Pitagoras

HISTORIA Y EPISTEMOLOGÍA
FACULTAD DE EDUCACIÓN

PITÁGORAS

DE LA MATEMÁTICA
PRESENTADO POR:

 TUEROS CAJACHAGUA, Soledad

Huancayo, 2012

PLATON
Fue discípulo de Sócrates Las
distintas variables y principios
que modelan y forma nuestra
imagen del mundo de una
manera determinada.

600 a.c. 500 a.c. 400 a.c.

...
PITAGORA DE SAMOS
Es idealista, Su talento en la
aritmética y geometría marcaban
su filosofía. El universo es un
cuerpo esférico, vivo e ígneo
que aspira el espacio infinito,
vacío o aire. El alma es inmortal
y ambulante

PENSAMIENTO MATEMÁTICO GRIEGO: PITÁGORAS

INTRODUCCIÓN
Los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene
noticias, en los albores de la Humanidad, solo estaban orientados a
necesidades puramente prácticas. Pueblos como los babilonios, los
egipcios e hindúes, conocían unos cuantos métodos aritméticos y
geométricos, sustentándose básicamente en el tanteo y la inducción,
despreocupándose de la validez general de aquellos.
Es, a partir del siglo VI a.C., cuando aparece una nueva cultura,
que cambiará el mundo de las matemáticas, la griega, teniendo a la
escuela pitagórica como uno de sus principales exponentes.
Cuando el mundo griego abarcaba las tierras comprendidas
entre los mares Egeo y Jónico, y las colonias establecidas en las costas
de los mares Negro y Mediterráneo, estando sus polis más importantes
fuera del Peloponeso, es cuando surgirá en todo su esplendor la
matemática griega.

HISTORIA Y EPISTEMOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA - II SEMESTRE -


Matemática:
«ciencia por
excelencia»


Pitágoras de Samos fue
un filósofo y matemático
griego que vivió entre los
años 585 y 500 antes de
nuestra era.

El padre de Pitágoras fue Mnesarco, un
mercader de Tiro; y su madre, Pythais,
originaria de Samos, en Jonia. La mayoría
de los historiadores concuerdan en que
floreció hacia el 532 a.C., en tiempos de
HISTORIA Y EPISTEMOLOGÍATarquinio el Soberbio.
Polícrates y de DE LA MATEMÁTICA - II SEMESTRE -

Pitágoras vivió los primeros
años de su vida en Samos y
acompañó a su padre en
muchos de sus viajes.

Entre sus profesores, se menciona a
tres filósofos:
• Ferécides de Siros, a quien a
menudo se describe como el
maestro de Pitágoras;
• Tales y el pupilo de éste,
• Anaximandro: impartía las
enseñanzas de Tales, lecturas a las
cuales asistió Pitágoras, y muchas
de sus ideas sobre geometría y
cosmología influyeron en su propia
visión.

Fundó la Escuela Pitagórica, una especie de secta cuyo símbolo era el
pentágono estrellado, y que se dedicaba al estudio de la Filosofía, la
Matemática y la Astronomía.

Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), vivían en el seno de
esta sociedad de forma permanente, no tenía posesiones personales y eran
vegetarianos.


Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este grupo selecto, que oía las
enseñanzas de Pitágoras directamente y debía observar estrictas reglas de
conducta. Sus máximas pueden sintetizarse como:
• que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática;
• que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual;
• que el alma puede elevarse para unirse con lo divino;
• que ciertos símbolos son de naturaleza mística;
• que todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y
secretismo.


Los pitagóricos fueron grandes cultivadores de las matemáticas y
creyeron encontrar en los números el principio (arjé), que los milesios
habían creído descubrir en los elementos naturales.


Ellos observaron que en la matemática es donde únicamente se pueden
obtener la exactitud completa y la evidencia absoluta; que el movimiento de los
cuerpos celestes puede estudiarse matemáticamente y predecirse así los
eclipses y demás fenómenos; que hasta en las bellas artes, la música está
sometida al número y a la medida.
Les fue fácil concluir que el secreto del Universo está escrito en signos
matemáticos y que ellos son el principio fundamental del que todo se deriva.

Todo para ellos está regido por el número y el orden.



