Este documento describe los conceptos básicos de planos y rectas en el espacio. Define un plano como un objeto bidimensional que contiene puntos e infinitas rectas. Un plano puede definirse por tres puntos no alineados, una recta y un punto exterior, o dos rectas. Explica cómo representar puntos en un plano cartesiano usando coordenadas x e y, y cómo calcular la distancia entre dos puntos. También describe cómo definir un plano en el espacio tridimensional usando un punto y dos vectores directores, y cómo representar una rect

1. República Bolivariana de Venezuela
I.U.P. Santiago Mariño
Catedra de Geometría Analítica
PLANO Y RECTA EN EL ESPACIO
Ricardo Campos
V-15404612
21 de Enero de 20016

2. PLANO:
En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene
infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el
punto y la recta.
Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee
volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
 Tres puntos no alineados.
 Una recta y un punto exterior a ella.
 Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.
 Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por
un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento
a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa
y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único
punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una
correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del
plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. En
coordenadas polares por un ángulo y una distancia. Esta correspondencia constituye el
fundamento de la geometría analítica.
Representación de Puntos en el Plano:
Consideremos un plano donde dibujamos dos líneas perpendiculares que
denominamos “OX” y “OY”. Estas líneas se intersecan en un punto “O” que llamaremos
el origen de coordenadas. El origen divide a los ejes en dos partes denominadas
semiejes (semieje positivo y negativo). Cualquier punto del plano vendrá especificado
por un par de números reales que denominaremos coordenadas del punto P = (px, py).
Para obtener estas coordenadas trazamos una línea paralela al eje “Y” que pasa por
“P”: el punto de corte de esta línea con el eje “X” se encuentra a una distancia “px” del
origen. Análogamente, si trazamos una línea que pasa por “P” paralela al eje “X”, la
distancia del punto de corte con el eje “Y” al origen “O” es “py”. A estas coordenadas
se las denomina coordenadas cartesianas rectangulares.
A su vez, después de establecer los ejes coordenados podemos decir que el plano 2D
está dividido en cuatro cuadrantes. En sentido contrario al avance de las agujas del
reloj: I, II, III, IV. Los puntos que se encuentran en el eje “X” o eje de abscisas tienen
coordenada “y = 0”. Los puntos que se encuentran en el eje “Y” o de ordenadas tienen
coordenada “x = 0”. El origen de coordenadas será obviamente (0, 0).

3. En general denotaremos un punto en el plano mediante el par ordenado constituido
por sus coordenadas (x, y). Abusando un poco del lenguaje podemos decir que que el
plano donde se han introducido introducido las coordenadas cartesianas”x” e “y” es el
plano “xy”. Se cumple que dado un par arbitrario de números reales “x” e “y” existe
siempre un punto “P” en el plano “xy” cuya abscisa es igual a “x” y cuya ordenada es
igual a “y”, que denotaremos por (x, y). Esta correspondencia es biunívoca. Definimos
como los vectores unitarios coordenados i y j a aquéllos de longitud unidad orientados
según los ejes coordenados.
Así pues:
, y por último:
Distancia entre dos puntos:
Sean dos puntos “P1” y “P2” en el plano “xy” de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2),
respectivamente. La distancia entre “P1” y “P2” en función de sus coordenadas es:
A esta distancia se le denomina también distancia euclídea en el plano, y cumple las
siguientes propiedades:
 d(P1, P2) ≥ 0.
 Si d(P1, P2) = o, entonces P1 = P2.
 d(P1, P2) = d(P2, P1).
Planos en el espacio
Sean u, v vectores en R3 no nulos y no paralelos, y P ∈ R 3 un punto. El plano (α) que
pasa por P y tiene vectores directores u y v se define como el siguiente conjunto de
puntos:
(α) := {P + λu + µv | λ, µ ∈ R}.
Los vectores u y v se denominan vectores directores del plano (α). Nótese que si u y v
son vectores paralelos, (α) serıa una recta que pasa por P y con vector director u (o v).
De la definición anterior se sigue que los puntos X de R 3 que están sobre el plano (α)
son aquellos que satisfacen la siguiente ecuación X = P + λu + µv, (1) para ciertos
escalares λ, µ en R. (1) se denomina ecuación vectorial biparamétrica de (α)

4. Ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta
dirección.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector tiene que ser coplanario con
y .
Ecuaciones paramétricas del plano
Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Esta igualdad se verifica si:
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

5. Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el
determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos
independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollamos el determinante.
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano:
Vector normal
El vector es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al
plano.

6. Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, el vector es
perpendicular al vector , y por tanto el producto escalar es cero.
De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de
un punto y un vector normal.
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

7. LA RECTA EN EL ESPACIO
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con
un punto P y con una dirección dada .
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es
igual a multiplicado por un escalar:
Ecuaciones paramétricas de la recta
Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene: