Este documento presenta los temas de la circunferencia, la elipse y la trigonometría para estudiantes de secundaria. Introduce las definiciones, elementos y ecuaciones de la circunferencia y la elipse, así como conceptos básicos de trigonometría como triángulos rectángulos, razones trigonométricas y resolución de triángulos. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para cada tema.

1. AUTOR: PROF. MARIA ISABEL ESPINDOLA
ASIGNATURA: MATEMATICA
TEMA Nº 1 LA CIRCUNFERENCIA
NIVEL: 6to. DE SECUNDARIA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
LA CIRCUNFERENCIA
1. DEFINICION
La circunferencia es una línea cerrada, curva y plana cuyos puntos tienen la misma distancia a
otro punto llamado centro.
2. CIRCUNFERENCIA A NUESTRO ALREDEDOR
3. ELEMENTOS
Centro: Es el punto en el que equidistan los puntos de la circunferencia.
Radio: Es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.
¿Qué figuras tienen
la forma de círculo y
circunferencia?

2. Cuerda: Es un segmento que un dos puntos de esta cuerda, el radio es perpendicular a la
cuerda en su punto medio.
Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
Arco: Es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
4. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Exterior: Una recta es exterior a una circunferencia si no tienen ningún punto en común.
Tangente: Una recta es tangente a una circunferencia si tienen un punto en común.

3. Secante: Una recta es secante a una circunferencia si tienen dos puntos en común.
5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro
Circunferencias Secantes, tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.
Tangentes interiores, la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los
radios.

4. Tangentes exteriores, la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
6. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación general de la circunferencia
Ecuación reducida de la circunferencia: Si el centro de la circunferencia coincide con el
origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:
7. EJERCICIOS RESUELTOS
a) Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
b) Dada la circunferencia de ecuación x2
+ y2
- 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el
radio.
8. EJERCICIOS PROPUESTOS
a) Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

5. b) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es
tangente al eje de abscisas.
c) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es
tangente al eje de ordenadas.
d) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices:
A (0, 0), B (3, 1), C (5, 7).

6. TEMA Nº 2 LA ELIPSE
NIVEL: 6to. DE SECUNDARIA
LA ELIPSE
1. DEFINICIÓN
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos, F1 y F2, llamados focos es una constante positiva. Es decir:
Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano oblicuo al eje y forma con este eje un
ángulo mayor que el ángulo formado por la generatriz con el eje, los puntos pertenecientes
igualmente al plano y al cono forman una elipse.
2. ELIPSES A NUESTRO ALREDEDOR

7. 3. PROPIEDADES DE LA ELIPSE
Veamos la propiedad fundamental de una elipse.
Para ello, marca dos puntos en un plano, separados por ejemplo 4 centímetros. Los llamaremos los
focos de la elipse. Escoge ahora un número mayor que 4, pongamos 10. La figura que resulta de
marcar todos los puntos cuyas distancias a los focos suman 10 es una Elipse.
4. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Focos. Son los puntos fijos F1 y F2.
Eje focal. Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario. Es la mediatriz del segmento F1F2.
Centro. Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores. Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF1 y PF2.
Distancia focal. Es el segmento F1F2 de longitud 2c, c es el valor de la semi distancia focal.

8. Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: V1, V2, B1, B2.
Eje mayor. Es el segmento V1V2 de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor. Es el segmento B1B2 de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría. Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría. Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes
de simetría.
5. ECUACIONES DE LA ELIPSE
a) CANÓNICA
b) ORDINARIA
c) GENERAL.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
Si en la ecuación de la elipse el denominador de x2
es mayor que el denominador de y2
, entonces el
eje focal coincide con el eje X. En caso contrario, el eje focal coincide con el eje Y.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE

9. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Partiendo de la ecuación anterior y realizando un proceso similar al realizado para obtener la
ecuación general de la circunferencia, se llega a la ecuación general de la elipse, donde los
coeficientes A y B deben tener el mismo signo.
6. EJERCICIOS PROPUESTOS
a) Halla el centro y los focos de la elipse de ecuación:
b) Reduce la ecuación x2
+ 4y2
– 6x + 16y + 21= 0 a la forma ordinaria de una elipse y determina
las coordenadas del centro, vértices, focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la
cuerda focal y la excentricidad.
c) Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos en los puntos (0; -3) y (0; 3) y
eje mayor igual a 10 u.
d) Halla la ecuación de la elipse de excentricidad 2/3 y cuyos focos son los puntos (-2; 6) y (8; 6).
e) Determina la ecuación de la elipse cuyo centro de gravedad está en el origen e coordenadas,
el eje mayor a lo largo del eje X, el lado recto es igual a 6 y el valor de la excentricidad es 1/2.
f) Halla la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado recto) es 5 y sus
vértices los puntos (-10;0) y (10; 0).
g) Las distancias de un punto P de una elipse a sus focos F1 y F2 son 6 y 8 cm. Calcula e, si m <
F1 P F2 = 90º
h) En la elipse 4x2
+ 9y2
= 36. El área del triángulo formado por un lado recto y los segmentos
que unen los extremos con el centro de la elipse es:
i) Halla la ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (2; 4), la distancia del centro a los
focos es 3, su excentricidad 1/3 y la elipse es de eje vertical.

10. TEMA Nº 3 TRIGONOMETRIA
NIVEL: 5to. DE SECUNDARIA
Trigonometría
Resolución de Triángulos Rectángulos
1. Importancia de la Trigonometría
La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las relaciones entre los
lados y los ángulos de un triángulo.
Este estudio da pie a considerar una serie de funciones (seno, coseno, tangente...) que dan lugar a
un campo mucho más amplio que el considerado inicialmente y que se aplica sobre todo a
fenómenos de tipo periódico, como son las ondas electromagnéticas.
En la antigüedad, se usó para los estudios astronómicos. Hoy en día, además, la trigonometría juega
un papel clave en los sistemas de posicionamiento global (GPS).
2. Triángulos rectángulos
Se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-
grados.
3. Elementos de un Triángulos rectángulos
4. Triángulos rectángulos en nuestro alrededor

11. 5. Razones Trigonométricas
Seno de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
𝑠𝑒𝑛 ∝=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Coseno de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
𝑐𝑜𝑠 ∝=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Tangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
𝑡𝑎𝑛 ∝=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
6. Signo de las Razones Trigonométricas
En los cuatro cuadrantes
7. Razones Trigonométricas de Ángulos Notables
8. Resolución de Triángulos Rectángulos
Resolver un triángulo consiste en hallar los lados, ángulos y área.
Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un
ángulo distinto del recto.

12. Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de
triángulos rectángulos:
Se conocen la hipotenusa y un cateto
Se conocen los dos catetos
Se conocen la hipotenusa y un ángulo
agudo
Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Ejercicio
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
Problemas
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un
ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60˚

13. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km.
El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?