 Para Pitágoras la primera esencia era la naturaleza de los números y
proporciones que se extienden a través de todas las cosas, de acuerdo con
los cuales todo está armónicamente dispuesto y convenientemente
ordenado. Jámblico, Vida Pitagórica., XII.59, p.49.

 El mundo platónico de las ideas es la forma revisada y refinada de la
doctrina pitagórica de que el número es la base del mundo real. A.
Whitehead.La Matemática en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el
mundo de las Matemáticas, Vol.1, p.332).


 En el número reside, como lo comprendió Pitágoras con la íntima
certidumbre de una sublime intuición religiosa, la esencia de todo lo
real. [...] La afirmación pitagórica de que el número es la esencia de
todas las cosas aprehensibles por los sentidos siegue siendo la más
valiosa proposición de la matemática antigua. O.Spengler. El sentido de
los números (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral, Madrid,
1998, pp.132,148.
 Pitágoras es un gran pensador cuya escuela estableció una relación
entre las Matemáticas, la Ciencia y la Filosofía que no se ha perdido
nunca. J. Bernal. Historia social de la Ciencia. Península, Barcelona,
1979 vol.1. pp.149–150.
 La Matemática nace a la sombra de la metafísica pitagórica fundada en
la omnipresencia y omnipotencia del número. J.Babini. Arquímedes: El
Método. Eudeba, Buenos Aires, 1966, p.14.



 Pitágoras fue el primer pensador que intentó conciliar las Matemáticas con la
Filosofía, una de las mayores aportaciones realizadas a la civilización a lo
largo de toda la historia. Desde entonces, las Matemáticas han mantenido
una estrechísima relación con la Filosofía y la Ciencia, hasta el punto de que
algunos de los más grandes filósofos han sido también grandes
matemáticos. B. Mage. Historia de la Filosofía, Blume, Barcelona, 1988.
p.15.

 Pitágoras es intelectualmente uno de los hombres más importantes que han
existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento.
Bertrand Russell. Historia de la Filosofía Occidental, Austral, vol.1, p.65



PITÁGORAS: FILOSOFÍA, RELIGIÓN, CIENCIA Y
MATEMÁTICAS.

Nicómaco de Gerasa (en
Introducción a la Aritmética),
Diógenes Laercio (en Vida de
los filósofos más ilustres) y
Jámblico (en Vida pitagórica),
entre otros, atribuyen a
Pitágoras los términos
Filosofía y Filósofo, como el
amor y el amante de la
Sabiduría, respectivamente.



Pitágoras fue el primero en
utilizar el término Cosmos
para describir el orden y la
armonía inherentes a un
universo regido por unas
leyes cognoscibles e
inteligibles por el hombre a
través del número que es el
principio elemental, «la
esencia de todas las cosas»,
componente esencial de la
armonía matemática que
debe guiar, con finalidad
religiosa, toda investigación
sobre el universo.



 Creían en la inmortalidad y transmigración
del alma.
 Los pitagóricos avanzaron mucho en los
números.
 Hicieron importantes estudios en
astronomía.


La comunidad pitagórica, de carácter científico y religioso, se basaba en un
ideario común fundamentado en todo un cuerpo de doctrina sobre el
hombre, el alma, la sociedad, el cosmos, etc., que conducía
necesariamente al estudio, a la reflexión filosófica y a la especulación
matemática y cosmológica, actividades en las que el adquisición del
conocimiento participaba más del carácter de una iniciación religiosa que
de una mera instrucción o investigación, es decir, religión y ciencia son
aspectos íntimamente vinculados en un tipo de vida llamado pitagórico
(Platón, República, 600b) y la actividad científica es una consecuencia de
la doctrina, no el móvil inicial como sería en la Academia platónica, en el
Liceo de Aristóteles o en el Museo de Alejandría.



Pitágoras organizó en su comunidad dos
tipos distintos de enseñanza, que darían
lugar según Jámblico (Vida Pitagórica,
XVIII.80–87) a dos tipos de miembros en la
primitiva comunidad pitagórica: los
Matemáticos («conocedores»), jóvenes
especialmente dotados para el
pensamiento abstracto y el conocimiento
científico y los Acusmáticos («auditores»),
hombres más simples, pero igualmente
sensibles, que reconocían la verdad de
forma intuitiva a través de dogmas,
creencias, sentencias orales
indemostrables y sin fundamento,
principios morales y aforismos.


