >
^ 37°
d) 52>/2 r 5 x
e) N.A.
i
PROBLEMA N® 31
Determinar la dirección del vector re
sultante del conjunto de vectores mos
trado en la figura.
20
45°
y
j ’
í
2 J2 x
J r
- 5/2
SOLUCION :
’ Rx = ZVX= 2 y¡2--10^2
Rx = - 8 ' 2
*
*
<
i=
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s
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*
$
m
*
*
*
*
Ry = I Vy = V 2 + 1 0 a/2 - 5 V2
R v = 6 ^ 2
De donde se deduce que:
6= 143°
PROBLEMA Ne32
Determinar la dirección del vector re
sultante del conjunto de vectores mostra
dos en la figura.
a)30° 10.'2u
b) 37°
c) 45° _ 4f>
d) 53°
e) 60° 10lJ
PROBLEMA N9 33
En el gráfico mostrado, hallar el valor
de A para que el vector resultante de
los tres vectores indicados esté sobre el
eje x.

SOLUCION:
Por condición de! problema:
*
*
$
*
*
SOLUCION:
Por condición ael problema:
Ry = ZVy = 0 *
$ Rx = Ry
*
AV3 Sen 60 + AV2 Sen 45 - 1 0 = 0
A = 4
PROBLEMA Ns34
Si el vector resultante del conjunto de
vectores mostrados está en el eje y, hallar
el ángulo 6
a) 30°
b) 37°
c) 45°
d) 53°
e) 60°
4y
y'3y
PROBLEMA Ne35
Hallar el módulo del vector A mostra
do en la figura sabiendo que el vector
resultante del conjunto de vectores
mostrado forma 45° con el semieje posi
tivo de las x.
(B = 4 ; C = 10nÍ2; D = 2 V3)
y
4 V
^ 6 0 °
S i l 0
^ A
2 / 3
X
1 0 / 2 " /
$
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o
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*
*
A Sen 37° +B Cos 60° - C Cos45°
á ^
^ A - 10 = f A - 8
5 5
5 A = 2
A = 10
PROBLEMA Ne36
—
>
Determinar el módulo del vector A
mostrado er> la figura, si el vector resul
tante del conjunto de vectores indicado
forma 37° con el semieje - positivo de las
x. (B = 2 V2 , C = 7)
a) 5
y
S
/ 1
b) 10 X
c) 15 45° / 53°
d) 20
e) N.A
t
PROBLEMA N237
Determinar el módulo de la resultante
de los tres vectores mostrados en la
figura, si: A = 10 ; B = 10; C = 4'J2.
<

Tomemos un sistema de coordenadas
adecuado y utilicemos el procedimiento
para determinar la resultante analítica
mente
4/2

y A
/
10 '
/
/
x , 450 a . 'S ” ' . r
i—,1
1 10
Rx = I Vx
Rx = 10 Cos 53 - 4 V2 Sen 45
Rx = 2
Ry — iV y
Ry = 10 Sen 53 + 4^2 Cos 45° - 10
Ry = 2
R = V" Rx + Ry
PROBLEMA Ne38
Determinar el módulo de la resultante
del conjunto de vectores en la figura.
*
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<
n
Hallar el módulo de la resultante del
conjunto de vectores mostrados en la fi
gura.
1 ;9)
14 ; - l )
SOLUCION :
Expresemos cada uno de los vectores en
forma de par ordenado:
A = (1 ; 9)
B = (-5 ; 5)
C = (-6 ; -5)
D = ( 4 ; —
1 )
Entonces :R = A + B + C + D
R =(1; 9) + (-5; 5) + (-6; -5) + (4; -1)
R = (-6 ; 8)
I r | = V (—
G)2 + (8f
IR 1= 10
PROBLEMA Ne40
Dado el siguiente conjunto de vecto
res:
A = (1; -2)
B = (-1 ; 2)
C = ( - 2 ; 3)
Hallar el módulo del vector:

E = 2A + 3B — C
a) -42 b) 2 v2 c) 3 <2
d) 4 <2 e) 5'i2
PROBLEMA NE41
dos en la figura, determinar el módulo del
vector:
E = A - B + C - D
SOLUCION : i-_*------1
Expresando cada vector en forma de par
ordenado
A = (-1 ; 2)
B = (2 ; 2 )
C = (1 ; —
1)
D= (—
2 ;-1)
Entonces.
-4
E = A - B + C - D
E = (-1 ; 2) + (2 ; 2) -t
(1 ;-1)-(-2,-1)
E = ( 0 , 0 )
*
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*
Si dados los vectores A, B y C mostra
dos en la figura se cumple que:
m.A + n.B + p.C = 0
Donde m, n y p son números reales,
hallar el valor numérico de:
E =
mn
c) 3
a) 2 b) 2,5
d) 3,5 e) N.A.
PROBLEMA N®43
Dados los vectores mostrados en la
figura, determinar el módulo de su vector
resultante. El radio de la circunferencia
es de 25 unidades.
IE I = 0 *
*

Para utilizar el método de los componen
tes rectangulares y trabajar con ángulos
notables, efectuemos una rotación anti
horaria al sistema de ejes coordenados
en ángulo 5o.
Rx= IVx
Rx = 25 Cos 16o - 25 Sen 37°
Rx = 9
Ry = I Vy
Ry = 25. Sen 16° + 25 cos 37°
Ry = 27
R = V r ? + r S
R = 9 'fW
PROBLEMA Ns 44
trado, determinar el mínimo valor que
puede tomar el módulo de su resultante.
Hallar el módulo de la resultante del con
junto de vectores mostrados en la figura
De la figura obtenemos la siguiente re
lación vectorial:
A +~B + (-C) +~D + E +(—
F) = O
A+ B + f) + E = C + F .... (*)
Nos piden:
R = A + B + C + D + E + F
R = (A+B+D+E) + (C+F)
R = 2 (C +T)
En módulo: iR i =2 IC + F |
I RI = 2 V c 2+ F 2
ÍRI = 10
PROBLEMA Ns 46
del conjunto de vectores mostrados en la
figura sabiendo que: IA I = 5u; IC I = 8u

dos en la figura, determinar el módulo del
vector.
P = A —B + 2 C - 2 D
Si: |C| = 6V3
De la figura vemos que:
Á + (—
B) + C + (-D) = 0
Á - B + C -'D = 0 . . . (*)
Entonces:
P = A - B + 2C —2D
P = ( A - B + C - D ) + C - Ü
P = C —D
De la figura : ÍFl = 6^J3 Cos 30
P = !
PROBLEMA Nfi 48
Dados los vectores mostrados en la
figura, hallar el módulo del vector x, si:
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*
x = P + Q —R + S —T
SOLUCION
Donde:
a) 24 b) 48 c)30
d) 60 e) N. A.
PROBLEMA NB
49
tante del conjunto de vectores mostrados
en la figura.
a/2 a/2
f, ---------------------------

