Este documento presenta una introducción a la geometría descriptiva, incluyendo definiciones de puntos, rectas y planos. Explica cómo se representan y determinan estos elementos geométricos, así como algunos postulados y teoremas relacionados. También describe las posiciones particulares de los planos en relación con los planos de proyección y sus trazas, y las características del plano cartesiano.

1. Universidad Privada del Guairá Cátedra: Geometría Descriptiva. Profesora : María Diana Chaparro García.

2. Alumnos: Mariana Troller Mello Claudio

3. Apuntes: Sistemas de Proyección. Punto y Recta en el Plano. Posiciones Relativas en una Recta y un Plano. Características del Plano. Traza del Plano. Posiciones Particulares del Plano.

4. Punto y Recta en el Plano El punto es una « figura geométrica » adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. En geometría , el punto es uno de los entes fundamentales , junto con la recta y el plano . Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos , que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

5. Representación gráfica En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta , semirrecta o segmento . A los puntos se les suele nombrar con una letra minúscula: a, b, c, etc. (a las rectas con letras mayúsculas, y a los ángulos con letras griegas) La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo , circunferencia , u otra figura geométrica , presupone que el punto es su centro.

6. Determinación geométrica Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:

7. SISTEMAS DE REFERENCIA coordenadas cartesianas , se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z). En coordenadas polares , mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ). En coordenadas esféricas , mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ) En coordenadas cilíndricas , mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z). También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas , parabólicas, esferoidales, toridales, etc.

8. Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto Postulados en geometría euclidiana Por un punto pasan infinitas rectas y planos. Dos puntos determinan una recta y sólo una. Una recta contiene infinitos puntos. Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas. El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos. Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones. Teoremas en geometría euclidiana Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.

9. RECTA

10. Recta En geometría euclidiana , la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos ; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). Es uno de los entes geométricos fundamentales , junto al punto y el Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula .

11. Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1). Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado ).

12. PLANO

13. PLANO En geometría , un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas ; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta

14. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro.

15. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas . Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

16. Posiciones Particulares del Plano Plano Horizontal

17. Plano Horizontal es un Plano paralelo al Plano Horizontal de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal, se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Horizontal del Plano y en su Proyección Vertical se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano α. En este Plano α sólo distinguimos una Traza Vertical (TV α), la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo α= 0º con el Plano Horizontal de Proyección. El ángulo β= 90º La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa la Cota del Plano Horizontal α.

18. PLANO FRONTAL

19. es un Plano paralelo al Plano Vertical de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Vertical del Plano y en su Proyección Horizontal se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano β. En este Plano β sólo distinguimos una Traza Horizontal (TH β), la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo β = 0º con el Plano Vertical de Proyección. El ángulo α = 90º La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del Plano Vertical β.

20. Plano de Perfil

21. es un Plano perpendicular a los Planos Vertical y Horizontal de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano de Perfil, se verá confundido sobre las líneas de las Trazas Vertical y Horizontal del Plano ε. se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Lateral del Plano. En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε), las cuales son perpendiculares a la Línea de Tierra y cuyos ángulos α = 90º y β = 90º. La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del Plano Vertical β.

22. Plano Proyectante Vertical (de Canto

23. Plano perpendicular al Plano Vertical de Proyección. El valor del ángulo α oscila entre 0º y 90º. El ángulo β = 90º. En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε). Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los elemento dibujado sobre el Plano Horizontal se ven pero no están en Verdadero Tamaño.

24. Plano Proyectante Horizontal (de pie)

25. es un Plano perpendicular al Plano Horizontal de Proyección. El valor del ángulo β oscila entre 0º y 90º. El ángulo α= 90º. En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε). Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal, se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los elemento dibujado sobre el Plano Vertical se ven pero no están en Verdadero Tamaño.

26. Plano Paralelo a la Línea de Tierra

27. se reconoce como su nombre lo indica por ser paralelo a la Línea de Tierra. Sus Trazas siempre son paralelas a la Línea de Tierra (TV ε y TH ε).

28. Plano Cualquiera (Oblicuo):

29. es aquel cuya posición en el espacio no se someta a ninguna relación notable con los Planos de Proyección. Las magnitudes de los ángulos α y β alcanzan valores cualquiera, la posición con respecto a la LT es siempre oblicua, por lo que debe cumplir la relación 180º > α + β <>90.

