1) El documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición como suma de términos con potencias de una variable y la suma, producto y división de polinomios. 2) Explica que el teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio tiene al menos una raíz y describe cómo factorizar un polinomio en función de sus raíces. 3) Presenta la regla de Ruffini para realizar operaciones como evaluar un polinomio o dividir polinomios.

1. LA CLASE VIRTUAL
POLINOMIOS

2. POLINOMIOS
Dados el número natural n y los n+1
números reales o complejos a0,a1,…,an (los
llamados coeficientes) se define el
polinomio p en la variable x como la
función que hace corresponder al valor que
tome x el valor
p(x)=a0+a1x+a2x2
+…+anxn
Se dice que los polinomios p y q son
idénticos si x),x(q)x(p ∀=

3. POLINOMIOS
Se dice que el grado del polinomio p es n
cuando an es distinto de cero. El polinomio
idénticamente nulo 0 carece de grado.
Todos sus coeficientes valen cero y se
verifica que
Dos polinomios p y q son idénticos cuando
coinciden sus coeficientes, esto es, p-q=0.
A veces se habla del polinomio p(x),
entendiendo que se refiere al polinomio p
x,0)x(0 ∀=

4. POLINOMIOS
La suma de los polinomios p y q es el
polinomio r de modo que
Sumar polinomios equivale sumar los
coeficientes que afectan a la misma
potencia de x.
∑∑∑ ===
=+
=+=
)m,nmax(
0k
k
k
m
0j
j
j
n
0i
i
i xcxbxa
)x(q)x(p)x(r

5. POLINOMIOS
El producto de los polinomios p y q es el
polinomio s de modo que
Nótese que el grado del polinomio suma r
es a lo sumo el máximo de n y m.
∑∑∑
∑∑
+
== =
+
==
=
=













==
mn
0k
k
k
n
0i
m
0j
ji
ji
m
0j
j
j
n
0i
i
i
xdxba
xbxa)x(q)x(p)x(s

6. POLINOMIOS
Análogamente el grado del polinomio
producto s es a lo sumo m+n.
El cociente de dos polinomios no siempre
es otro polinomio. Cuando el cociente f/g
del polinomio f y el polinomio g es otro
polinomio se dice que g divide a f o que f es
múltiplo de g.
La división por el polinomio nulo no está
permitida.

7. POLINOMIOS
En general la división de un polinomio f
dividendo por un polinomio g divisor
origina un polinomio cociente q y un
polinomio resto r, de modo que
– 1º f=qg+r, o lo que es lo mismo,
– 2º El grado de r es menor que el grado de g
o bien r es nulo.
Nota: f/g es un polinomio si y sólo si r=0.
x),x(r)x(g)x(q)x(f ∀+=

8. POLINOMIOS
Ejemplo:
(resto)3x2
2x3x
1xx
(cociente)1xx2x3x
2x3x1xx2x
)2x3x/()1xx2x(
2
2
33
223
223
−
+−
−−
++−
+−−+−
+−−+−

9. POLINOMIOS
El máximo común divisor de f y g
(abreviadamente m.c.d.) es el divisor común
de mayor grado con an=1.
El mínimo común múltiplo de f y g
(abreviadamente m.c.m.) es el múltiplo
común de menor grado con an=1.
Se dice que f y g son primos entre sí si el
máximo común divisor es el polinomio
constante unidad.

10. POLINOMIOS
El algoritmo euclidiano permite obtener el
mcd de f y g de un modo sencillo:
1º f=qg+r
2º g=q´r+r´
3º r=q´´r´+r´´ …
hasta que el resto sea nulo.
El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.

11. POLINOMIOS
Ejemplos:
– El m.c.d. de x4
-3x2
+2 y x4
+x3
-x-1 es x2
-1
– El m.c.m de x2
-9 y x2
-5x+6 es (x-3)(x+3)(x+2)
– Los polinomios 8x3
-10x2
-x+3 y 2x3
-5x2
-x+6 son
primos entre sí.

12. POLINOMIOS
El teorema fundamental del Álgebra afirma
que todo polinomio p de grado n tiene al
menos un cero, esto es, la ecuación p(x)=0
admite al menos una solución (real o
compleja).
Teorema: Es α un cero de p si y sólo si p(x)
es divisible por x-α.

13. POLINOMIOS
Se justifica el teorema ya que siendo
p(x)=q(x)(x-α)+r con r polinomio constante
o nulo, si p(x) es divisible por x-α debe ser
r nulo, esto es, p(x)=q(x)(x-α) por lo que
p(α)=q(α)(α -α) =0 y α es un cero de p;
recíprocamente, si α es un cero de p es
p(α)=0, luego 0=q(α)(α -α)+r y de aquí
r=0, esto es, p(x) es divisible por x-α .

14. POLINOMIOS
Si α es un cero de p el polinomio p se puede
factorizar de la forma
p(x)=q(x)(x-α)
donde (x-α) es un factor lineal y el grado de
q una unidad inferior al grado de p. Se
podría volver a factorizar q y así
sucesivamente hasta llegar a la
descomposición en factores lineales de p
p(x)=an(x-α1) (x-α2) (x-α3)... (x-αn)

15. POLINOMIOS
Los n ceros obtenidos (repetidos o no)
α1,α2,α3... αn son ceros del polinomio p de
grado n. Cuando los coeficientes del
polinomio p son reales y p posee un cero
imaginario de la forma a=a+ib entonces
también el conjugado a-ib es un cero de p.
En este caso se pueden agrupar los dos
factores lineales (x-(a+ib))(x-(a-ib)) en un
factor cuadrático de la forma (x2
+cx+d).

16. POLINOMIOS
Si α1,α2,α3... αk son los ceros distintos del
polinomio p de grado n, con multiplicidades
respectivas m1,m2,m3... mk se puede
factorizar p de la forma:
Se puede probar que si α es un cero de p de
multiplicidad m, mayor que la unidad,
también α es un cero de las derivadas
sucesivas, hasta el orden de derivación m-1.
k21 m
k
m
2
m
1n )x...()x()x(a)x(p α−α−α−=

17. POLINOMIOS
La regla de Ruffini se puede utilizar para:
– 1º Hallar p(β), donde p es un polinomio y β un
valor numérico cualquiera
– 2º Hallar el cociente y el resto de la división del
polinomio p(x) y el polinomio x-β.
– 3º Transformar un polinomio p(x) en un
polinomio q(y), mediante la sustitución y=x-β.
En este caso hay que apoyarse en el desarrollo
de Taylor.
∀

18. POLINOMIOS
Ejemplo: División de p(x)=5x4
+10x3
+x-1
por x+2. Aquí se tiene β=-2.
El cociente de la división de p(x) por (x+2)
es 5x3
+1 y el resto -3, precisamente el valor
de p(-2). Se tiene p(x)= (5x3
+1 )(x+2)-3
310052
20010
110105
−−
−−
−

19. POLINOMIOS
Ejemplo: El desarrollo de Taylor del
polinomio p(x)=5x4
+10x3
+x-1 en x=-2 es
Los valores de p y de sus derivadas son
calculables por Ruffini en x=-2, llegando a
p(x)=5(x+2)4
-30(x+2)3
+60(x+2)2
-39(x+2)-3
2x
4
4
4
2x
3
3
3
2x
2
2
2
2x
dx
pd
)2x(
¡4
1
dx
pd
)2x(
¡3
1
dx
pd
)2x(
¡2
1
dx
dp
)2x(
¡1
1
)2(p)x(p
−=−=
−=−=






++





+
+





++





++−=