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FUNCIONES El  dominio  de una función es el conjunto original de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el dominio es el subconjunto A C  R  formado por todos los elementos x que tienen imagen y = f(x). Dom f(x)  = {x  ∊   R   | existe y = f(x)  ∊   R  } El  recorrido  o  imagen  de una función es el conjunto imagen de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el recorrido o imagen es el subconjunto B C  R  formado por todos los elementos y para los cuales existe al menos un elemento x del dominio tal que f(x) = y, es decir, B = f(A). Rec f(x)  = {y  ∊   R  | existe x  ∊  Dom f(x) con f(x) = y} Una  función  es una aplicación entre dos conjuntos A y B, tal que a cada elemento de  A  ( conjunto   original ) le corresponde un único elemento de  B  ( conjunto final ), de la siguiente forma: f: A  B x  y = f(x) y es la  imagen  por f de x x es la  antiimagen  de y por f Dada una función,  f , para cada valor x  ∊  A, existe un único elemento y = f(x)  ∊  B. La afirmación inversa  no  siempre es cierta. Si f: A  B y A y B son subconjuntos de  R , la función se denomina  función real de variable real .
C ÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Funciones polinómicas f(x) = p 0  + p 1 x + p 2 x 2  + … + p n x n Dom f(x) =  R Funciones racionales f(x) = Dom f(x) = {x   ∊   R   | q(x)  ≠  0} Funciones definidas a trozos Su expresión analítica es diferente  para distintos valores reales. El  dominio se determina uniendo  los diferentes subconjuntos para  los cuáles está definida. Ejemplo: dom f(x) = (- ∞ , 2] U (5, + ∞ ) Funciones irracionales f(x) = Si n es par  Dom f(x) = {x   ∊   R   | g(x) ≥ 0} Si n es impar  Dom f(x) =  Dom g(x) n g ( x )
C ÁLCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN Para calcular el recorrido de funciones podemos utilizar la gráfica y calcular la  proyección  sobre el eje de ordenadas. Rec f(x) =  R  –  {0} Rec f(x) = (-∞, f(a)] Rec f(x) = [-1, 1] Rec f(x) =  Z Rec  f (x ) = { - 2 } U [ - 1, 1 2 ] Rec  f (x ) = ( - ∏ 2 ,  ∏ 2 )
CARACTER ÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (I) f(x) es  creciente  en (a, b) si para cualquier x 1 , x 2 , con x 2  > x 1 , se cumple que f(x 2 ) ≥ f(x 1 ). En caso de que f(x 2 ) > f(x 1 ), la función es  estrictamente   creciente . Monotonía Es la variación de la función con respecto a la variable independiente x. f(x) es  decreciente  en (a, b) si para cualquier x 1 , x 2 , con x 2  > x 1 , se cumple que f(x 2 ) ≤ f(x 1 ). En caso de que f(x 2 ) < f(x 1 ), la función es  estrictamente   decreciente . Signo de una función   Se trata de determinar para qué valores de su dominio es f(x) > 0 y f(x) < 0. f(x) > 0  si su gráfica está situada por encima  del eje de abscisas f(x) < 0  si su gráfica está situada por  debajo  del eje de abscisas  キ   Periodicidad Una función es  periódica de periodo T  si  f(x) = f(x + T)  con x Є Dom f
CARACTER ÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (II) Acotación Función  acotada superiormente  f(x) ≤ k con x Є Dom f ; k es una  cota superior  de la función  Función  acotada inferiormente  f(x) ≥ k con x Є Dom f ; k es una  cota inferior  de la función Función  acotada   |f(x)| ≤ k, con k positivo (f acotada superior e inferiormente) Simetrías Función  par   f(-x) = f(x) con x Є Dom f  su gráfica es simétrica con respecto del  eje de ordenadas Función  impar   f(-x) = - f(x) con x Є Dom f  su gráfica es simétrica con respecto del  origen de coordenadas
OPERACIONES CON FUNCIONES   Potenciación de funciones (f g )(x) = [f(x)] g(x)  donde f(x) > 0 con x Є Dom f Dom f g  = Dom f    Dom g Multiplicación de funciones (f · g)(x) = f(x) · g(x) Dom (f · g) = Dom f    Dom g Tiene la propiedad  asociativa ,  conmutativa , elemento neutro  f(x) = 1 ( f 1 ) y  distributiva respecto de la adición [f · (g + h) = f · g + f · h]  Adición de funciones (f + g)(x) = f(x) + g(x) Dom (f + g) = Dom f    Dom g Tiene la propiedad  asociativa ,  conmutativa , elemento neutro  f(x) = 0 y  elemento   opuesto  –f  Resta de funciones (f - g)(x) = f(x) + g(x) Dom (f - g) = Dom f    Dom g   División de funciones  Dom f g =  { Do m f     Dom g } – { x Do m  g | g ( x) =  0 }  f g ( x ) =  f ( x ) g ( x ) Composición de funciones f compuesta de g  (g  ◦  f) x  f(x)  g[f(x)] = (g  ◦  f)(x) Dom (g  ◦  f) = Dom f     f -1  (Dom g)  f g
FUNCIÓN INVERSA Función  suprayectiva  o  exhaustiva  si y solo si, su  recorrido son todos los números reales [Rec f =  R ] Función  biyectiva  si y solo si  es inyectiva y  suprayectiva al mismo tiempo Cálculo de la función inversa El procedimiento es el siguiente: Se hace que f(x) = y Se intercambian x e y Se despeja y en función de x Función  inyectiva  si y solo si, f(a) = f(b)  a = b Dada una función  inyectiva  f(x), se denomina  función   inversa ,  f -1 (x) , a aquella que cumple lo siguiente: (f  ◦  f -1 )(x) = (f -1   ◦  f)(x) = x La función inversa de f es aquella que invierte (x, f(x)), es decir, a la imagen de x por f le hace corresponder de nuevo x.

