Este documento describe la transformada de Fourier discreta (DFT), que permite representar una secuencia de duración finita como una combinación de ondas senoidales de frecuencias discretas. Explica que la DFT de una secuencia de longitud N proporciona N muestras de su espectro de Fourier. También describe propiedades clave de la DFT como linealidad, desplazamiento circular, dualidad y simetría.

1. Practica9. Transformada de Fourier Discreta
Acevedo Reyes Miguel Ángel
REPRESENTACIÓN DE FOURIER
DE SECUENCIAS DE DURACIÓN
FINITA: LA TRANSFORMADA
DISCRETA DE FOURIER. 𝟏
Comenzaremos con la
consideración de una secuencia 𝑥[𝑛]
con longitud finita de 𝑁 muestras, de
forma que 𝑥[𝑛] = 0 fuera del
Intervalo 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1.En
muchos casos, será conveniente
suponer que la longitud de la
secuencia es 𝑁 incluso aunque su
longitud real sea 𝑀 ≤ 𝑁. En esos
casos, simplemente las últimas (𝑁 −
𝑀) muestras valdrán cero. Siempre
podemos asociar a cada secuencia
finita de longitud 𝑁 una secuencia
periódica.
𝑥̃[ 𝑛] = ∑ 𝑥[ 𝑛 − 𝑟𝑁]∞
𝑟=−∞ (1)
La secuencia de longitud finita
𝑥[𝑛] se puede recuperar a partir de
𝑥̃[ 𝑛] si se evalúa en un solo periodo,
es decir:
𝑥[ 𝑛] = {
𝑥̃[ 𝑛], 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁
0, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜
(2)
Los coeficientes del desarrollo
en serie de Fourier de 𝑥̃[ 𝑛] son
muestras (separadas en frecuencia
2𝜋/𝑁) de la transformada de Fourier
de 𝑥[𝑛].
Como se supone que 𝑥[𝑛]
tiene longitud finita 𝑁, no hay
solapamiento entre los términos
𝑥[𝑛 − 𝑟𝑁 ] para los diferentes valores
de 𝑟. La Ecuación (2) se puede
escribir de otra forma:
𝑥̃[ 𝑛] = [( 𝑛 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑁)] = 𝑥[((𝑛)) 𝑁] (3)
En consecuencia, las
muestras en frecuencia 𝑋 (
2𝜋𝑘
𝑁
) , 𝑘 =
0,1 …, 𝑁 − 1, representan de forma
unívoca la secuencia de duración
finita 𝑥[𝑛]. Dado que 𝑥[𝑛] ≡ 𝑥 𝑝[𝑛] en
un sólo periodo (rellenando con 0 la
diferencia que pudiera existir), la
secuencia de duración finita original
𝑥[𝑛] puede obtenerse a partir de las
muestras en frecuencia ecuación
𝑋 (
2𝜋𝑘
𝑁
) por medio de la fórmula:
𝑋 𝑃[ 𝑛] =
1
𝑁
∑ 𝑋 (
2𝜋
𝑁
𝑘)𝑒
𝑗(
2𝜋𝑘𝑛
𝑁
)
, 𝑛 = 0,.. ,𝑁
𝑘=0 𝑁 − 1(4)
Obsérvese que el rellenar con
ceros no proporciona ninguna
información adicional sobre el
espectro de 𝑋( 𝜔). Sin embargo, al
rellenar la secuencia 𝑥[𝑛] con 𝑁 − 𝐿
ceros y calcular la DFT de N puntos
se obtiene una “mejor”
representación gráfica de la
transformada de Fourier 𝑋( 𝜔) .
