1) El documento describe sistemas lineales invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones en diferencias de coeficientes constantes.
2) Explica cómo calcular la respuesta del sistema recursivo más simple definido por la ecuación y[n]=ay[n-1]+x[n].
3) Define las respuestas natural, forzada y total de un sistema recursivo y cómo dependen de las condiciones iniciales y la señal de entrada.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Sistemas de ecuaciones lineales. Representación gráfica de sistemas, clasificación de sistemas, métodos de resolución de sistemas: sustitución, reducción e igualación y Problemas de sistemas: problemas de números, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles y problemas de naturaleza geométrica.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
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LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Elites municipales y propiedades rurales: algunos ejemplos en territorio vascónJavier Andreu
Material de apoyo a la conferencia pórtico de la XIX Semana Romana de Cascante celebrada en Cascante (Navarra), el 24 de junio de 2024 en el marco del ciclo de conferencias "De re rustica. El campo y la agricultura en época romana: poblamiento, producción, consumo"
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
1. Sistemas lineales invariantes en el
tiempo caracterizados
por ecuaciones en diferencias de
coeficientes constantes.1
Suponga que tenemos un sistema
recursivo definido mediante la siguiente
ecuación de entrada-salida:
𝑦[ 𝑛] = 𝑎𝑦[ 𝑛 − 1] + 𝑥[ 𝑛] (1)
donde a es una constante. La Figura 1
muestra el diagrama de bloques del
sistema.
Figura 1. Diagrama de bloques de un sistema recursivo
simple.
Supongamos ahora que aplicamos una
señal de entrada x[n] al sistema para𝑛 ≥ 0.
No vamos a hacer suposiciones acerca de
la señal de entrada para n < 0, pero
supondremos que existe una condición
inicial y[−1].
Dado que (1) describe la salida del
sistema implícitamente, debemos resolver
esta ecuación para obtener una expresión
explícita para la salida del sistema.
Suponga que calculamos valores
sucesivos de y(n) para𝑛 ≥ 0, comenzando
por y(0). Por tanto:
𝑦[0] = 𝑎𝑦[−1] + 𝑥[0]
𝑦[1] = 𝑎𝑦[0] + 𝑥[1] = 𝑎2𝑦[−1] + 𝑎𝑥[0] +
𝑥[1] 𝑦[2] = 𝑎𝑦[1] + 𝑥[2] = 𝑎3𝑦[−1] +
𝑎2𝑥[0]+ 𝑎𝑥[1]+ 𝑥[2]
.
.
-
𝑦[ 𝑛] = 𝑎𝑦[ 𝑛 − 1] + 𝑥[ 𝑛]
=𝑎 𝑛+1
𝑦[−1] + 𝑎 𝑛
𝑥[0]+
𝑎 𝑛−1
𝑥[1]+.. . +𝑎𝑥[ 𝑛 − 1] + 𝑥[ 𝑛]
de manera más compacta: 𝑦[ 𝑛] =
𝑎 𝑛+1
𝑦[−1]+ ∑ 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘=0 𝑥( 𝑛 − 𝑘), 𝑛 > 0
(2)
La respuesta y[n] del sistema, como se
especifica en el lado derecho de la
expresión (2), consta de dos partes. La
primera, que contiene el término y[−1] es
un resultado de la condición inicial y[−1] del
sistema. La segunda parte es la respuesta
del sistema a la señal de entrada x[n].
Si el sistema está inicialmente en
reposo en el instante n = 0, entonces su
memoria (es decir, la salida del elemento de
retardo debe ser cero. Por tanto, y[−1] = 0.
Luego un sistema recursivo está en reposo
si se inicia con condiciones iniciales nulas.
Puesto que la memoria del sistema
describe, en cierto sentido, su “estado,”
decimos que el sistema está en el estado
cero y su salida correspondiente se
denomina respuesta para el estado cero y
se designa mediante 𝑦𝑧𝑠. Obviamente, la
respuesta para el estado cero del sistema
definido por (1) está dada por:
𝑦𝑧𝑠[ 𝑛] = ∑ 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘=0 𝑥( 𝑛 − 𝑘), 𝑛 > 0
(3)
Supongamos ahora que el sistema
descrito por (1) no está inicialmente en
reposo [es decir,𝑦[−1] = 0 y que la entrada
es𝑥[ 𝑛] = 0 para todo n. Por tanto, la salida
del sistema para una entrada igual a cero es
la respuesta para la entrada nula o
respuesta natural y se designa por 𝑦 𝑧𝑖[ 𝑛]..A
partir de (1), con𝑥[ 𝑛] = 0 para
−∞ < 𝑛 < ∞, obtenemos:
𝑦 𝑧𝑖( 𝑛) = 𝑎 𝑛+1 𝑦[−1], 𝑛 ≥ 0 (4)
Observe que un sistema recursivo con
una condición inicial distinta de cero no está
en reposo en el sentido de que puede
generar una salida sin haber sido excitado.
