Distancia, Punto Medio, Ecuaciones y trazado de circunferencias,Parábolas, elipses, hipérbola. 

1. Plano Numérico
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Programa Nacional de Formación Distribución y Logística
Barquisimeto, Lara
Barquisimeto, 13 de Diciembre
Integrantes:
Tatiana García, 0202
Gerardo Gómez, 0202
Reynaldo Carmona, 0202
Franyeris Sánchez, 0202

2. ¿QUÉ ES?
La finalidad del plano cartesiano
es describir la posición o
ubicación de un punto en el
plano. La cual esta representada
por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve
para analizar matemáticamente
figuras geométricas como la
parábola, la hipérbole, la línea, la
circunferencia y la elipse, las
cuales forman parte de la
geometría analítica.
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas
cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se
cortan en un punto llamado origen o punto cero.
Plano Numérico o
Cartesiano

3. Distancia
 En las matemáticas, la distancia entre dos puntos del espacio
euclídeo equivale a la longitud del segmento de la recta que los
une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como
los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto»
entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada
geodésica.
Plano de Manhattan. La distancia euclidiana (segmento verde), no se corresponde con el
«camino más corto posible» ente dos puntos de dicha ciudad, además de no existir solo un
camino de menor longitud.

4. Ejemplo
 Determina la distancia entre los puntos (1, 3) y (5, 6).

 Solución
 Escribimos las coordenadas de los puntos de la siguiente forma:
 Usando la fórmula de la distancia con estos valores, tenemos:
La distancia entre los
puntos es igual a 5.

5. Punto medio
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de
otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un
segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Sean. los extremos de un segmento el punto
medio del segmento viene dado por:

6. Ejemplos para el calculo del punto
medio
 1 Dados los puntos A(3 , -2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del
punto medio del segmento que determinan.
 Utilizando la formula de las coordenadas del punto medio
tendremos
 Entonces
 2Las coordenadas de los vértices consecutivos de un
paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0) y . Las coordenadas del
centro M son M(0, 0, 1) Hallar las coordenadas de los vértices C y D.

7.  Observemos que M es el punto medio entre los vértices A y C, pero
también es el punto medio entre los vértices B y D.

 Al ser punto medio debe cumplir con la formula de las
coordenadas del punto medio, utilizaremos esta para calcular los
vértices restantes.
 Vértice C:
Es decir, el vértice C es: (-1,2,0) Y de aquí tendremos que D(0,-1,2)

8. Ecuaciones y trazado de
circunferencias
• La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Hay un caso particular de circunferencia que tiene su centro en el origen la ecuación que define se
llama ecuación canónica de la circunferencia:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
.
Si la circunferencia no esta centrada en el (0,0) es posible armar un nuevo sistema de modo tal que el
centro de la circunferencia coincida con el nuevo origen de coordenadas. Por ejemplo coincidiremos:
(𝑥 − 𝑎)2
+(𝑦 − β)2
= 𝑟2
Si hacemos un cambio variable: ቊ
𝑥′
= 𝑥 − 𝑎
𝑦′
= 𝑦 − β
En las nuevas variables la ecuación queda expresada en forma canónica.
𝑥𝑟2
+ 𝑦𝑟2
= 𝑟2
Para obtener la ecuación canónica, hicimos una translación de ejes, de modo que el centro del nuevo
sistema coincidiera con el centro circunferencia:

9. Parábolas
 La parábola es una de las conocidas secciones cónicas, y la cual
resulta de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de
inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al
presentado por su generatriz
Lo anterior puede ser descrito de la siguiente manera: La parábola es el lugar
geométrico de los puntos del plano, P, que equidistan de un punto fijo,F ,
llamado foco y de una recta fija, D, llamada directriz.

10. Ejemplo
Hallar la ecuación de la parábola de directriz x=4 foco F (-2, 0)
Solución: Es conveniente realizar una figura de análisis que represente
los datos del enunciado:
El valor absoluto de c es la distancia del vértice al foco.
El vértice está sobre el eje focal y a la misma distancia del foco que de la directriz:
Eje focal: eje x
Como el eje es horizontal la ecuación tiene la forma:

11.  Falta calcular el valor absoluto de c
Como el foco está a la izquierda del vértice entonces c = –3
Entonces queda:

12. Eclipses
 Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano de tal
forma que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es
constante. Los puntos fijos son conocidos como los focos, los cuales
están rodeados por la curva. Otros elementos importantes de las
elipses son los vértices, el eje menor, el eje mayor, el centro y la
excentricidad. La forma de la elipse es un óvalo y su área está
definida por la longitud del semieje menor y la longitud del semieje
mayor.

13. Elementos fundamentales de la
elipse
Focos
Los focos son los puntos
fijos de la elipse, los cuales
se ubican en el eje mayor.
Eje mayor
El eje mayor es el diámetro más
largo de la elipse.
Eje menor
El eje menor es el diámetro
más corto de la elipse.
Centro
El centro de la elipse es el punto de intersección
de los ejes menor y mayor. Podemos definirlo
como el centro de simetría de la elipse.
Longitud focal
La longitud focal es la longitud
desde un foco hasta el otro.
Vértices
Los vértices son los puntos de
intersección de la elipse con el eje
mayor. Los vértices son los puntos
extremos del eje mayor.
Semieje mayor
El semieje mayor es la mitad del eje
mayor. El semieje mayor es el segmento
que va desde el centro de la elipse hasta
un vértice de la elipse

14. Hipérbola
La hipérbola es una curva plana, abierta con dos ramas, se define como el lugar
geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a otros dos fijos llamados focos, es
constante e igual a 2𝑎 = 𝐴𝐵, la longitud del eje es real.
Dados dos puntos 𝐹1 y 𝐹2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del
plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.
𝐻 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑 𝑃; 𝐹1 − d P;𝐹2 = 2a = etc}
Si la distancia entre los focos es 𝑑 𝐹1 𝐹2 = 2𝑐 la condición para que sea un hipérbola es
𝑐 > 𝑎 > 0
𝑐2> 𝑎2
𝑐2−𝑎2 = 𝑏2
⇒ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

15. Hipérbola
Representación Grafica de la hipérbola con centro en
el origen
• Hipérbola Horizontal: Su eje focal
coincide con el eje “X”
• Hipérbola Vertical: Su eje focal
coincide con el eje “Y”
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1

16. Enlaces
 https://www.significados.com/plano-cartesiano/
 https://es.wikipedia.org/wiki/Distancia
 https://www.neurochispas.com/matematicas/punto-medio-de-un-segmento-
formula-y-ejemplos/
 https://aga.frba.utn.edu.ar/circunferencia/
 https://www.geometriaanalitica.info/parabola-matematicas-definicion-
ecuacion-ejemplos-ejercicios-resueltos-elementos/
 https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/analitica/elipses.html
 https://aga.frba.utn.edu.ar/hiperbola/
 https://www.fisimat.com.mx/ecuacion-de-la-hiperbola-con-centro-en-el-
origen/