En resumen, una secuencia
de distribución finita 𝑥[𝑛] de longitud
L, es decir, 𝑥[𝑛] = 0 para 𝑛 < 0 y
𝑛 ≥ 𝐿, tiene transformada de Fourier
𝑋( 𝜔) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛𝐿−1
𝑛=0 ,0 ≤ 𝜔 ≤ 2𝜋 (5)
Donde los índices superior e inferior
del sumatorio reflejan el hecho de
que 𝑥[𝑛] = 0 fuera del intervalo 0 ≤
𝑛 ≤ 𝐿 − 1. Cuando muestreamos
𝑋(𝜔) en frecuencia equiespaciadas
𝜔 𝑘 =
2𝜋𝑘
𝑁
, 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1, donde
𝑁 ≥ 𝐿, las muestras resultantes son:
𝑋[ 𝑘] ≡ 𝑋 (
2𝜋𝑘
𝑁
) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒
−𝑗(
2𝜋𝑘
𝑁
)𝑛
𝐿−1
𝑛=0
𝑋[ 𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]𝑁−1
𝑛=0 𝑊𝑁
𝑘𝑛
, 𝑘 = 0,. ., 𝑁 − 1(6)

2. siendo 𝑊𝑁 = 𝑒
−𝑗(
2𝜏𝜋
𝑁
)
.
La ecuación que nos permite
recuperar la secuencia 𝑥[𝑛] a partir
de las muestras en frecuencia es:
𝑥[ 𝑛] =
1
𝑁
∑ 𝑋[ 𝑘] 𝑊𝑁
−𝑘𝑛
𝑛 = 0, … , 𝑁 − 1𝑁−1
𝑘=0 (7)
La que se denomina DFT inversa
(IDFT). Claramente, cuando x[n]
tiene longitud 𝐿 < 𝑁, la IDFT de N
puntos da x[n]=0 para 𝐿 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1.
Resumiendo, las fórmulas para la
DFT y la IDFT son:
DFT
𝑋[ 𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]𝑁−1
𝑛=0 𝑊𝑁
𝑘𝑛
, 𝑘 = 0,. ., 𝑁 − 1(8)
IDFT
𝑥[ 𝑛] =
1
𝑁
∑ 𝑋[ 𝑘] 𝑊𝑁
−𝑘𝑛𝑁−1
𝑘=0 , 𝑛 = 0, … , 𝑁 − 1(9)
Es interesante considerar la DFT y
la IDFT como transformadas lineales
de las secuencias x[n] y X[k],
respectivamente. Definimos el vector
𝒙 𝑁 de N puntos de la secuencia x[n],
n=0,…,N-1, el vector 𝑿 𝑵 de N de las
muestras en frecuencia, y la matriz
𝑁 × 𝑁, 𝑾 𝑁, como:
𝑿 𝑁 = 𝑾 𝑁 𝒙 𝑁 (10)
donde 𝑾 𝑁 es la matriz de
transformación lineal. Obsérvese
que 𝑾 𝑁 es una matriz simétrica.
Suponemos que existe la inversa de
𝑾 𝑁, entonces podemos invertir (10)
multiplicando ambos lados por 𝑾 𝑁
−1
.
Por lo tanto, se obtiene
𝒙 𝑁 = 𝑾 𝑁
−1
𝑿 𝑁 (11)
Lo que es simplemente una
expresión para la IDFT.