R = af2 + a ^2
R = 2aV2
PROBLEMA Nfi 50
tante de los vectores mostrados en la
figura, "a" es el lado del cubo
PROBLEMA Ne51
La figura muestra un cuadrado de
5cm. de lado. Donde el segmento CE es
tangente a la semicircunferencia en el
punto T. Escribir el vector x en función
de los vectores A y B.
Considere: Tg(53°/ 2) = 0,5
S
K
4
=
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♦
a) ( B - 3A )/5 b) ( B + 3A )/5
c) ( B - 2A )/5 d)Faltan datos
e) N.A.
PROBLEMA Ne 52
-» -> -»
Encontrar x en función de A y B.
MNOP es un cuadrado.
4 Í ; _ I
5 v 2
c ) l
C) 5 2 )
e) Ninguna
b ) ^ |A
i(:
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1
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+
*
*
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*
*
*
*
* NP : Cuadrante
PROBLEMA NB53
La figura muestra un rombo ABCD de
lado 2cm, determinar el módulo de la re
sultante de los vectores mostrados.
Ar — /-— T —/
o0
Dl - 1 - ‘
a)^30 cm b) V5T cm c) V32 cm
d) ^40 cm e) Faltan datos.

CONCEPTO.
Es parte de la mecánica que estudia al
sistema de Fuerzas que actúan sobre un
cuerpo material en equilibrio.
FUERZA.
Es una magnitud física vectorial, se de
fine como la causa de los movimientos y de
la deformación de los cuerpos.
La acción de una fuerza sobre los cuer
pos depende de su módulo, dirección (línea
de acción), sentido y punto de aplicación.
La fuerza en el SI se mide en newtons
(abreviado N).
F = 50 newtons
F = 50 N
FUERZAS INTERNAS
Son aquellas fuerzas de origen electro
magnético, que se manifiestan en el inte
rior de los cuerpos flexibles y rígidos,
cuando éstos son sometidos a la acción
de fuerzas externas que tratan de defor
marlo por alargamiento o estiramiento y
por aplastamiento o compresión. Según
ésto las fuerzas internas se clasifican en:
Tensión, compresión, torsión y fuerza
elástica.
TENSION (T)
Es aquellafuerza generada internamente
en un cuerpo (cable, soga, barras) cuan
do tratamos de estirarla. Para graficar la
tensión se realiza previamente un corte
imaginario.
La tensión se caracteriza por apuntar al
punto de corte. Si el peso de la cuerda
es despreciable, latensión tiene el mismo
valor en todos los puntos del cuerpo.
t. __
_ -J
Corte
El bloque de peso W se encuentra en
equilibrio.
IF y = 0
T - W = 0
La tensión en la cuerda es igual al del
bloque.

COMPRESION (c)
Es aquella fuerza interna que se opone a
la deformación por aplastamiento de los
cuerpos rígidos.
Para graficar la compresión se realiza
previamente un corte imaginario, se
caracteriza por alejarse del punto de
corte. Si el peso del cuerpo rígido es
despreciable, la compresión es colineal
con el cuerpo y tiene el mismo valor en
todos los puntos.
CORTE IMAGINARIO
La compresión "C" se opone a la fuerza
deformadora “F“.
FUERZA ELASTICA
Es aquella fuerza interna que se mani
fiesta en los cuerpos elásticos o defor-
mables, tales como los resortes. La fuer
za elásiica se opone a la deformación
longitudinal por compresión o alarga
miento, haciendo que el resorte recupere
su dimensión original.
Ley de Hooke:
" La fuerza generada en el resorte
es directamente proporcional a la
deformación longitudinal"
F = K . X
K
X :
Constante de elasticidad del
resorte, se mide en (N/m).
Deformación longitudinal,
mide en (m).
se
1) F : Como tensión
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*
Diagrama de fuerzas sobre el bloque:
F = KX
E1
V J
2) F: Como Compresión
Diagrama de fuerzas sobre el bloque:

LEYES DE NEWTON
lera. Principio de Inercia
"Todo cuerpo material permanece en re
poso relativo o se mueve con velocidadcons
tante en línea recta, si sobre él actúa una
fuerza resultante igual a cero"
V
Ejemplo: Desde una nave cósmica que
se mueve con velocidad V=500 m/s, se
abandona un objeto. Si la nave se en
cuentra en una zona de ingravidez, ace
leración de la gravedad igual a cero, en
tonces la nave y el objeto marchan para
lelamente con la misma velocidad.
2da. Ley de Aceleración
"Todo punto material sometido a la ac
ción de una fuerza resultante diferente de
cero, adquiere necesariamente una acele
ración en la misma dirección y sentido de la
fuerza resultante, elmódulo de la aceleración
es directamente proporcional a la fuerza re
sultante e inversamente proporcional a su
inercia (masa)".
Aceleración =
Fuerza Resultante
masa
Ejemplo: Un cuerpo en caída libre ace
lera en virtud a la fuerza resultante (peso)
que ejerce la tierra sobre el cuerpo, el
peso y la aceleración de la gravedad
tienen la misma dirección y sentido.
T ierra
i r
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*
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3
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*
3era. Principio de Acción y Reacción
"Cuando dos cuerpos A y B interactúan,
a la acción de A se opone una reacción de
B, en la misma dirección, con la misma inten
sidad, pero en sentido opuesto".
Acción + Reacción =0
Ejemplo: En la figura mostrada, el bloque
A se encuentra apoyado sobre una su
perficie horizontal B.
II*.. .....
(B)
OBSERVACIONES:
1) Para graficar las fuerzas de acción
y reacción, se realiza previamente
una separación imaginaria de los
cuerpos.
2) Si las superficies en contacto son
lisas, entonces las fuerzas de reac
ción son perpendiculares a las su
perficies.
3) Las fuerzas de acción y reacción
actúan en cuerpos diferentes.
□
B/A
SEPARACION^
I M A G I N A R I A
A/B
R A/B = R B/A

