Este documento describe las operaciones básicas con polinomios, incluyendo la suma, resta, multiplicación y división de polinomios. También explica conceptos como las identidades notables, el teorema del valor del resto, la regla de Ruffini para simplificar divisiones, y las definiciones de raíz y raíz doble de un polinomio.

2.  La suma de dos polinomios es otro
polinomio formado por la suma de los
monomios semejantes y por los
monomios no semejantes de ambos. Ej:
P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 -
x - 4 -> P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2
 Para restar dos polinomios se suma al
minuendo el opuesto del sustraendo. Ej:
P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 - 8x2 + x + 10

3.  La multiplicación de dos polinomios es
igual a otro polinomio cuyos términos
resultan de multiplicar cada monomio
de un factor por todos los monomios del
otro y después sumar los términos
semejantes. Ej: 3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) =
6x3 − 9x2 + 12x − 6

4.  Identidades notables es el nombre que
reciben unas multiplicaciones especiales
de binomios:
- La suma de dos monomios por la diferencia de los mismos
monomios es igual a la diferencia de los cuadrados de los
monomios.
- El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al
cuadrado del primer monomio más el doble del producto
del primero por el segundo más el cuadrado del segundo
- El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al
cuadrado del primer monomio menos el doble del producto
del primero por el segundo más el cuadrado del segundo

5.  Se llama división entera de un polinomio
P(x) de grado m entre otro Q(x) de
grado n al proceso por el cual se
obtienen otros dos polinomios C(x) y
R(x). Para este proceso seguimos los
siguientes pasos:

6. 1- Ordenar el dividendo y el divisor por grados de
mayor a menor.
2- Buscar el monomio que multiplicado por el grado
mayor del divisor dé el grado mayor del dividendo.
3- Se multiplica el monomio por todos los monomios
del divisor y se cambian de signo, colocándose en
sus respectivos grados.
4- Se suma o se resta cada grado.
5- Repetimos el procedimiento.
6- Acabamos cuando el grado del resto es menor
que el grado del divisor.

7.  El resto de la división de un polinomio P(x),
entre (x - a) es igual al valor numérico del
polinomio para x = a.
 Para demostrar este teorema hay que
tener en cuenta que si se divide un
polinomio entre (x – a), el resto debe ser de
grado cero, es decir, un número que
llamaremos r. Por otra parte, en toda
división de polinomios se cumple que el
dividendo es igual al divisor por el cociente
más el resto:
- P(x) = (x – a) · C(x) + r

8.  La regla de Ruffini es un procedimiento que
simplifica las operaciones en una división
en la que el divisor es de la forma x – a.
 La simplificación se basa en lo siguiente:
- Si el divisor es de grado 1, el grado del
cociente es una unidad inferior al grado
del dividendo y el grado del resto es
siempre cero.
- Conocido el grado del polinomio cociente
y el del resto, falta por averiguar cómo se
pueden calcular los coeficientes de cada
uno.

9.  Un número r es raíz de un polinomio si el
valor numérico de ese polinomio para x = r
es cero.
 Un número r, es raíz doble de P(x) si es raíz
de P(x) y también es raíz del cociente que
resulta al dividir P(x) entre x – r.