De hecho, la IDFT dada por (11) ,
puede expresarse en forma matricial
como
𝒙 𝑁 =
𝟏
𝑵
𝑾 𝑁
∗
𝑿 𝑁 (12)
donde 𝑾 𝑁
∗
denota la matriz compleja
conjugada de 𝑾 𝑁. De esto se
concluye que
𝑾 𝑁
−1
=
1
𝑁
𝑾 𝑁
∗
(13)
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
Linealidad
Si se combinan linealmente dos
secuencias de longitud finita 𝑥1[𝑛] y
𝑥2[𝑛] es decir,
𝑥3[𝑛] = 𝑎𝑥1[𝑛] + 𝑏𝑥2[𝑛], (14)
la DFT de 𝑥3[𝑛] es:
𝑋3[𝑘] = 𝑎𝑋1[𝑘] + 𝑏𝑋2[𝑘] (15)
Es obvio que si 𝑥1[𝑛] es de longitud
𝑁1 y 𝑥2[𝑛] es de longitud 𝑁2, la
longitud máxima de 𝑥3[𝑛] será 𝑁3 =
𝑚á𝑥(𝑁1, 𝑁2). Por tanto, para que la
Ecuación (15) tenga sentido, ambas
DFT se deben calcular con la misma
longitud 𝑁 ≥ 𝑁3. Si, por ejemplo,
𝑁1 < 𝑁2, entonces 𝑋1[𝑘] será la
DFT de 𝑥1[𝑛] aumentadaen (𝑁2 −
𝑁1) ceros. Es decir, la DFT de 𝑁2
puntos de 𝑥1[𝑛] es
𝑋[ 𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]
𝑁1−1
𝑛=0
𝑊𝑁2
𝑘𝑛
, 𝑘 = 0,.. , 𝑁 − 1

3. y la DFT de N2 puntos de 𝑥2[𝑛] es:
𝑋[ 𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]
𝑁2−1
𝑛=0
𝑊𝑁2
𝑘𝑛
, 𝑘 = 0,.. , 𝑁 − 1
En resumen, si
𝑥1[𝑛] ← 𝐷𝐹𝑇 → 𝑋1[𝑘] y
𝑥2[𝑛] ← 𝐷𝐹𝑇 → 𝑋2[𝑘]
Entonces
𝑎𝑥1[𝑛] + 𝑏𝑥2[𝑛] ← 𝐷𝐹 → 𝑇 𝑎𝑋1[𝑘]+ 𝑏𝑋2[ 𝑘] (16)
Desplazamiento circular de una
secuencia
Como hemos visto, la DFT de N
puntos de una secuencia de
duración finita 𝑥[𝑛] de longitud 𝐿 ≤ 𝑁
es equivalente a la DFT de N puntos
de una secuencia periódica 𝑥 𝑝[𝑛], de
periodo N, que se obtiene
expandiendo 𝑥[𝑛] periódicamente,
esto es,
𝑥 𝑝[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑙𝑁]∞
𝑙=−∞ (17)
Suponemos ahora que desplazamos
la secuencia periódica 𝑥 𝑝[𝑛] k
unidades hacia la derecha. Así
obtenemos otra secuencia periódica
𝑥′ 𝑝[ 𝑛] = 𝑥 𝑝[ 𝑛 − 𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑘 − 𝑙𝑁]∞
𝑙=−∞ (18)
La secuencia de duración finita
𝑥′[ 𝑛] = {
𝑥′ 𝑝, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1
0, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜
(19)
Se relaciona con la secuencia
original 𝑥[𝑛] mediante un
desplazamiento circular.
En general, el desplazamiento
circular de la secuencia se puede
representar como el índice de
módulo N. por tanto se puede
escribir:
𝑥′ 𝑝[ 𝑛] = 𝑥[(𝑛 − 𝑘)] 𝑁 (20)
Dualidad
Como la DFT está tan
estrechamente relacionada con el
desarrollo en serie de Fourier en
tiempo discreto, es razonable
esperar que la DFT exhiba una
propiedad de dualidad similar a la
del desarrollo en serie de Fourier en
tiempo discreto.
La propiedad de dualidad de
la DFT se puede obtener explotando
la relación entre la DFT y el
desarrollo en serie de Fourier, como
hicimos en la obtención de la
propiedad de desplazamiento
circular.
Con este fin, consideremos
𝑥[𝑛] y su DFT 𝑋 [𝑘], y construyamos
las secuencias periódicas
𝑥̃[𝑛] = 𝑥[((𝑛)) 𝑁] (21a)
𝑋[𝑘] = 𝑋[((𝑘)) 𝑁] (21b)
de forma que
𝑥̃[n] ← DFS → X̃ [k] (22)
Por la propiedad de dualidad
tenemos que
𝑋̃[n] ← DFS → 𝑥̃ [k] (23)

4. Propiedades de simetría
Como la DFT de x[n] es idéntica a
los coeficientes del desarrollo en
serie de Fourier de la secuencia
periódica 𝑥̃[𝑛] = 𝑥̃[((𝑛)) 𝑁], las
propiedades de simetría asociadas a
la DFT se pueden deducir de las
propiedades de simetría del
desarrollo en serie de Fourier.