Diagrama del Cuerpo Libre (D.C.L.)
Consiste en aislar imaginariamente un
cuerpo o parte del sistema mecánico en
estudio, donde se grafican todas las fuer
zas externas que actúan sobre la parte
aislada. Las fuerzas internas, ai sistema
físico en estudio, no se grafican.
1) D.C.L. de la polea central.
i
T i: tensión en la cuerda "1"
T2: tensión en ia cuerda "2"
W: peso de la polea central.
2) D.C.L (bloque de peso Q)
1
3) D.C.L (bloque + cuerda *1" + polea
central).
S I S T E M A
F I S I C O
W + Q :ío so Total
Nota : La tensión en la cuerda (t) no se
dibuja porque pasa a ser una fuerza in
terna, al sistema físico elegido.
lera. CONDICION DE EQUILIBRIO
(Equilibrio de Traslación)
Un punto material o cuerpo rígido, per
manece en reposo relativo o se mueve con
velocidad constante en Línea recta, si la
fuerza resultante que actúa sobre él es igual
a cero. El reposo, es un estado particular del
movimiento.
* E Fx = 0
* ZFy= 0
El sistema de fuerzas, que actúan sobre
el cuerpo en equilibrio de traslación, deben
formar un polígono cerrado

( PROBLEMAS >
PROBLEMA N« 1.
La figura muestra un bloque de peso
W = 10N, en equilibrio. Si el peso de cada
polea es P ~2N, determinar la lectura en el
dinamómetro “D” instalado en el cable.
La lectura en el dinamómetro, indica la
tensión en la cuerda, que se transmite a
lo largo de la cuerda
D.C.L (Poiea móvil):
T T
O
SFy = 0 2T = P + W
Reemplazando:
T = 6 N
PROBLEMA N®2.
Los bloques A y B se encuentran en
equilibrio en la posición mostrada. Si se
retira lentamente el bloque A de peso 20N,
¿Qué distancia ascenderá el bloque B?
Constante elástica del resorte.
N
K = 100
m
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SOLUCION :
El peso del bloque A, produce una defor
mación "x" en el resorte.
Ley de Hooke:
F = K. X 20 N = 100 — . (X)
m
X = 0,2m
Luego:
Al retirar el bloque A, el bloque
B ascenderá 20 cm
PROBLEMA NB3
Se tiene un sistema de dos bloques
como muestra la figura. El peso del blo
que A, excede al peso del bloque B en 6N.
Determinar la fuerza de Reacción en
tre los bloques A y B.
SOLUCION:
1) D.C.L. (A + B)
A

II
' .
■- - ----------
W
A + W
B
ZFy = 0
4T = Wa + Wb
Wa + Wb
T = •
4
2) D.C.L (bloque a)
ZFy = 0
R + 2 T = WA - . ( 2)
R =
Del dato:
Wa - W b
R = 3N
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«*
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*
«
¡
=
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*
PROBLEMA Ne4
La figura muestra una esfera de radio
"r" y peso W = 6 N, apoyado en una super
ficie cilindrica de radio de curvatura "R“.
Hallar la reacción sobre la esfera en el
punto A, sabiendo que R = 3r.
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5
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m
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SOLUCION:
D.C.L. (esfera)
>j
Ra W
Ra = 23 N

La figura muestra dos esferas A y B de
pesos 6 N y 2 N respectivamente, en equi
librio. Determinar la reacción de la pared
lisa sobre la esfera B y la tensión en la
cuerda.
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*-
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s
i»
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a
te
*
"Si tres fuerzas coplanares actúan sobre
un cuerpo en equilibrio, estas necesariamen
te son concurrentes El módulo de cada
fuerza es directamente proporcional al seno
del ángulo opuesto".
SOLUCION
1) D.C.L. (A + B)
2) Formando el polígono cerrado:
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m
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#
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Fi f 2 P3 |
Sen a Sen |i Sen y 1
Polígono Cerrado- Fuerza Resultante
igual a cero.
La relación anterior se obtiene, aplicando
la Ley de Senos, al triángulo de fuerzas.

Si, a = P = y = 120°
Entonces:____
Fi = F2 = F3
SOLUCION:
Diagrama del cuerpo libre del Nudo "O".
Teorema de Lamy:
W Ti
Sen 90° Sen 150°
W 40 N
1
W = 80 N
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PROBLEMA Nfi 6
En el sistema mecánico mostrado, la
tensión en la cuerda (1) es de 40 N, deter
minar el peso del bloque.
Determinar la reacción que ejerce el
plano inclinado sobre la esfera de peso
20 N. No hay fricción.
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SOLUCION :
Diagrama de fuerzas sobre la esfera:
Teorema de Lamy:
R W
Sen (90 + 0) Sen (90 + 0)
R = W
R = 20 N
PROBLEMA Nc 8
Un bloque se encuentra sostenido co
mo muestra la figura. Calcular la medida
del ángulo " 6 ”, para el cual la tensión en
la cuerda “1" resulte ser mínima.