Los pitagóricos basaron su filosofía y su modo de vida en el
culto a los números llevándolo hasta el paroxismo. Para los pitagóricos
todo era una encarnación del número.

«Los filósofos pitagóricos se dedicaron al cultivo de las matemáticas y
fueron los primeros en hacerlas progresar; estando absortos en su
estudio creyeron que los principios de las matemáticas eran los
principios de todas las cosas. [...] Supusieron que las cosas existentes
son números –pero no números que existen aparte, sino que las cosas
están realmente compuestas de números–, es decir, los elementos de
los números son los elementos de todos los seres existentes y la
totalidad del universo es armonía y número. Su razón consistía en que
las propiedades numéricas eran inherentes a la escala musical, a los
cielos y a otras muchas cosas. »

EL MISTICISMO ARITMÉTICO
GEOMÉTRICO PITAGÓRICO.



Los pitagóricos denominaron Década a los diez primeros
números y en la consideración de sus propiedades místicas y cabalísticas
y de sus virtudes mágicas desarrollaron, más allá de la Aritmética, un
cierto misticismo numérico, una Aritmología (la palabra número deriva
del término griego «Aritmo») al establecer que cada número poseía sus
propios atributos especiales que le dotaban de ciertas propiedades
vitales. Con base en Filolao, Platón –en algunos de sus Diálogos–
Aristóteles – en su Metafísica –, Alejandro de Afrodisias (comentador de
Aristóteles), Teón, Porfirio, Jámblico, Sexto Empírico y Nicómaco de
Gerasa resumieron estos atributos de acuerdo con la tabla sintética
siguiente:



Número Atributos
1 Monada (unidad), generador de todos lo números y dimensiones.
Símbolo de la razón de la unidad, lo definido, lo estable, el lado
derecho. Demiurgo del mundo.
2 Diada. Símbolo de la diversidad, opinión y contraposición, de la
materia, de la imperfección, de lo indefinido, del lado izquierdo, de la
dualidad. Principio femenino.
3 Triada (monada + diada). Símbolo de la armonía (unidad + diversidad),
de la perfección, del tiempo de la segunda dimensión. Primer número
triangular. Príncipe masculino.
4 Ley universal e inexorable. Clave de la naturaleza y del hombre.
Símbolo de la justicia (4= 2.2), de la sensación y de la tercera
dimensión. 2+2=2.2, 1+3=4=2+2
5 Símbolo del matrimonio (2+3=5), del triangulo divino (52=32+42), del
pentagrama místico, de los cinco solidos regulares y de los cinco
planetas conocidos.



5 Símbolo del matrimonio (2+3=5), del triangulo divino (52=32+42), del
pentagrama místico, de los cinco solidos regulares y de los cinco planetas
conocidos.

6 Símbolo de la procreación [(2+3)+1 =6], de los seis niveles de la naturaleza
animada. Área del triangulo divino. Primer numero perfecto. Masculino y
femenino (6=2+3).

7 Símbolo de la virginidad (virgen sin madre: ni es engendrado ni engendra),
de la salud, de la luz y de los siete astros errantes que dan nombre a los días
de la semana.

8 Símbolo de la amistad, de la plenitud y de la reflexión. Primer numero
cubo.
9 Símbolo de amor y de la gestación.
10 Tetractys. Símbolo de Dios y del universo, emblema supremo, suma de las
dimensiones geométricas (10= 1+2+3+4), artífice, principio, paradigma y
fundamento de todo. Anagrama místico del juramento pitagórico.
Depositario de la escala musical.



El Número 2 , es el
símbolo de la
diversidad, de la
opinión, de la
contraposición.

Aristóteles resume esta dualidad en la Metafísica (986a): «Otros pitagóricos admiten diez
principios coordinados entre sí en este orden [cuadro adjunto]».