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  • 1. FUNCIONES El dominio de una función es el conjunto original de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el dominio es el subconjunto A C R formado por todos los elementos x que tienen imagen y = f(x). Dom f(x) = {x ∊ R | existe y = f(x) ∊ R } El recorrido o imagen de una función es el conjunto imagen de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el recorrido o imagen es el subconjunto B C R formado por todos los elementos y para los cuales existe al menos un elemento x del dominio tal que f(x) = y, es decir, B = f(A). Rec f(x) = {y ∊ R | existe x ∊ Dom f(x) con f(x) = y} Una función es una aplicación entre dos conjuntos A y B, tal que a cada elemento de A ( conjunto original ) le corresponde un único elemento de B ( conjunto final ), de la siguiente forma: f: A B x y = f(x) y es la imagen por f de x x es la antiimagen de y por f Dada una función, f , para cada valor x ∊ A, existe un único elemento y = f(x) ∊ B. La afirmación inversa no siempre es cierta. Si f: A B y A y B son subconjuntos de R , la función se denomina función real de variable real .
  • 2. C ÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Funciones polinómicas f(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + … + p n x n Dom f(x) = R Funciones racionales f(x) = Dom f(x) = {x ∊ R | q(x) ≠ 0} Funciones definidas a trozos Su expresión analítica es diferente para distintos valores reales. El dominio se determina uniendo los diferentes subconjuntos para los cuáles está definida. Ejemplo: dom f(x) = (- ∞ , 2] U (5, + ∞ ) Funciones irracionales f(x) = Si n es par Dom f(x) = {x ∊ R | g(x) ≥ 0} Si n es impar Dom f(x) = Dom g(x) n g ( x )
  • 3. C ÁLCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN Para calcular el recorrido de funciones podemos utilizar la gráfica y calcular la proyección sobre el eje de ordenadas. Rec f(x) = R – {0} Rec f(x) = (-∞, f(a)] Rec f(x) = [-1, 1] Rec f(x) = Z Rec f (x ) = { - 2 } U [ - 1, 1 2 ] Rec f (x ) = ( - ∏ 2 , ∏ 2 )
  • 4. CARACTER ÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (I) f(x) es creciente en (a, b) si para cualquier x 1 , x 2 , con x 2 > x 1 , se cumple que f(x 2 ) ≥ f(x 1 ). En caso de que f(x 2 ) > f(x 1 ), la función es estrictamente creciente . Monotonía Es la variación de la función con respecto a la variable independiente x. f(x) es decreciente en (a, b) si para cualquier x 1 , x 2 , con x 2 > x 1 , se cumple que f(x 2 ) ≤ f(x 1 ). En caso de que f(x 2 ) < f(x 1 ), la función es estrictamente decreciente . Signo de una función Se trata de determinar para qué valores de su dominio es f(x) > 0 y f(x) < 0. f(x) > 0 si su gráfica está situada por encima del eje de abscisas f(x) < 0 si su gráfica está situada por debajo del eje de abscisas キ Periodicidad Una función es periódica de periodo T si f(x) = f(x + T) con x Є Dom f
  • 5. CARACTER ÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (II) Acotación Función acotada superiormente f(x) ≤ k con x Є Dom f ; k es una cota superior de la función Función acotada inferiormente f(x) ≥ k con x Є Dom f ; k es una cota inferior de la función Función acotada |f(x)| ≤ k, con k positivo (f acotada superior e inferiormente) Simetrías Función par f(-x) = f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del eje de ordenadas Función impar f(-x) = - f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas
  • 6. OPERACIONES CON FUNCIONES Potenciación de funciones (f g )(x) = [f(x)] g(x) donde f(x) > 0 con x Є Dom f Dom f g = Dom f  Dom g Multiplicación de funciones (f · g)(x) = f(x) · g(x) Dom (f · g) = Dom f  Dom g Tiene la propiedad asociativa , conmutativa , elemento neutro f(x) = 1 ( f 1 ) y distributiva respecto de la adición [f · (g + h) = f · g + f · h] Adición de funciones (f + g)(x) = f(x) + g(x) Dom (f + g) = Dom f  Dom g Tiene la propiedad asociativa , conmutativa , elemento neutro f(x) = 0 y elemento opuesto –f Resta de funciones (f - g)(x) = f(x) + g(x) Dom (f - g) = Dom f  Dom g División de funciones  Dom f g = { Do m f  Dom g } – { x Do m g | g ( x) = 0 }  f g ( x ) = f ( x ) g ( x ) Composición de funciones f compuesta de g (g ◦ f) x f(x) g[f(x)] = (g ◦ f)(x) Dom (g ◦ f) = Dom f  f -1 (Dom g) f g
  • 7. FUNCIÓN INVERSA Función suprayectiva o exhaustiva si y solo si, su recorrido son todos los números reales [Rec f = R ] Función biyectiva si y solo si es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo Cálculo de la función inversa El procedimiento es el siguiente: Se hace que f(x) = y Se intercambian x e y Se despeja y en función de x Función inyectiva si y solo si, f(a) = f(b) a = b Dada una función inyectiva f(x), se denomina función inversa , f -1 (x) , a aquella que cumple lo siguiente: (f ◦ f -1 )(x) = (f -1 ◦ f)(x) = x La función inversa de f es aquella que invierte (x, f(x)), es decir, a la imagen de x por f le hace corresponder de nuevo x.