SOLUCION
D.C.L. (del nudo)
Teorema de Lamy:
T i W
Sen150° Sen (1 2 0 - 6)
T 2W
Ti =
e = 30°
*
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*
Sen (1 2 0 -0 )
T1t será mínima, cuando la función Seno
tome su máximo valor, es decir igual a la
unidad.
Sen (120o- 0) = 1
Entonces: 12O °-0 = 9O°
Luego:
PROBLEMA Ne9
Sí la reacción en "A" de la pared lisa
sobre la barra es de 5 newtons y la barra
uniforme y homogénea AB pesa 12 new
tons. Hallar la magnitud de la fuerza hori
zontal "F” que mantiene en equilibrio a la
barra.
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♦
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*
m
*
»
*
SOLUCION .
Diagrama de cuerpo líbre, de la barra.
Equilibrio de Traslación: Fuerza resul
tante igual a cero.
Teorema de Pitágoras:
F2 = W2 + N2
F2 = 144 + 25
F = 13 N

Una barra homogénea de longitud L =
2m se apoya en una pared vertical y una
superficie cilindrica de radio R = V7 m.
Hallar “ 8 No hay fricción.
L Serv
I
+
En el A ACO, P es punto medio, por con
siguiente:
OB = BC = L. Sen 0 .. (1)
Teorema de Pitágoras en el á ACO.
R2 = (L Cos O)2 + (2 L Sen fl)2
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Del teorema de Lamy, las tres fuerzas
concurren en el punto "P“.
o
L Sen
Sen 6 = 2
t í
0 = 30°
MOMENTO DE UNA FUERZA
r z a |
CONCEPTO.
La experiencia muestra que un cuerpo
rígido sometido a la acción de una fuerza,
además de trasladarse, puede girar alrede^
dor de un punto. El efecto rotatorio de una
fuerza se caracteriza por su momento.
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«
i*
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El momento de una fuerza, es una mag
nitud física vectorial y tiene los siguientes
elementos:
t) Módulo: La medida cuantitativa del
efecto rotatorio, es igual al producto de la
fuerza, por la distancia trazado desde el
centro de giro, perpendicularmente a la
línea de acción de la fuerza.
M6= F. d.
R2 = L2 Cos2 0 + L2. Sen2 0 +
+ 3 L2. Sen2 0
R2 = L2 + 3. L2. Sen2 0
Sen2 0 = - — y ~
3L
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*
2)
"Momento de la fuerza F respecto al
centro O"
Unidades: N.m
Dirección: Es perpendicular al plano de
rotación, determinado por la línea de ac
ción de la fuerza y el centro de giro.

3) Sentido: Se determina aplicando el mé
todo de la mano derecha, los dedos indi
can el sentido de giro y el pulgar el
sentido del vector momento. Tiene la
misma dirección y sentido, de la veloci
dad angular.
SIGNOS
El momento es positivo si el giro es anti
horario y negativo si el giro es horario.
,F
M
( + )
" 7
/
r~ ~~7
/ r r > / /
L ____ L ____
( - )
(ANTIHORARIO)
PROPIEDADES:
(HORARIO)
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♦
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1) El momento de una fuerza no varía
cuando el punto de aplicación de ésta se
traslada a lo largo de su línea de acción.
2) El momento de una fuerza con respecto
al centro "O" es igual a cero, solamente
cuando la fuerza es igual a cero o cuando
la línea de acción de la fuerza pasa por
el centro de giro "O" (el brazo es cero).
3) El módulo del momento de una fuerza se
expresa numéricamente por el doble del
área del triángulo OAB
= 2.área (OAB)
Si, Area (OAB) = ^ vAB).d
Luego:
donde:
= (AB).d
AB = F = magnitud
2da. CONDICION DE EQUILIBRIO
"Todo cuerpo rígido sometido a la acción
de un sistema de fuerzas no gira, si la suma-
toria de momentos con respecto a cualquier
punto es igual a cero'.
I M = 0
EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
Cuando las fuerzas están actuando so
bre un cuerpo rígido, es necesario considerar
el equilibrio en relación tanto a la traslación
como a la rotación. Por tanto se requieren
las condiciones siguientes:
1 ) P rim era cond ició n (E q u ilib rio de
traslación): La suma de todas las fuerzas
debe ser cero.
I F x= 0 y
2) Segunda condición (Equilibrio Ro
tacional): La suma de momentos con res
pecto a cualquier punto debe ser cero.
PROBLEMA ^ 01
La barra quebrada en forma de "L", es
homogénea de peso "3W“. Determinar
la magnitud de la fuerza "F“ , para man
tener el segmento BC en posición verti
cal. BC = 2. AB .
SOLUCION :
El peso de los lados AB y BC, son propor
cionales a su longitud respectiva.
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2L
C t
L

Diagrama de fuerza sobre la barra. *
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Equilibrio de Rotación
I M a = 0
m f m W . ..2W
MA = M A + M A
F.L = W . | + 2W . L
F = f W
SOLUCION:
Diagrama de Fuerzas, sobre la barra.
PROBLEMA Ne02
Si la barra homogénea que muestra la
figura tiene un peso de 80N, hallar la
tensión en la cuerda. Los ángulos a y p son
complementarios.
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f
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£ M a = 0
mt mw
m a = m a
T. (2 L Sen P) = W. (L Cos a)
T = 40 N
CONCEPTOS ADICIONALES
1) SISTEMA FISICO:
Es el cuerpo o conjunto de partículas
consideradas en estudio, elegido en
forma arbitraria.
I./*-
(1)

La figura (1) muestra una esfera de peso
w, y un bloque de peso w2 unidos me
diante una cuerda de peso despreciable.
Elegimos nuestro sistema físico:
(esfera + cuerda + bloque).
2) FUERZA EXTERNA AL SISTEMA :
Es aquella fuerza que actúa sobre el
sistema con cuerpos o partículas exter
nas al sistema.
En la figura (2) se indica las fuerzas ex
ternas al sistema físico elegido, ellos
son: Los pesos w1 y w2, la tensión en la
cuerda (T1) que une la esfera con la viga.
3) FUERZA INTERNA AL SISTEMA :
Es aquella fuerza debido a la interacción
de cuerpos o partículas considerados
dentro del sistema físico. La sumatoria
de todas las fuerzas internas siempre es
igual a CERO.
La figura (3) muestra la fuerza interna (T)
al sistema físíco elegido.
4) SISTEMA AISLADO :
Es aquel sistema físico cuya resultante,
de fuerzas externas, es igual a CERO.
Ejemplo: Consideramos nuestro sis
tema físico al planeta tierra
más su satélite LA LUNA co
mo muestra la figura:
1) La fuerza "F , debido a la intersec
ción entre la tierra y la luna, es la
tuerza interna al sistema físico en
eStud¡0- LUNA
T r
Tierra
bol
2)
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£
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o
s
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*
Sistema Físico *
La fuerza “F2", debido a la interac
ción entre la Tierra y el Sol es una
fuerza externa al sistema físico en
estudio.
La figura muestra una estructura en for
ma de “T" de peso despreciable En los
extremos de la estructura se encuentran sol
dados dos esferas de pesos 14N y 17N res
pectivamente. Determinar el valor del án
gulo ' 0 " que define la posición de equilibrio.
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*
Realizamos el diagrama del cuerpo libre,
del sistema físíco (estructura + esferas).
Z M0 = 0 M 14N = M 17N
O O
14.a(Cos 0 - Sen 0)=17. (2a. Sen 0)
7 Cos 0 - 7 Sen 0 = 17 Sen 0
7 Cos 0 = 24 Sen 0
7
Tg 0 =
24
0 = 16°