Concretamente:
𝑥∗[ 𝑛] ← 𝐷𝐹𝑇 → 𝑋∗
[((−𝑘))
𝑁
],
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1, (24)
Convolución circular
Consideramos dos secuencias de
duración finita 𝑥1[𝑛] y 𝑥2[𝑛], ambas
de longitud N, cuyas DFT son 𝑋1[𝑘]
y 𝑋2[𝑘], respectivamente. Deseamos
determinar la secuencia 𝑥3[𝑛], cuya
DFT es 𝑋3[𝑘] = 𝑋1[𝑘]𝑋2[𝑘].
Tenemos que:
𝑥3[ 𝑛] = ∑ 𝑥̃1[𝑚] 𝑥̃2[𝑛 − 𝑚],𝑁−1
𝑛=0 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 −(25)
La ecuación (25) se puede reescribir
como:
𝑥3[ 𝑛] = ∑ 𝑥1[𝑚] 𝑥2[((𝑛 − 𝑚)) 𝑁],
𝑁−1
𝑛=0
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1
En esta convolución la segunda
secuencia se invierte circularmente
en el tiempo y se desplaza
circularmente con respecto a la
primera. Por esta razón, la operación
de combinar dos secuencias
mediante la esta operación se
denomina convolución circular. Más
concretamente, diremos que es una
convolución circular de N puntos,
identificando explícitamente el hecho
de que ambas secuencias tienen
longitud N (o inferior) y que las
secuencias se desplazan módulo N.
En algunas ocasiones la operación
de formar una secuencia 𝑥3[𝑛] para
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 utilizando la
ecuación anterior se indicará como:
𝑥3[𝑛] = 𝑥1[𝑛]𝑁 𝑥2[𝑛] (26)
Como la DFT de 𝑥3[𝑛] es 𝑋3[𝑘] =
𝑋1[𝑘]𝑋2[𝑘] y además 𝑋1[𝑘]𝑋2[𝑘] =
𝑋2[𝑘]𝑋1[𝑘], se deduce directamente
que,
𝑥3[ 𝑛] = ∑ 𝑥2[ 𝑚] 𝑥1[((𝑛 − 𝑚)) 𝑁],
𝑁−1
𝑛=0
0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1

5. En la siguiente tabla se reducen las propiedades de la DFT
Desarrollo:
1. Utilice la función dftmtx() para
determinar la matriz de factores
de fase de la DTF de 2,4 y 8
puntos.
Figura1. Matriz de factores de fase para DFT de
2 puntos
Figura2. Matriz de factores de fase para DFT de
4 puntos

6. Figura3. Matriz de factores de fase para DFT de
4 puntos
2. Verifique que el producto de la
matriz de factores de fase por
su transpuesta conjugada es
igual a una ,atriz escalar, utilice
las matrices del inciso (1)
Figura4. Matriz de escalar, producto de una
matiz de factores de fase para 2 puntos y su
transpuesta
Figura5. Matriz de escalar, producto de una
matiz de factores de fase para 4 puntos y su
transpuesta
Figura6. Matriz de escalar, producto de una
matiz de factores de fase para 8 puntos y su
transpuesta

7. 3. Generar 128 muestras de la
secuencia 𝑥1[ 𝑛] = cos[40𝜋𝑛/
128] y 𝑥1[ 𝑛] = cos[39𝜋𝑛/128] y
utilice la funcion fft() para
calcular la transformada de
Fourier discreta de 128 puntos.
Represente graficamente con
stem() los espectros de
magnitud y explique la
diferencia en las graficas
obtenidas.
Figura7. DFT de 128 puntos de 𝑥1[ 𝑛] = cos[40𝜋𝑛/128]
Figura8. DFT de 128 puntos de 𝑥1[ 𝑛] = cos[39𝜋𝑛/128]
Se puede observar como el derrame
espectral se encuentra más
acentuado en la Figura7 a diferencia
de la Figura6 que posee toda la
potencia concentrada en dos deltas.
