Algebra Lineal

1. ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL
Algebra Lineal
Jonathan López
Jonathan Naranjo

2. SUMA DE SUBESPACIOS
VECTORIALES
 La suma de dos s.e.v con la siguiente notación:
sea (V, K, +, * )
W1 + W2= { u ∈ V / u=w1+w2, w1 ∈ W1 ∧ w2 ∈W2 }
CALCULO DE LA SUMA
W1 + W2 = < B1 +B2 >
B1: base de W1
B2: base de W2

3. SUMA DIRECTA DE S.E.V
 W1 + W2 = W1 + W2 si y solo si :
W1 W2={ Ov}
TEOREMA DE LA DIMENSION
Dim (w1+w2)= dim w1 + dim w2 – dim w1 ∩ w2
Ejemplo:
3 = 2 + 1 - dim w1 ∩ w2
Dim (w1 ∩ w2)= 0
W1 ∩ W2 = {0,0,0}
+

4. Ejemplo
W1={(x,y,z)R^3/x-y=0}
W2={(x,y,z)R^3/ 2x-z=0, 2x=2y}
(a)W1 ∩ W2
W1 int. W2 = {(x,y,z)R^3/ x-y=0, 2x-z=0,2x=2y}
base [x-y=0,2*x-z=0,2*x=2*y]
generado por el vector (1,1,2)
W1 ∩ W2 = W2
(b)Para calcular W1+W2
calculemos primero una base de W1 y W2

5. Nota: Se observa que no existe
suma directa
W1 [x-y=0,z=z,0]
W1 = L{(1,1,0),(0,0,1)}
W2 [2*x-z=0,2*x=2*y,0]
W2=L{(1,1,2)}
Por tantoW1+W2= L{(1,1,0),(0,0,1),(1,1,2)}
Veamos si son L.I
u:=[1,1,0] v:=[0,0,1] w:=[1,1,2]
a*u+b*v+c*w=[0,0,0]
son L.D. por tanto veamos si eliminando w son L.I.
a*u+b*v=[0,0,0}
se concluye que
W1+W2 = W1
c) No se puede obtener la suma directa pues la interseccion no es vacia.