• A ► .....^
4 ROZAM IENTO
CONCEPTO
La figura (1) muestra un bloque de peso
“W" sobre una superficie plana horizontal y
rugoso, al cual se le apiica una fuerza externa
F variable desde cero hasta un valor máximo
cuando el bloque se encuentra en movimien
to inminente (pronto a moverse).
Cuando realizamos el diagrama del
cuerpo libre del bloque, la fuerza de reacción
"R" ya no es perpendicular a la superficie en
contacto, como ocurría con las superficies
lisas (ideales), sino que esta fuerza es obli
cua respecto al plano en contacto.
Al ángulo “ 0 “ de desviación que experi
menta la reacción “R" respecto a la normal o
perpendicular al plano, se le llama "ángulo de
rozamiento".
A medida que la fuerza externa aumenta
su valor, el ángulo 1
1 0 “ también incrementa
su valor, siendo máximo cuando el bloque
está pronto a moverse.
Respecto a la figura (2), la fuerza de
reacción "R" que ofrece la superficie sobre el
bloque, se puede descomponer en función
de dos fuerzas mutuamente perpendicula
res, una componente perpendicular a la su
perficie en contacto llamada "Reacción Nor
mal" denotado con la letra ”N,r y la otra com
ponente tangencial a la superficie en con
tacto llamada “fuerza de rozamiento".
Por consiguiente la "fuerza de rozamien
to" es un componente de la reacción “R",
tangente a la superficie en contacto.
La fuerza de rozamiento por deslizamien
to se debe a la interacción entre las molécu
las de los dos cuerpos en contacto.
COEFICIENTE DE ROZAMIENTO^)
Es aquella magnitud adimensional que -
se define como la tangente trigonométrica
del ángulo máximo de rozamiento
De la figura (2):
H = Tg0 = ~ ,...(1)
Leyes de Rozamiento p or Deslizamiento
lera. Ley: o
"La fuerza de rozamiento se opone
al movimiento o posible movimiento rela
tivo del cuerpo respecto a la superficie en
contacto".
2da. Ley:
"La fuerza de rozamiento es direc
tamente proporcional a la reacción nor
mal’1
. De la ecuación (1):
3ra. L ey:
"El módulo de la fuerza de rozamiento
es independíente del tamaño de las su
perficies en contacto”.
CLASES DE ROZAMIENTO
Rozamiento Estático (f s)
Es aquella fuerza de rozamiento que se
opone al posible movimiento relativo del
cuerpo respecto a la superficie en con
tacto. Su módulo es variable, desde cero
hasta un valor máximo, cuando el cuerpo

se encuentra en movimiento inminente
(pronto a moverse).
0 < f < fs .... (1 )
Cuando el cuerpo está pronto a moverse,
se cumple que:
f s = H s ■N I .... (2)
|j$ = coeficiente de rozamiento
estático.
Tangente del ángulo " 6 ” máximo.
fs = fuerza de rozamiento estático max.
Rozamiento Cinético (f k)
Es aquella fuerza de rozamiento que se
opone al movimiento relativo del cuerpo
respecto a la superficie en contacto
Para movimientos lentos y uniformes su
módulo se considera constante.
fk = Uk- N .... (3)
|ik : coeficiente de rozamiento cinético
OBSERVACIONES :
I) Experimentalmente se demuestra
que la fuerza de rozamiento cinético
es menor que la fuerza de rozamiento
estático máximo, por consiguiente el
coeficiente de rozamiento cinético es
menor que el coeficiente de roza
miento estático.
Si, f k < f s
Entonces: n k < H s —■(4)
II) La fuerza de rozamiento por desli
zamiento puede disminuir debido, a la
humedad, calor, aceites, grasas y en
general cualquier lubricante.
GRAFICA DE LA FUERZA DE ROZA
MIENTO VERSUS LA FUERZA EXTERNA:
La figura muestra un bloque de peso
"W “, sobre un plano horizontal rugoso, el
cual es sometido a la acción de una Fuerza
Externa variable desde cero hasta un valor
máximo, cuando el bloque se encuentra en
movimiento.
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w
—
I F (ext.)
U J .
i
N
I e
R
~

Donde: 1
F (ext.) = 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... n, (N)
f = fuerza de rozamiento, variable
6 = ángulo de rozamiento, variable.
R = reacción de la superficie.
De la condición de equilibrio, la fuerza de
rozamiento estático, (f) tiene el mismo valor
de la fuerza externa hasta cuando el bloque
se encuentra todavía en reposo relativo
La fuerza de rozamiento estático es
máximo cuando el cuerpo está pronto a mo
verse.
Cuando el cuerpo logra moverse por ac
ción de la fuerza externa, la fuerza de roza
miento disminuye y se hace constante el
módulo, como indica la figura.
f fuerza de rozamiento
F(ext.}
TEOREMA DE VARIGNON
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P Varignon (1 654 - 1 722) es un desta
cado científico francés, matemático y me
cánico. En su libro "Proyecto de una
Mecánica Nueva” (1687) explicó los funda
mentos de la Estática.

