Este documento describe los conceptos básicos de planos y rectas en el espacio. Explica que un plano es una superficie bidimensional que contiene puntos y rectas. Introduce el plano cartesiano y sus ejes x e y, así como la notación de cuadrantes. También cubre ecuaciones de planos, posiciones relativas entre planos, y distancias entre puntos y planos. Finalmente, define una recta como una sucesión continua de puntos en una sola dimensión.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario politécnico Santiago Mariño
Extensión Porlamar
Planos y rectas en el espacio
Realizado por:
Jose cortesía.
CI: 26.469.557
Sección 3 C.
Profesor: Domingo Méndez

2. Plano
Cuando se habla de un plano, se hace referencia a la superficie geométrica que no
posee volumen, es decir, que es solo bidimensional y que posee un número infinito de
rectas y puntos que lo cruzan de un lado a otro.
Si el sistema en si es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto
de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce
como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números
enteros de las equis ( x); y al eje vertical o de las ordenadas se le asigna los números
enteros de las (y). al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o
zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:
Primer cuadrante I: Región superior derecha
Segundo cuadrante II: Región superior izquierda
Tercer cuadrante II: Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante IV: Región inferior derecha
El plano cartesiano se utiliza para asignar una ubicación a cualquier punto en el plano.
La ecuación del eje X es y=0, y la de Y es x=0, rectas que se cortan en el origen Ό, cuyas
coordenadas son (0,0).
Se denomina también eje de abscisas al eje X, y eje de la coordenadas al eje Y. Los ejes
dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III, IV, en los que los signos de las
coordenadas alteran de positivo a negativo.
Ejemplo: las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras las del punto B
serán ambas negativas.

3. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del
segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos
parale4los a los ejes y de modulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición
del punto A se define del origen con las componentes del vector OA.
𝑂𝐴̅̅̅̅ = X A i + Y A j
La posición del punto A será:
A= (XA, YA)
La lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como los
componentes de un vector matricial.
La distancia de dos puntos cualquiera vendrá dada por la expresión:
d 𝐴𝐵̅̅̅̅̅= √(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴)2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)2
Aplicación del teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando coordenadas a coordenadas, las del
punto de origen de las del punto de destino.
𝐴𝐵̅̅̅̅ = (XB-XA) i + (YB- YA) j
Evidentemente, el modulo del vector AB será la distancia 𝑑𝐴𝐵 entre los puntos A y B
antes calculados.
Plano Euclideo
Está conformado por un sistema de referencia donde existen dos rectas
perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto en el plano puede nombrarse
mediante dos números(x, y), que son las coordenadas del punto llamadas abscisas y
ordenadas respectivamente, que son las distancias ortogonales que dicho punto con
respecto a los ejes cartesianos.
Plano R3
En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los
cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).
 Dos planos o son paralelos o se interceptan en una línea.

4.  Una línea es paralela a un plano o intercepta al mismo en un punto o es contenida
por el plano mismo.
 Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre
sí.
 Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre
sí.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo un
plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
 Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número
infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.
Ecuación del plano:
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos
vectores:
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)
(x,y,z)= (𝒙 𝟏, 𝒚 𝟏 , 𝒛 𝟏 ) + 𝒎( 𝒖 𝒛, 𝒖 𝒚, 𝒖 𝒛) + 𝒏( 𝒂 𝟐,𝒃 𝟐 , 𝒄 𝟐)
Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial
de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:
a( X- Y)+ b ( Y-K) + c (Z-J) = 0
Posición relativa entre dos planos
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un
plano 2 con un punto B y un vector norma 2.
Sus posiciones relativas pueden ser:
 Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A
pertenece al plano 2.
 Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A
no pertenece al plano 2.
 Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

5. Distancia de un punto a un plano
Para un plano cualquiera II: az+ by + d=0 y un punto 𝑷1 =( 𝑍1, 𝑌1, 𝑍1) cualquiera no
necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre P1 y el
plano Π es:
D =
| 𝑎𝑧1+ 𝑏𝑦1+𝑐𝑧1+𝑑 |
√𝑎2+𝑏2+𝑐2
De lo anterior se deduce que el punto P1 pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera
están normalizados, esto es cuando√𝑎2+𝑏2 + 𝑐2 = 1 , entonces la fórmula anterior
de la distancia D se reduce a:
D = | 𝑎𝑧1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑|.
Recta en el espacio
La recta o la línea recta se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola
dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está compuesta de
infinitos segmentos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión
continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, es decir, no posee
principio ni fin.
Si P ( 𝑥1, 𝑦1) es un punto recta r, el vector 𝑝𝑥̅̅̅ tiene igual dirección que
𝑈.̅ 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑈̅ multiplicado por un escalar:
𝑃𝑋̅̅̅̅̅ = 𝑋. 𝑈̅
(X- 𝑋0, 𝑌 − 𝑌0,𝑍 − 𝑍0) = ℷ(𝑈1,𝑈2,𝑈3)