Calculo Numerico y Manejo de Errores

1. Ivan Andrés Gobbo Vivas
C.I. 21.299.216

2. Análisis Numérico
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de
diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular
procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.
Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos,
pero en última instancia operan con números binarios y operaciones
matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo
el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos
susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan
su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

3. Numero Maquina
Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros(0) y unos(1) de
base 2.
El termino “ representación maquina ”o “ representación binaria ”
significa que es de base 2, la mas pequeña posible; este tipo de
representaciones requiere menos dígitos, pero en lugar de un número
decimal exige de mas lugares.
Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las
computadoras digitales usan componentes de apagado/encendido, o
para una conexión eléctrica abierta/cerrada

4. Numero maquina decimal

5. Importancia de los métodos numéricos
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a
fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una
computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y
resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para
dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras
sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios
científicos básicos.

6. -El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto (un número
determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el
valor exacto menos el valor calculado"; debido a que la ecuación se dio en
términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues,
una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin
reducirse.
-Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor
exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error.
Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea
el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene
unidades.
Error absoluto y Error relativo

7. Cotas de error
Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto
(ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar
cotas superiores de esos errores. Cuanta más pequeña sean esas cotas
superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta
de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, " x Î
[a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces: Esto nos da una cota del error al tomar una
aproximación de la solución exacta, conociendo una cota inferior del valor
absoluto de la derivada. Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz
aproximada Pn se estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el
número |f(Pn)| es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación
de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una buena
aproximación de la solución exacta P.

8. Fuentes básicas de errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el
número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC
(para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las
formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas
y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las
aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de
Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos
numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde
aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por
uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

9. Errores de truncamiento
Truncamiento
En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término
usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal,
descartando los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3,14159265358979...
32,438191288
6,3444444444444
Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos
a la derecha de la coma decimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444

10. Error de redondeo
Redondeo
Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un
número a partir de su representación decimal, para obtener un valor
aproximado.
Reglas de redondeo
Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número
decimal, podemos dar una aproximación de ese número de menos
cifras de dos formas:
Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo
π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las
diezmilésimas π = 3,1415
Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos
uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que
omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando el
número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las
milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es
preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error
menor.

11. Errores de suma y resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la
máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El
análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos
interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos
bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las
que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la
división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae
como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.

12. Estabilidad e inestabilidad
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los
cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es
numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada
aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso
numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en
alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan
seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto. El que un proceso sea
numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los
errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal
condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente
pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio
relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula
puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los
cálculos.

13. Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal
para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de
pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal
condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes
cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir
un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como
la razón de los errores relativos". Si el número de condición es grande
significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en
cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir
para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para
la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de
número de condición; el número condicionado proporciona una medida de
hasta qué punto la incertidumbre aumenta.