Sistema Real
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Sistema Equivalente
"El momento producido por la fuerza re
sultante de un sistema de fuerzas res
pecto de un punto dado, es igual a la
suma de los momentos de las fuerzas
con respecto al mismo punto”.
1 ) Cálculo del momento resultante
respecto del punto “O”, en el sistema
real.
Y , Mo = Mo' + Mo?+ Mo3 +.... Mf " .... (1)
En la sumatoria de momentos se ten
drá en cuenta los signos:
2) Cálculo del momento producido por la
fuerza resultante respecto del punto
"0", en el sistema equivalente.
La fuerza resultante será:
F r = Fi + F2 + F3 +.... Fn .... (2)
3) Luego, el momento producido por la
luerza resultante.
MÜR= FR .d ....(3)
donde, "d” es el brazo o distancia de
la fuerza resultante.
4) De la condición (hipótesis) las ecua
ciones (1) y (3) son equivalentes.
Mo1 + M02+ Mo-
*+ + M0° —
MoR - (4)
5) De otro modo:
Mo = Fr . d ... (5)
6) El brazo de la fuerza resultante será
X Mo
d = -
Fr
d =
Sumatoria de M om entos
Fuerza resultante
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PROBLEMA Ns 1
La figura muestra una barra ingrávida
AB, de longitud 2,5 m. ¿A qué distancia
del punto “A", se encuentra aplicando la
fuerza resultante?
80N
2.5m
¿ÜN
SOLUCION :
Cálculo del momento resultante, respec
to del punto "A".
M a = - 50 N. m
( - ) : giro horario
Cálculo de la fuerza resultante
F r =100 N
Teorema de Varignon:

F
R
M * = M a
- Fr , d = M a
-(100N) x = —50 N.m
, X
f- — -r-
A B
100N
x = 0,5 m
PROBLEMA NB2
¿A qué distancia de “B" se debe colo
car ei apoyo fijo para que la barra de peso
despreciable y 3m de longitud, permanez
ca en equilibrio. Poleas ingrávidas.
« W t= 4 N y W2 =10N
SOLUCION :
1 ) D C.L. de la barra AB.
(3-X)
D
B 6N
2N
•V ,
8N
Equilibrio de Rotación.
£ M o = 0 lA p7 -
2N en
M o = M o
2N (3 - x ) = 8N(x)
x = 0,6
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2) Aplicando el Teorema de Varignon:
Cálculo del momento resultante, sin
considerar a la reacción en el apoyo.
M B= 6 N.m .... (1)
Cálculo de la fuerza resultante en el
eje y .
Fy = 10 N
La fuerza resultante en el eje V , no
produce momento respecto de "B“.
M e = £ Mb
Fy.(x) = Z M b
Reemplazando
10N (x) = 6 N*m
x = 0,6 m
I) Para calcular V :
F
* I
II) Para calcular "d"
CONCEPTO.
Se denomina así a dos fuerzas paralelas
de magnitudes iguales pero sentidos opues
tos que actúan sobre un mismo cuerpo.
SISTEMA (1)
[

SISTEMA (2)
El momento producido por la cupla o par
de fuerzas.
M = cupla = F d ....(1)
La fuerza resultante de una cupla es Iguai
a cero, esto quiere decir que no produce
traslación del cuerpo rígido, sólo produce
rotación o giro.
I F r = 0
£ M * 0
El momento producido por una cupla es
el mismo respecto a cualquier punto, como
se puede comprobar en el sistema (2)
Calculamos el momento producido por la
cupla respecto de un punto arbitrario "O"
M = L Mo = F.x + F.y = F (x+y) ....(2)
pero de la figura: x + y = d ....... (3)
M = F. d .... (4)
La cupla produce un momento en sentido
antihorario (+) en este caso.
PROBLEMA Ns 1
Reemplazar el PAR de fuerzas mos
trado en la figura, por otro equivalente, de
tal manera que las fuerzas que la generan
también estén aplicadas en A y B, pero
sean de módulo mínimo.
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SOLUCION:
El momento producido por el nuevo “par"
es 45 N.m, es decir *
/

sro.
En (1):
r. d = 45
F. d:
Pero, d = (5) Sen G
9
Sen 6
.... (2)
Analizando la Ec. (2), F será (mínimo),
cuando la función Sen 6 es máximo:
Sen G= 1 6 = 90®
Reemplazando en (2):
F (mínimo) —9 N
PROBLEMA NB2
Una palanca está doblada de tal modo
que sus íados AB, BC y CO son iguales y
forman entre sí ángulos rectos (Ver fig.).
El eje de la palanca AB está en el punto
“B“. Una fuerza P esta aplicada en el

punto “A" perpendicularmente al brazo de
la palanca AB. Determinar el valor
mínimo de la fuerza que es necesario apli
car en el punto "D", para que la palanca
se encuentre en equilibrio. El peso de la
palanca es despreciable.
cla
SOLUCION :
Suma de momentos, respecto de B, igual
a cero.
i- i-
Mb = Mb
F.d = P.a ....(1)
Pero: d = a 2 . Sen G
p 2
En (1) F = —
——
— - ....(2)
2 .(Sen 0)
i
l
B /
Analizando la Ec. (2), *F” será mínimo,
cuando, “Sen 0” sea máximo, es decir la
unidad
En (2):
V2"
F (mín) - P g
$CENTRO DE GRAVEDAD
CONCEPTO.
Es aquel punto geométrico ubicado den
tro o fuera de un cuerpo, por el cual pasa la
línea de acción de la fuerza resultante, de las
fuerzas de gravedad que actúan sobre cada
una de las partículas que forman el cuerpo.