Esto se debe seguramente a que
existen más cruces por 0, por parte
de la señal 𝑥1[ 𝑛] = cos[40𝜋𝑛/128]
que de 𝑥1[ 𝑛] = cos[39𝜋𝑛/128].
4. Generar 128 muestrasde la
secuencia 𝑥1[ 𝑛] = cos[40𝜋𝑛/
128] y utilizar la funcion fft(x,N)
para calcular la transformada de
Fourier discreta de 128 puntos y
256 puntos. Represente
gráficamente con stem() los
espectros de magnitud y
explique la diferencia en las
gráficas.
Figura9. DFT de 128 puntos de 𝑥1[ 𝑛] = cos[40𝜋𝑛/128]
Figura10. DFT de 256 puntos de 𝑥1[ 𝑛] = cos[40𝜋𝑛/
128]
Se puede observar como el derrame
espectral en la Figura9 es mayor,
que en la Figura8, esto se debe a
que a pesar que el numero de
puntos a analizar de la seceuncia en
el dominio de la frecuencia, no
aumento el numero de muestras en
le tiempo (ancho de la ventana).

8. 5. Verifique las siguientes
propiedades de la DFT:
a) Desplazamiento en el tiempo
Sea una secuencia
𝑦[ 𝑛] = cos(
𝜋
4
(𝑛 − 𝑘)) y 𝑁 = 32,
Figura11. Secuencia 𝑦[ 𝑛] = cos (
𝜋
4
(𝑛 − 𝑘)) con
𝒌 = 𝟎
Figura12. Espectro de magnitud de la DFT de
𝑦[ 𝑛] = cos (
𝜋
4
(𝑛 − 𝑘)) con 𝒌 = 𝟎 y 𝑁 = 32 puntos
Figura13. Espectro de fase de la DFT de 𝑦[ 𝑛] =
cos (
𝜋
4
(𝑛 − 𝑘)) con 𝒌 = 𝟎 y 𝑁 = 32 puntos
Para esta secuencia sin
desplazamiento, se puede observar
que el espectro de magnitud de la
DFT, corresponde a dos deltas, con
amplitud igual a 16 unidades,
ubicadas en 𝑚 = 4 y 𝑚 = 28, siendo
m el índice de muestra de la DFT,
𝑌[𝑚], y el espectro de magnitud
refleja que no existen componentes
imaginarias
Figura14. Secuencia 𝑦[ 𝑛] = cos (
𝜋
4
(𝑛 − 𝑘)) con
𝒌 = 𝟒
Figura15. Espectro de magnitud de la DFT de
𝑦[ 𝑛] = cos (
𝜋
4
(𝑛 − 𝑘)) con 𝒌 = 𝟒 y 𝑁 = 32 puntos
Figura16. Espectro de fase de la DFT de 𝑦[ 𝑛] =
cos (
𝜋
4
(𝑛 − 𝑘)) con 𝒌 = 𝟒 y 𝑁 = 32 puntos
Para esta secuencia, que
corresponde a la DFT, se puede
observar que el espectro de
magnitud corresponde a dos deltas,
con amplitud igual a 16 unidades,
ubicadas en 𝑚 = 4 y 𝑚 = 28, siendo
m el índice de muestra de la DFT,
𝑌[𝑚], y a diferencia de la secuencia
sin desplazamiento, aquí se
presentan componentes imaginarias
que se ven reflejadas en el espectro
de fase.
Se concluye que a pesar de no
variar la magnitud de las
componentes de la DFT, puede
variar el ángulo de fase propio de
cada muestra, lo que corresponde a
la propiedad de desplazamiento en
el tiempo.

