Johan Martinez

1. Un plano es un objeto ideal que solo posee dos
dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un
concepto fundamental de la geometría junto con el
punto y la recta.
un plano es un objeto ideal que solo posee dos
dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un
concepto fundamental de la geometría junto con el
punto y la recta.

2. En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos
hallar los siguientes hechos, (los cuales no son
necesariamente válidos para dimensiones mayores).
Dos planos o son paralelos o se interceptan en una línea.
Una línea es paralela a un plano o intercepta al mismo en
un punto o es contenida por el plano mismo.
Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son
necesariamente paralelas entre sí.
Dos planos perpendiculares a una misma línea son
necesariamente paralelos entre sí.
Entre un plano cualquiera y una línea no perpendicular al
mismo existe solo un plano tal que contiene a la línea y es
perpendicular al plano .
Entre un plano cualquiera y una línea perpendicular al
mismo existe un número infinito de planos tal que
contienen a la línea y son perpendiculares al plano

3. Un plano queda definido por los siguientes
elementos geométricos: un punto y dos vectores:
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)
Posición relativa entre dos planos
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y
también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.
Sus posiciones relativas pueden ser:
Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y
el punto A pertenece al plano 2.
Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales
y el punto A no pertenece al plano 2.
Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma
dirección.

4. la recta o la línea recta se extiende en una misma
dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene
infinitos puntos; se puede considerar que está
compuesta de infinitos segmentos. Dicha recta
también se puede describir como una sucesión
continua e indefinida de puntos extendidos en una sola
dimensión
Características de la recta
La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos
puntos es la línea recta.
La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados
a lo largo de la intersección de dos planos.

5. Ecuación de la recta en el plano
En un plano cartesiano, podemos
representar una recta mediante una
ecuación general definida en dicho plano
ya sea mediante coordenadas usando
puntos y vectores, o bien funciones que
especifican dichas coordenadas.
Ecuación vectorial de la recta
paramétricas ecuación en forma continua de la recta
ecuaciones cartesianas o implícitas de la recta

6. Ecuación vectorial de la recta
Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y su vector director, el vector
tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:
Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos
denominadores y pasamos todo al primer miembro,
obtenemos también las ecuaciones implícitas

7. Ejemplos
Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el
punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es