30. Posición relativa entre dos planos Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2. Sus posiciones relativas pueden ser:

31. Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2. Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2 Planos secantes : si los vectores normales no tienen la misma dirección.

32. TRAZA EN EL PLANO Son las rectas donde el plano se intercepta con los planos principales de proyección. Se denominan\ Fig.11:

33. a) Traza vertical de un plano . Es la intersección (f) del plano (a) con el plano vertical de proyección\Fig.11a . b) Traza horizontal de un plano . Es la intersección (h) del plano (a) con el plano horizontal de proyección\ Fig.11b

34. DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UN PLANO Si una recta (r) está contenida en un plano (a); las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (r), están contenidas en las trazas vertical (f) y horizontal (h) del plano (a), respectivamente (fig.12). Además, como ya se mencionó, las trazas de un plano se cortan en la línea de tierra (Excepto si el plano es paralelo a ella)

35. Por lo tanto, pueden definirse las trazas de un plano (a), definiendo previamente las trazas de dos rectas (a y b) contenidas en el, como se muestra en los ejemplos (a) y (b) de la fig.13

37. PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR TRAZAS En la figura siguiente, se ilustra como hacer pertenecer un punto (P) a un plano (a) definido por trazas (f y h)\ (fig.a), utilizando para ello: una recta: (r) cualquiera (fig.b1); una recta (f1) frontal (fig.b2); una recta (h1) horizontal (fig.b3).

39. Características del Plano CARTESIANO

40. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las &quot;X&quot; y uno de las &quot;Y&quot;, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

41. P (x, y)

42. SISTEMAS DE PROYECCION O SISTEMA DE REPRESENTACION Un sistema de proyección permite la representación de una superficie curva sobre un plano.Se aplica para representar un objeto. Entonces, dependiendo de la figura sobre la cual se realiza la proyección se tienen:

43. Proyecciones Cilíndricas Proyecciones Cónicas Proyecciones Azimutales (sobre un plano).

44. Sin embargo hay proyecciones que conservan alguna de estas características. Proyecciones equidistantes conservan las distancias. Proyecciones conformes conservan los ángulos Proyecciones equiáreas conservan las áreas.

45. Sistemas de Representación SISTEMA AXONOMÉTRICO

46. Los principales sistemas de representación son: Planos acotados. Sistema diédrico. Sistema axonométrico. Sistema cónico.

47. Los objetos se representan por medio de proyecciones. Proyectar es lanzar en línea recta (denominada rayo proyectante) un punto o la imagen de un objeto sobre una superficie (plano de proyección). Clases de proyecciones; Dependiendo de donde esté colocado el centro de proyección pueden ser de dos clases: Proyección cilíndrica Foco en el infinito Proyección cónica F oco en un punto Ortogonal Oblicua Cilíndrica ortogonal Cilíndrica oblicua Cónica

48. Sistema Axonométrico El Sistema Axonométrico es un sistema de representación que utiliza la proyección cilíndrica ortogonal en las que las rectas proyectantes son paralelas entre sí y perpendiculares al plano de proyección.

49. El Sistema Axonométrico permite dibujar un objeto tridimensional sobre un único plano, tomando como referencia tres ejes (Z, Y y X ) que pueden formar ángulos diferentes entre ellos. Y X Altura Z Anchura Profundidad

50. Representación de sólidos a partir de sus vistas. Para representar un objeto en sistema axonométrico se parte de las vistas diédricas de la pieza; Alzado, planta y perfil.

51. Perspectiva caballera Se considera un caso particular de la axonometría, ya que su proyección es cilíndrica en vez de ortogonal. Cilíndrica oblicua Cilíndrica ortogonal

52. En este sistema de representación los ejes X y Z (alzado) forman siempre un ángulo de 90º y el otro (Z-Y) es libre (normalmente 135º). Altura Z Anchura X Profundidad Y 90º http://www.educacionplastica.net/zirkel/caballera1.html

53. Al realizar una figura en perspectiva caballera las medidas de altura y profundidad son reales pero a la anchura se le aplica un coeficiente de reducción.

54. Para representar sólidos en perspectiva caballera se procede de manera similar a la representación en isométrica, teniendo en cuenta el valor de reducción.

55. MUCHAS GRACIAS