9. b) Desplazamiento en la
frecuencia
Sea una la DFT de una secuencia
dada por
𝑌[ 𝑘] = (
1
2
)
(𝑘−𝑑)
con periòdo 𝑁 = 8
puntos y cuyo desplazamiento 𝑑 = 0
Figura17. Secuencia 𝑌[ 𝑘] = (
1
2
)
(𝑘−𝑑)
con 𝒅 = 𝟎
Figura18. Espectro de magnitud de la DFT de
𝑌[ 𝑘] = (
1
2
)
(𝑘−𝑑)
con 𝒅 = 𝟎 y 𝑁 = 8 puntos
Figura19. Espectro de fase de la DFT de 𝑌[ 𝑘] =
(
1
2
)
(𝑘−𝑑)
con 𝒅 = 𝟎 y 𝑁 = 8 puntos
Para secuencia constituida por los
términos de 𝑌[ 𝑘] sin desplazamiento,
se puede observar que la secuencia
correspondiente en el domino del
tiempo son deltas ponderadas de tal
manera que aparentan ser un
fragmento de parábola. También se
puede observar que el ángulo que
corresponde a cada muestra del
espectro de fase es apenas
apreciable.
Figura20. Secuencia 𝑌[ 𝑘] = (
1
2
)
(𝑘−𝑑)
con 𝒅 = 𝟒
Figura21. Espectro de magnitud de la DFT de
𝑌[ 𝑘] = (
1
2
)
(𝑘−𝑑)
con 𝒅 = 𝟒 y 𝑁 = 8 puntos
Figura22. Espectro de fase de la DFT de 𝑌[ 𝑘] =
(
1
2
)
(𝑘−𝑑)
con 𝒌 = 𝟒 y 𝑁 = 32 puntos
Para la secuencia correspondiente a
la IDFT, se puede observar que el
espectro de magnitud es idéntico al
observado cuando no existía
desplazamiento, 𝑦[𝑛], y a diferencia
de la secuencia sin desplazamiento,
aquí se presentan componentes
imaginarias más marcadas, que se
ven reflejadas en el espectro de
fase.
Se concluye que a pesar de no
variar la magnitud de las
componentes de la DFT, puede
variar el ángulo de fase propio de
cada muestra, lo que corresponde a
la propiedad de desplazamiento en
la frecuencia.

10. c) Multiplicación
Figura23. Espectro de magnitud y fase,
respectivamente, de 𝑋3[𝑘] obtenida por IDF de
𝑥1[ 𝑛] 𝑥2[𝑛], con 𝑥1[ 𝑛] = cos(
𝜋
3
𝑛)) y
𝑥2
[ 𝑛] = (1
3
)
𝑛
𝑢[𝑛]
Figura24. Espectro de magnitud y fase,
respectivamente, de 𝑋3[𝑘] obtenida por la convolución
circular entre las DFT’s de las secuencias, es decir,
𝑋1[ 𝑘] 𝑦 𝑋2[𝑘]
6. Verifique el teorema de
convolución de la DFT
Figura25. Espectro de magnitud y fase,
respectivamente, de 𝑋3[𝑘] obtenida por la convolución
circular entre 𝑥1[ 𝑛] = cos(
𝜋
3
𝑛))
y 𝑥2[ 𝑛] = (1
3
)
𝑛
Figura26. Espectro de magnitud y fase,
respectivamente, de 𝑋3[𝑘] obtenida por el
producto de 𝑋1[ 𝑘] y𝑋2[ 𝑘]
7. Verifique el teorema de
Perseval:
Dada la función 𝑥1[ 𝑛] = (
1
2
)
𝑛
𝑢[𝑛]
con periodo fundamental 𝑵 = 𝟖 .
Figura27. Secuencia 𝑥1[ 𝑛] = (1
2
)
𝑛
𝑢[𝑛] su espectro de
magnitud y fase, respectivamente
Conclusiones:
La DFT es proporciona una
herramienta de análisis numérico
espectral de sistemas lineales, cuya
representación es discreta para
secuencias de duración finita.
Las propiedades que tiene se
asemejan a la DTFT, pero existen
diferencias significantes que la
distinguen, entre ellas encontramos
a la convolución circular. Otra es que
al intentar recuperar una señal a
partir de sus muestras en frecuencia,
obtenemos la extensión periódica de
esta.
1. Alan V. Oppenheim, Tratamiento
Digital de Señales, Pearson
Education, 2011.