Observe que la respuesta a la entrada nula
se debe a la memoria del sistema.
En resumen, la respuesta a la entrada
nula se obtiene haciendo nula la señal de
entrada, lo que implica que es
independiente de la entrada. Sólo depende
de la naturaleza del sistema y de la
2. condición inicial. Por tanto, la respuesta a la
entrada nula es una característica del propio
sistema y se conoce también como
respuesta natural o libre del sistema. Por
otro lado, la respuesta a la entrada nula
depende de la naturaleza del sistema y de
la señal de entrada. Dado que esta salida es
una respuesta forzada por la señal de
entrada, normalmente se conoce como
respuesta forzada del sistema. En general,
la respuesta total del sistema puede
expresarse como 𝑦[ 𝑛] = 𝑦 𝑧𝑖[ 𝑛] + 𝑦𝑧𝑠[ 𝑛].
El sistema descrito por la ecuación en
diferencias de primer orden (1) es el sistema
recursivo más simple posible dentro de la
clase general de sistemas recursivos
descritos mediante ecuaciones en
diferencias lineales y coeficientes
constantes. La forma general para tal
ecuación es:
𝑦[ 𝑛] = − ∑ 𝑎 𝑘
𝑁
𝑘=1 𝑦( 𝑛 − 𝑘) +
∑ 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘=0 𝑥( 𝑛 − 𝑘) (5)
El entero N define el orden de la
ecuación en diferencias del sistema. La
Ecuación (5) expresa la salida del sistema
en el instante “n” directamente como una
suma ponderada de salidas pasadas y[n−1],
y[n−2]. . . . . y[n−N], así como las muestras
de las señales de entrada pasadas y
presentes. Observe que con el fin de
determinar y[n] para𝑛 ≥ 0, necesitamos la
entrada x[n] para todo 𝑛 ≥ 0 y las
condiciones iniciales y[−1], y[−2], . . . , y[−N].
En otras palabras, las condiciones iniciales
resumen todo lo que necesitamos saber
sobre la historia pasada de la respuesta del
sistema para calcular las salidas actual y
futuras.
Como hemos visto, un sistema
recursivo puede estar en reposo o no,
dependiendo de las condiciones iniciales.
Por tanto, las definiciones de estas
propiedades tienen que tener en cuenta la
presencia de las condiciones
iniciales.
Un sistema es lineal si satisface los
tres requisitos siguientes:
1. La respuesta total es igual a la suma
de las respuestas a la entrada nula y en
estado cero,es decir, 𝑦[ 𝑛] = 𝑦 𝑧𝑖[ 𝑛] + 𝑦𝑧𝑠[ 𝑛].
2. El principio de superposición se
aplica a la respuesta para el estado nulo
(lineal para el estado nulo).
3. El principio de superposición se
aplica a la respuesta a la entrada nula
(lineal para la entrada nula).
Un sistema que no satisfaga los tres
requisitos es por definición no lineal.
Desarrollo:
1. En la Figura 2 y 3 se puede observar
la gráfica que corresponde a la función que
caracteriza al sistema correspondiente.
Figura 2. Respuesta al impulso de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 − 1]
Figura 3. Respuesta al impulso de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
5
6
𝑦[ 𝑛 − 1] −
1
6
𝑦[ 𝑛 − 2]
3. 2. En la Figura 4 y 5 se gráficaron las
respuestas al escalon, de los sistemas que
se corresponde al ejercicio.
Figura 4. Respuesta al escalón de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 − 1]
Figura 5. Respuesta al escalón de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
5
6
𝑦[ 𝑛 − 1] −
1
6
𝑦[ 𝑛 − 2]
3. En las Figuras 6 y 7 se observa la
respuesta de nuestros sistemas a una
entrada definida.
Figura 6. Respuesta de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 −
1]a 𝑥[ 𝑛] = [
1
3
]
2
𝑢[ 𝑛]
Figura 7. Respuesta de 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
5
6
𝑦[ 𝑛 − 1] −
1
6
𝑦[ 𝑛 − 2]a 𝑥[ 𝑛] = [
1
2
]
2
𝑢[ 𝑛]
4.En las figuras siguientes se han
dibujado la respuesta natural de nuestros
sistemas con condiciones iniciales
diferentes de 0.
Figura 8. Resp. a la entrada nula 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 − 1], 𝑦[−1] = 1
Figura 8. Resp. a la entrada nula 𝑦[ 𝑛] = 𝑥[ 𝑛] +
1
2
𝑦[ 𝑛 − 1], 𝑦[−1] = 1, 𝑦[−2] = 0