3)
PESO (W) es una magnitud vectorial.
Se define como lafuerza resultante que
ejerce la tierra sobre los cuerpos que lo
rodean, se representa por un vector
que indica en todo instante al centro de
la tierra.
Peso = m.g (1)
2)
4)
El centro de gravedad (G) puede ser
considerado como el punto donde está
concentrado el peso de un cuerpo, y
sobre el cual se debe aplicar una fuerza
numéricamente igual al peso para es
tablecer el equilibrio.
Respecto de la figuras (1), (2) y (3),
cuando sesostiene un cuerpodepuntos
diferentes, se puede notar que el centro
de gravedad se localiza debajo del
punto de suspensión. Si se prolongan
las líneas de suspensión vemos que
éstas se cortan en el punto donde se
encuentra el centro de gravedad (G) del
cuerpo.
Para un cuerpo constituido por "n”
componentes cuyos centros de gra
vedad están determinados, el centro
de gravedad del sistema se deter
mina aplicando el Teorem a de
Varignon, respecto de un sistema de
coordenadas.
W = W i + W2 + W3
5) Teorema de Varignon, respecto de!
eje "Y".
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«
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$
«
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$
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*
W .X =Wt X1+W2. X2 +W3 . X3
_ Wi.X1 + W2-X2 + W3-X3
W i + W2 + W3
x : abscisa del centro de gravedad
Teorema de Varignon, respecto del
eje “ x "
W.g = W 1.Y1 + W2.Y2 + W3.Y3
W 1-Y1 +W &Y2 + W 3 Y3
W1 +W 2 + W3 }
Y : ordenada del centro de
gravedad *
6) Para cuerpos linealmente homogé
neos, como muestra la figura (4), el
peso se puede escribir en función de
su longitud. El peso es directamente
proporcional a su longitud.
W i = K. L1 ; W2 = K.L2 ; W3 = K.L3
Reemplazando en las ecuaciones (2)
y (3)
L1 .X 1 + L 2 .X 2 + L3 .X 3
x = --------- :------:------:------------ ... (4)
Y =
L| H 1-2 + L3
Li .Y i+ I- 2 . Y2 + L3.Y3
L| + L2 + L3
7) Para cuerpos superficialmente homo
géneos (densidad constante e igual
espesor), el peso es directamente
proporcional al área.
W1 =K. Ai, W2 = K. A2 , W3 = K. A3
y O)
_ Al .X i+ A a -X g f A3.X3
A1 + A 2 + A3
Y_ A i ■Yi+ A2 ■V A3 ■Y3
A i + A2 + A3
8) Para un sistema de cuerpos de igual
específico.
Peso =Peso específico x volumen

W, = K.V1 , W2 = K V2 , W3 = K V3
y (2).
v _ Vi . Xi s
- Vg . Xgj- V3 X3 /m
V
!+v2+v3 "A
b}
w Vi .Y 1+ V 2 . Y2+ V 3 . y3
Y =-------- ------ —
-----:----------- ...(9)
Vi + V2 + V3
£L
CENTRO DE MASA
CONCEPTO.
Es aquel punto geométrico donde se con
sidera concentrado la masa de un sistema de
partículas. Aplicando el Teorem a de
Varignon se puede hallar la posición del cen
tro de masa respecto de un sistema de coor
denadas.
¡i 'I „
t
: I I 1
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#
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Ü
S
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Sistema real
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$
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*
1) La posición del centro de masas
(C.M) está definido por las coorde
nadas (x,y)
2) De las ecuaciones (2) y (3), además:
Peso = m.g
X = 1711 ~Xl r m g -X 2 '
~m 3 ■
*3 ,1qj
mi + m2 + m3
y = mi . Yi+ m2 . Y2+ m3 ■Y3
mi + m2 + ms
3) Las fórmulas (10) y (11) se puede
generalizar para un sistema de “n"
partículas.
* 4) En general:
Zm¡
*
*
*
Ü
s
*
*
*
*
*
*
*
*
3Ü
*
*
*
*

NOMBRE FIGURA X 7
Triángulo h r
g
^ c : 1 —
^ n. y
h
3
Cuarto de Circun
ferencia
1 « > •
2R
K
2R
n
Semi
circunferencia
0 2R
k
Cuarto de
Círculo
B ‘ « - Y . / - * ■
* ; M iT ( ■ ■ i
L j " 8
?
4 R
3 rc
4 R
3 ’ 7t
Semi
círculo
0 4 R
3 ' 7
T
Arco de
Circunferencia
r/ V b
Á G ] X b G I
j * Ñ r — '
! x L x X '
R . Sen 0
e
0
Sector
Circular
2R.Sen 0
30
0

c
- ______ _— __
PROBLEMRS RESUELTOS
PROBLEMA N® 1
En los vértices de un cuadrado de lado
2r. se han colocado cuatro partículas pun-
tu i es. Determinar el centro de masa (CM),
respecto del sistema de coordenadas.
Sea:
mi = 1 kg
ma = 3 kg
nri2 = 2 kg
m4 = 4 kg
Consideremos laposición : r =(X ; Y)
ri = (0 ;2) r2 = (2 ;2)
r3 = (2;0) r4 = (0 ;0)
Xi.m i +Xa.m2 + X31T13 + X4rru
X = -
X =
rn1 + rr¡2 + m3 + m4
(0)( 1) + (2)(2) + (2)(3)+ (0)t4)
1 + 2 + 3 + 4
.... (1)
X = 1,0m
Y=
Y =
Yi . m i+ Y2 m?+ Y3 . rri3+ Y4 . m4
mi + m2 + m3 + m4
2(1) + 2(2) + (0)(3) + (0)(4)
1 + 2 + 3 + 4
.... (2)
Y = 0,6 m
Luego: C,M = (1,0 ; 0,6)
*
*
«
H
*
*
PROBLEMA Ne 2
Hallar el centro de gravedad del alam
bre mostrado en la figura, con respecto al
sistema de coordenadas que se indica.
Considere conocido *R".
«
■
*
*
*
>
S
í
♦
*
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*
0
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*
#
1
Dividimos el alambre en tres longitudes
de semicircunferencias:
Li = n R L2 = L3 = n.
G1 = (R ; —— )
7t
- fR . R'l , _ (3 _ . R1
• ° 3’ 2 R ,_ 7 j
- X1 L1 + X 2 .L 2 + X3 .L 3
X = —
L1 + L2 + L3
R(nR) +
X = -
(B lf—
2 2
V /
3RYnR^
2 2
R + itR
... (1)
Y =
'tiR')
J í
^ -r YjiR
2 n R
y = - r-
71
-i

