Este documento describe el diseño de un controlador para un sistema de péndulo invertido. Primero se formula el modelo matemático del sistema usando la formulación lagrangiana. Luego, se linealizan las ecuaciones de movimiento y se obtienen las ecuaciones del estado linealizado. Finalmente, se diseña un controlador utilizando el método de Ackerman para mantener la varilla en posición vertical controlando la fuerza aplicada al carro.

1. PENDULO INVERTIDO
JOSE ALFREDO COLLAZOS ROZO
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
INGENIERÍA FÍSICA
PEREIRA
2017

2. Introducción Teórica El sistema de péndulo invertido
Es un problema clásico en la ingeniería de control, el cual consiste en una varilla
con una masa en un extremo y en el otro un eje que puede pivotar
bidimensionalmente, todo esto va montado sobre un carro que puede moverse
longitudinalmente, no es infinito aunque en nuestro sistema así lo consideraremos.
Este sistema es inestable, ya que la varilla puede caerse en cualquier momento y
hacia cualquier dirección dentro del plano X-Y, para evitar esto se introduce un
controlador.
La misión de este controlador es la de mantener la varilla en posición vertical, para
ello se tendrá control sobre la fuerza aplicada al carro, sabiendo en cualquier
momento el ángulo del péndulo.
Si se considerase un sistema real, para poder mover el carro, este se conecta
mediante una cinta de transmisión que está conectada al motor, este motor va a
proporcionar un par proporcional a la tensión de control aplicada, dependiendo de
la polaridad de esta tensión se consigue el motor gire en uno u otro sentido,
haciendo que la cinta se mueva en ambas direcciones que es lo que se pretende
controlar en el sistema.
Para problema presentado, primeramente construiremos el modelo de péndulo
invertido de la siguiente forma:
Formulación Lagrangiana:
𝑟⃗ = ( 𝑦 + 𝑙 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑙 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑟⃗ = (𝑦 + 𝑙 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃, −𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃)̇
𝑟̇ ∗ 𝑟̇ = (𝑦̇ + 𝑙 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ 𝜃)̇ 2 + (𝑙 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃)2

3. 𝑇 =
1
2
𝑀𝑦̇ 2 +
1
2
𝑚(𝑦̇2 + 2𝑙𝑦̇ 𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + (𝑙𝜃)̇ 2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃
Tenemos que el lagrangiano:
𝐿 = (𝑥, 𝑥̇, 𝜃, 𝜃̇, 𝑡)
1
2
𝑀𝑦̇2 +
1
2
𝑚(𝑦̇2 + 2𝑙𝑦̇ 𝜃̇ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + (𝑙𝜃)̇ 2 − 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃
Por el principio de mínima acción:
𝑑𝐿
𝑑𝑦̇
= 0
𝑑𝐿
𝑑𝑦̇
= 𝑀𝑦̈ + 𝑚𝑦̈ + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝑙̂̇
𝑑𝑦̇
= 𝑀𝑦̈ + 𝑚𝑦̈ + 𝑚𝑙(𝜃̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜃̇2
𝑠𝑖𝑛𝜃)
𝑑𝑙̂̇
𝑑𝑦̇
−
𝑑𝐿
𝑑𝑦
= ( 𝑀 + 𝑚) + 𝑚𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑚𝑙𝑠𝑖𝑛2
𝜃)
𝑑𝐿
𝑑𝜃
= 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑑𝐿
𝑑𝜃̇
= 𝑚(𝑙𝑦̇ 𝑐 𝑜𝑠𝜃 + 𝑙𝜃̇)
𝑑𝑙̂̇
𝑑𝜃̇
= 𝑚𝑙( 𝑦̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑦̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃̇) + 𝑙2
𝜃̈
𝑑𝑙̂̇
𝑑𝜃̇
−
𝑑𝐿
𝑑𝜃
= 𝑚𝑙( 𝑦̈ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃̇ + 𝑙𝜃̈) − 𝑚𝑙( 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑦̇ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃̇) = 𝑢
Ecuaciones Obtenidas:
𝑚𝑙𝑦̈ 𝑐 𝑜𝑠𝜃 + 𝑙2 𝜃̈ − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑢
𝑚𝑦̈ 𝑐 𝑜𝑠𝜃 + 𝑙𝜃 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑢

4. Linealizando las ecuaciones alrededor de 𝜃 = 0 tenemos:
𝑚𝑙𝜃 = ( 𝑀 + 𝑚) 𝑔𝜃 − 𝑢̈
𝑚𝑥̈ = 𝑢 − 𝑚𝑔𝜃
Se tiene:
𝜃̈ =
80
3
𝜃 −
5
3
𝑢
𝑥̈ =
2
3
𝑢 −
2
3
𝜃
Teniendo en cuenta:
𝑥1 = 𝜃
𝑥2 = 𝜃̇
𝑥3 = 𝑦
𝑥4 = 𝑦̇
𝑥̇ = 𝐴𝑥+ 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥
𝑦1 = [0 0 1 0 ] [
x1
x2
x3
x4
]
Valores propios en sistema en lazo cerrado:
Para un sobrepaso de 𝑀 𝑝 = 5%
Tiempo de establecimiento de 𝑇𝑠 = 1𝑠
Obtenida a partir de 𝑠2 + 2𝜑𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑛
2
Raíces de la ecuación anterior:
−4.000 − 4.194𝑖
−4.000 + 4.194𝑖

5. Mediante Matlab se obtuvieron los polos dominantes:
−0.8000 − 1.091𝑖
−0.8000 + 1.091𝑖
−2.7066 + 0.0000𝑖
−2.7066 + 0.0000𝑖
Mediante el método de Ackerman, obtenemos el vector de ganancias
𝐾 = [−27.012 − 4.727 − 0.805 − 1.298]
La ganancia obtenida es de −0.8050
Seguidamente construimos un diagrama de bloques para el sistema con sus variables de
estado.
Obtenemos la fuerza U (t) ejercida sobre el carro para controlar la posición del péndulo.
Condiciones de diseño:
𝑀 𝑝 = 5%
𝑡 𝑠 = 3𝑠

6. Comportamiento de cada una de las variables de estado
En este caso cumple las especificaciones de control.
Código simulación del diseño de control