La epicicloide es una curva geométrica descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda sobre otra circunferencia fija sin deslizamiento. Los griegos utilizaron este modelo para describir los movimientos planetarios, y más tarde se usó para diseñar engranajes con menor fricción. Las ecuaciones paramétricas que definen la posición del punto en función del ángulo de giro permiten clasificar las epicicloides en comunes, alargadas o acortadas.

1. La epicicloide

2. Los sabios de la antigüedad griega utilizaron sus conocimientos sobre circunferencias y esferas para crear un modelo matemático que describiera los movimientos de las estrellas y los planetas.

3. La escuela pitagórica comenzó el estudio de la geometría. Uno de los principios de las matemáticas y posiblemente de la mente humana consiste en construir estructuras cada vez más complejas a partir de estructuras simples.

4. Los griegos concibieron así curvas más complicadas a partir de la recta y de la circunferencia, tales como la cicloide, la hipocicloide o la epicicloide.

5. Epicicloide Una epicicloide es el lugar geométrico descrito por un punto fijo cualquiera de una circunferencia que rueda exteriormente, sin resbalar, sobre una circunferencia fija.

6. Elementos de la epicicloide Arco Pico Directriz Generatriz

7. La curva epicicloidal fue descubierta por Alberto Durero y descrita por el danés Ole Roemer 1674 cuando presentó un tratado sobre los dientes de los engranajes para disminuir en lo posible la fricción y diferentes estudios sobre la velocidad angular.

8. Elementos de un engranaje

9. La curva se produce en un punto de una rueda que gira sobre una superficie curva fija sin deslizamiento. En relojería son las caras de los dientes de los engranajes los que producen este tipo de curva.

10. Ecuación paramétrica de la epicicloide

11. Arco AB = Arco PB aѲ=bΦ Porción de perímetro de una circunferencia

12. Por lo tanto

13. Tenemos también Propiedad distributiva

14. Por lo tanto y Función impar Función par cos(x±y)=cos(x)cos(y)±sen(x)sen(y) sen(x±y)=sen(x)cos(y)±cos(x)sen(y)

15. Para las coordenadas (x,y) del punto P, tenemos:

16. de manera que las ecuaciones paramétricas de la epicicloide son:

18. Si K es un numero entero , la epicicloide será, evidentemente una curva cerrada que tiene exactamente k picos y k arcos; se dice entonces que la curva es una epicicloide de k picos. Alternativa 1 K=1 cardiode K=2nefroide

19. Si k no es un numero entero pero es racional , el punto trazador P dará la vuelta en torno de la circunferencia fija dos o mas veces antes de regresar al punto de partida, en este caso , los arcos de la curva de diferentes circuitos se cortaran. Alternativa 2

20. Si k es irracional , el punto trazador no regresa exactamente al punto de partida. Por lo tanto la curva es transcendente y cubre completamente la región entre los radios a y b. Alternativa 3

21. Para que la curva regrese al punto de partida deben existir múltiplos comunes de los radios Cuando "k" es racional existen múltiplos comunes de los radios, pero si es irracional no es una fracción y, entonces no tiene sentido hablar de múltiplos comunes.

22. Sea d la distancia del punto que describe la curva, medida a partir del borde de la circunferencia generatriz. Atendiendo a los valores de “d” pueden darse los siguientes casos: Epicicloide común, alargada y acortada

23. Epicicloide acortada d>0 d=0 d<0 Epicicloide alargada Epicicloide común

24. Fin Gracias Prof. Marcela Carranza

25. Autor : Nelson Calderón