El centro de gravedad estará ubicado en $
PROBLEMA Nfi 3
Hallar el centro de gravedad, de la
figura sombreada , siendo R = 36 cm y
r = 18 cm.
Y =~
n (R2—r2)
Y = 30 cm
El centro de gravedad será:
G = (36 ; 30) cm.
*
*
i
Por simetría de la figura, la absisa del
centro de gravedad estará en:
X = R = 36 cm.
Consideremos como área total el circulo
de radio (R) y el área por restar el círculo
de radio (r)
Ai = ji. R2 ; A2 = n. r2
Gi = (R ;R) ; G2 (R ; R+ r)
Yt . Ai - Y2 . A2
A 1 - A 2
Reemplazando:
R (71. R2) - (R + r) (7t r2)
PROBLEMA Ns4
En un cilindro de radio “R" y altura “H"
se realiza una perforación cónica. El
cono tiene su base en la parte superior del
cilindro y su vértice cae en el centro
geométrico de la base del cilindro. Deter
minar el centro de gravedad del cuerpo
que queda.
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&
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$
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*
SOLUCION .
Consideremos el cilindro como el cuerpo
total (1) y el cono como el volumen (2)
que tenemos que restar.
Vi= 71. R2 , H ; V2= ~ 71 R2 . H
O
Gi= (0 ; H/2) ; G2= (0; 3H/4)
Por simetría de la figura, el centro de
gravedad estará en el eje del cilindro.
Y =
Yi .V i- Y a .V z
V1 - V 2
Y—
(H/2)(7i R2 H) - (3H/4)(7t R2 H/3)
2 k R2 H /3
y=i H
El centro de gravedad se encuentra a una
altura 3 H/8, respecto de la base, del
cuerpo resultante.
PROBLEMA NB5
La figura (1) muestra una lámina ho
mogénea (densidad constante) ABC de
forma triangular. Sabiendo que el lado
AB permanece en posición horizontal (m.
AB = 20 cm), hallar el valor de " m.AP ”

P : es el punto donde está atado la
cuerda vertical.
SOLUCION :
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, luego: x = 2cm _(1)
El centro de gravedad de una lámina
homogénea de forma triangular se en
cuentra en el baricentro del triángulo,
esto quiere decir en la intersección de las
medianas.
Del diagrama del cuerpo libre, la tensión
(T) y el peso (W), son vectores opuestos,
tienen igual magnitud y dirección, pero
sentidos opuestos. Por consiguiente la
línea de acción de la tensión pasa por el
"centro de gravedad", en la posición de
equilibrio.
Por semejanza de triángulos:
AMPG ~ AMQC
x + 4 3a
M es el punto medio del segmento AB
luego: m.AM = 10 cm
De la figura: Z = m.AM + x .... (2)
Reemplazando datos en (2):
Z = 10 cm + 2 cm
m. AP = 12 cm
PROBLEMA Ne6
La figura muestra un cono recto de
altura 40 cm y radio 20 cm, suspendido
desde el punto P.
Si P es punto medio del radio, determi
nar el ángulo " tí “ que forme el eje del
cilindro con la vertical.
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*
En la posición de equilibrio, el peso (W) y
la Tensión (T), son colineales, por con
siguiente los puntos P y G, se encuentran
en la misma vertical.
Del dato:
OP = 10 cm
OG = ^ (h )= 10 cm

6 = 45°
PROBLEMA Nfi 7
Una semiesfera de 16 newtons de peso
se encuentra apoyada sobre una pared
vertical lisa. Determinar la fuerza de reac
ción normal de la pared sobre la semies
fera.
G : centro de gravedad de la semies
fera
O : centro geométrico de la semiesfera
R : radio de curvatura
° g = | r
SOLUCION :
Sobre la semiesfera actúan tres fuerzas
coplanares y concurrentes, que son, el
peso (W), la reacción normal (N) y la
reacción (F) en la rótula.
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*
De la 2da. condición de equilibrio, res
pecto del punto A.
I Ma = 0
N W
M a - M a = 0
N. R - W. OG = 0 ....(2)
del dato: OG =-r. R
O
.... (3)
Reemplazando datos en (2)
N .R - ( 1 6 ) .|.R = 0
8
Luego:
N = 6 newtons
PROBLEMA Ne8
La figura (1) muestra tres ladrillos
idénticos de longitud mayor “L", colo
cados de manera peculiar, determinar el
máximo valor de "x“, de tal modo que el
conjunto permanezca en equilibrio.
Fig.(i)
!
í
1
1 3 III
1 2 ' I I
re-fe
l | | , l i l i ||
*4t

SOLUCION: •
D.C.L. del sistema de dos ladrillos.
I—
W
I - J
L
_ "
u
— -
N
La experiencia que el 1er ladrillo (el que
está en contacto con el plano horizontal)
no puede girar, por consiguiente cuando
se produce el desequilibrio el 2do ladrillo
gira con respecto al extremo derecho del
1er ladrillo.
Cuando analizamos al sistema (ladrillo
#2 y #3), la reacción normal "N" se con
centra en el extremo del 1er ladrillo.
IFy = 0 , entonces: N = 2 W ___ (1)
Esto quiere decir que la “fuerza resul
tante" de todos los pesos se concentra en
el extremo derecho del 1er ladrillo.
La figura muestra el D.C.L. del sistema
de dos cuerpos (ladrillos # 2 +# 3).
i )
l r¿
(L-X)
4 -
*
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S
K
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*
O
s
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S
lí
*
■4
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*
$
*
*
%
*
*
*
*
De la 2da condición de equilibrio:
ZM0 = 0
M n - M W- M W= 0
N.(L-x)-W
.... (2)
0 .... (3)
Reemplazando (1) en (3)
2W (L-x) - W Hr
en (3)
(k)-w(h )-«
2 L -2 X —| —| - x = 0
2L - 3x = 0, entonces :
- . (4)
L
J l ü
La figura (2) muestra "n" ladrillos idénti
cos de longitud mayor "L" colocados de
manera peculiar, determinar el máximo
valor de "x“, de tal modo que el conjunto
permanezca en equilibrio.
f- X
X X
T
F íq .(2)
1
•
J
• t ,
*
i K!
- r r - — .
. , n . ¡ l l i
fi ■ :¡fl
i ;
i ¡
i
i ... r .
i !
i r 3 ■ iu
as . 1 l
-
i
l
!r
lili i .....................................
Análogamente al problema anterior se
demuestra que, x es igual a:
L
x = —
n
Donde: n = 2, 3, 4, 5, 6 ..
PROBLEMA N«9
Sobre un plano que forma con la hori
zontal un ángulo de 37®, se apoya un cil
indro recto de radio 30 cm. ¿Qué altura
máxima (H) podrá alcanzar el cilindro sin
perder el equilibrio? Existe suficiente
rozamiento para no resbalar.

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