El número 5 corresponde al Pentagrama místico
pitagórico, Pentalfa, o estrella de cinco puntas –
obtenida al trazar las diagonales de un pentágono
regular o prolongando sus lados– emblema de la
salud y símbolo de identificación de los
pitagóricos como miembros de una comunidad.
El Pentagrama místico fue uno de los tópicos
geométricos más importantes de la Escuela
Pitagórica por sus bellísimas propiedades
geométricas de las que nace su simbolismo
místico. Esta figura geométrica pudo estar en la
base del más importante hallazgo científico de los
pitagóricos –el descubrimiento de las magnitudes
inconmensurables–, una de las causas de la
profunda crisis que arruinó a la cofradía
pitagórica.



1 2 3

El número 5 es, además, el centro aritmético de los nueve primeros
números de la década 1,2,3,4,5,6,7,8,9, siendo, asimismo, la media 4 5 6
aritmética de sus equidistantes (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6) según
manifiesta el Esquema de Teón de Esmirna.
7 8 9



El Número 10, es el de mayor carga simbólica y el más sagrado de todos
los números. Puesto que los cuatro primeros números contienen el
secreto de la escala musical, su suma (1+2+3+4=10), el número diez, la
década, puede «parecer que abarca», como dice Aristóteles, «la
naturaleza toda del número», sería en sí «algo perfecto», y representa
el número del universo, la suma de todas las posibles dimensiones
geométricas. Para Filolao la Década era «grande, todopoderosa y
generadora de todo, comienzo y guía tanto de la vida divina como de la
terrestre» y para Sexto Empírico «la razón de la composición de todas
las cosas.»


El número diez, cuya veneración, no es tributaria,
paradójicamente, de la anatomía de la mano del
hombre, es la quintaesencia del misticismo pitagórico.
Los pitagóricos lo representaban mediante 10 puntos,
piedrecillas o alfas dispuestos bajo la forma de un
triángulo equilátero. A este anagrama, representación
visual y geométrica del hecho de que 10=1+2+3+4, le
llamaron la Tetractys de la Década. Tenía, para ellos
tanta significación esotérica como el Pentagrama
místico, y su importancia simbólica deriva de que por
él juraban en sus ceremonias más solemnes, sobre
todo en el rito iniciático de incorporación a la
comunidad: «¡lo juro por Aquel que ha dado a nuestro
alma la Tetractys, fuente y raíz de la Naturaleza
eterna!» (Versos Dorados, 47) juramento referente al
secreto sobre el contenido de la enseñanza pitagórica
(Porfirio, Vida de Pitágoras, 20)..



LA MÚSICA PITAGÓRICA Y LA TEORÍA DE LAS DE LAS MEDIAS

Pitágoras descubrió
que existía una
estrecha relación
entre la armonía
musical y la
armonía de los
números.



LOS NÚMEROS POLIGONALES

Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en
un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas
poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los
números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de
puntos, cuya suma determina el número representado. Así obtenían los
diversos tipos de números poligonales o figurados:
 Los número triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, ...
 Los número cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, ...
 Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, ...
Los números poligonales aparecieron en los albores de la Escuela
Pitagórica como un elemento esencial de su misticismo numérico: «no sólo
las cosas son en esencia números sino que los números son concebidos como
cosas», de modo que las expresiones «números triangulares» o «números
cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son,
efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados.



A partir de las distribuciones geométricas de puntos que hicieron los
pitagóricos con los números poligonales, aparecían, como evidencia
empírico – visual, numerosas propiedades de los números enteros, al
considerar la relación entre órdenes consecutivos de números de un
determinado tipo y relaciones entre números poligonales de tipos
diferentes. Así por ejemplo, si llamamos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-ésimo
número triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente,
los siguientes esquemas gráficos nos proporcionan importantes
propiedades aritméticas de los números enteros:



. En la actualidad el estudio de los números poligonales ha alcanzado un
valor práctico en una incipiente aplicación criptográfica a la seguridad en
las comunicaciones, de modo que, como en otros muchos otros
aspectos, Pitágoras se sitúa en el umbral del pensamiento matemático.



 Este teorema es de
los más famosos de
la geometría plana.
 Hay más de 300
pruebas de este
teorema.
 Antes de enunciarlo
procedemos a hacer
un poco de historia
acerca de Pitágoras.



DEMOSTRACIÓN DE PITÁGORAS (S. VI a.C.)

Las más famosas demostraciones del Teorema de Pitágoras: las
demostraciones de Pappus, Thâbit Ibn Qurra, Bhaskara,
Leonardo da Vinci, Vieta, Anaricio, Perigal y Garfield. El mayor
repertorio de pruebas del teorema pitagórico: la obra de Loomis.
Pruebas algebraico - geométricas, geométricas, tipo puzzle, tipo
Pitágoras y tipo Euclides.



A partir de un triángulo
rectángulo de catetos b y c e
hipotenusa a, se hace una
partición del cuadrado de
lado b de la siguiente forma:
por el centro del cuadrado se
trazan dos segmentos, uno
paralelo a la hipotenusa y el
otro perpendicular a
ella. Obteniéndose así cuatro
piezas que junto al cuadrado
de lado c encajan
perfectamente en el
cuadrado de lado a.



El matemático hindú Bhâskara reconstruyó la demostración
del teorema de Pitágoras que aparece en un diagrama de
la Aritmética Clásica China, en el que se representa la más
antigua demostración del teorema, admirada por su
elegancia. Bhâskara expuso esta demostración en su libro
Vijaganita sin añadir más comentarios que el de “observe”.
A partir de un triángulo rectángulo de catetos b y c e
hipotenusa a se ha hecho una partición en cinco partes:
cuatro de estas partes son triángulos rectángulos iguales al
de partida y la otra es un cuadrado de lado (b-c).


En el cuadrado superior tenemos:

En la figura inferior tenemos:

Por tanto igualando las
dos expresiones se
obtiene:



Las cinco piezas que
componen este
rompecabezas se obtienen
de cortar los dos cuadrados
construidos sobre los
catetos. Se colocan los
cuadrados de lados b y c.
Se consideran dos
cuadrados equivalentes al
de lado c situados
inferiormente como muestra
la figura anexa. Se trazan
dos segmentos de medida
a y perpendiculares por P.


Estos segmentos al
cortar a los lados
de los cuadrados
determinan las
cinco piezas que
encajan para
formar el cuadrado
construido sobre la
hipotenusa.



En cada uno de los
cuadrados construidos sobre
los catetos se traza una
diagonal y por los otros dos
vértices del cuadrado se
trazan segmentos paralelos a
la hipotenusa,
determinándose así cuatro
partes en cada uno de los
cuadrados, que agrupadas
convenientemente forman el
cuadrado sobre la
hipotenusa.



Pitágoras había viajado a la antigua
Babilonia y a Egipto donde posiblemente
conoció la propiedad que verifican los
lados de un triángulo rectángulo.

En una tablilla de arcilla procedente de
Babilonia conocida por PLIMPTON 322 y
fechada en el 1900 a.C. aparecen,
colocadas en columnas, ternas de
números que verifican el teorema de
Pitágoras son las llamadas "TERNAS
PITAGÓRICAS".

2 ab
Area c 4
2

Un cuadrado de lados a + b se divide en dos
cuadrados de lados a y b y en cuatro
triángulos rectángulos de catetos a y b e
hipotenusa c.
2
Area a b a 2 b2 2ab

Por tanto igualando las dos
áreas obtenemos:

2 2 2 ab
a b 2ab c 4
2
a 2 b2 2ab c2 2ab
2 2 2
c a b


 Cada uno de estos tres tríos satisface la igualdad

2 2 2
c a b
 c es el lado mayor, es decir la hipotenusa.
 Cualquier trío de números pitagóricos primitivos a, b, y c se
obtiene a partir de dos números enteros x e y (x > y),
primos entre sí, y por aplicación de las fórmulas:

a x2 y2 b 2 xy c x2 y2

 Los números que son primos entre si, como 5, 12, 13 son un
trío primitivo de números pitagóricos.


 Sean los x 5 e y 3
números
a x2 y2 b 2 xy c x2 y2
2 2 2 2
a 5 3 b 2 5 3 c 5 3
a 16 b 30 c 34

2 2 2 342 162 302
c a b 1156 256 900
1156 1156 se cumple la igualdad


2 2 2 2 2 2
5 4 3 10 8 6
132 12 2 52 152 12 2 9 2
17 2 152 82 262 24 2 10 2
342 30 2 16 2 40 2 322 242
502 482 142 74 2 70 2 24 2


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