En este trabajo, sacamos a la luz algunas propiedades prácticamente desconocidas del triángulo de Pascal en referencia a ciertos productos internos curiosos como el producto escalar de las sucesiones paralelas y la multiplicación triangular, y a algunos productos externos importantes como el producto de ampliación dimensional, donde establecemos una forma práctica y sencilla de obtener los coeficientes de un polinomio de r elementos, elevado a una potencia m, a partir de los coeficientes de un polinomio de r-1 elementos elevado a la misma potencia m, aplicado a la cadena de coeficientes binomiales-trinomiales y tetranomiales, y su generalización dada por la propiedad extensiva del producto de ampliación dimensional. Adicionalmente, abordamos el producto de nivel incremental, que nos permite pasar de un plano ∆_k, a otro de un valor superior de k.

1. COEFICIENTES POLINOMICOS Y SU
CADENA MULTIDIMENSIONAL
(productos internos y externos del triangulo de Pascal)
Triangulo de Pascal Vector Multiplicador Triangulo de Coeficientes
∆0 𝐹𝑛=𝑚
0
Trinomiales ∆ 𝑇
Pirámide de Pascal Vector multiplicador Tetraedro Suma
(coeficientes trinomiales ∆ 𝑇) 𝐹𝑚
0
(coeficientes tetranomiales)
ENRIQUE R. ACOSTA R.
Febrero 2018 revisado 2019

2. Triángulo de Pascal( ∆ 𝟎), origen y estructura interna: Sucesiones Paralelas
El triángulo que a continuación se muestra ( ∆ 𝟎) , se denomina en Occidente como triángulo de Tartaglia (1500-
1557) o más comúnmente triángulo de Pascal (1632-1662), porque su descubrimiento es atribuido a dichos
matemáticos europeos, pero ya dicha distribución de números, aparece en la portada del Rechnung, un libro
de aritmética del matemático y astrónomo alemán Peter Apian (1499-1552), y el matemático chino Chu Shih
Chien, lo mencionó en 1303 (3 siglos antes) en su libro “El espejo maravilloso de los 4 elementos”,
refiriéndose a él como el antiguo método (usado desde 2 siglos atrás). Probablemente dicho triángulo se
remonta al año 1100 d.C., cuando el poeta y matemático persa Omar Khayyam, parece referirse a él en su
famosa álgebra.
El triángulo de Pascal, se construye a partir de las sucesiones de números, constituyentes de las series ,
obtenidas a partir de la relación o identidad de recurrencia:
𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)(𝑥+𝑚)
1.2.3…𝑚(𝑚+1)
−
(𝑥−1)𝑥(𝑥+1)…(𝑥+𝑚−1)
1.2.3…𝑚(𝑚+1)
=
𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)
1.2.3…𝑚
,*
Nosotros hemos denotado a dichas sucesiones como : 𝑺 𝟏, 𝑺 𝟐, 𝑺 𝟑, … , 𝑺 𝒎 , donde consideramos los primeros
n términos de la sucesión, y el sub índice m, es un contador para indicar su ubicación como serie paralela, que
hacemos coincidir con el segundo término de la serie respectiva.
Cada una de estas sucesiones paralelas de n términos se caracteriza porque su término n-ésimo,
es igual a la suma de los n términos de la sucesión precedente.
La manera más usual de representar estas sucesiones, es agrupándolas en forma de un triángulo
equilátero numérico (con igual número de elementos en cada lado), y simétrico respecto a su
“altura”, en el cual estas sucesiones de números figurados, o combinatorios 𝑺 𝒎 , aparecen
repetidas en ambas direcciones oblicuas del triángulo.
El triángulo resulta ilimitado por su base y la lectura de sus filas horizontales tiene el mismo tenor,
si su lectura se hace en un sentido o en el contrario. Así mismo, cada fila inicia y termina en un valor
unitario y los restantes términos de cada fila se puede obtener de la anterior, sumando cada dos
números consecutivos de la fila anterior, siendo esto una consecuencia inmediata de que cada
sucesión paralela, viene a ser la sucesión de las diferencias primeras de la sucesión anterior. (Ver a
modo de ejemplo el trazado de color rojo entre fila 5 y fila 6 en el gráfico numérico del triángulo)
El triángulo de Pascal, se puede considerar horizontalmente, como la distribución de números o coeficientes
que resultan de la expansión de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una potencia k, como
(𝑥1 + 𝑥2) 𝑘
, cuando k varia de cero a n. Las filas del triángulo se numeran de arriba abajo, tal como sea el
valor de k, y los términos de la fila n, son los coeficientes que corresponden al desarrollo del binomio
(𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
o binomio de Newton:

3. (𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
)
𝑛
𝑖=𝑜
𝑥1
𝑛−𝑖
𝑥2
𝑖
Estos coeficientes distribuidos en filas (líneas), se denominan coeficientes binomiales y se denotan
usualmente como:
(
𝑛
𝑚
) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑚)! 𝑚!
=
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑚 + 1)
1.2.3 … 𝑚
Como es conocido, la expresión (
𝑛
𝑚
), se denomina número combinatorio, y representa el n⁰ de
combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de tal manera
que todos los grupos resultantes se diferencien entre sí, al menos en un elemento (combinaciones simples, sin
repetición, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace diferenciación alguna).Por conveniencia
,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para nuestros fines, hemos incluido el valor 1 en el vértice
superior del triángulo, de manera de incluir el caso trivial (𝑥1 + 𝑥2)0
=1, correspondiente a k=0, y al
combinatorio (
0
0
) = 1. Así aparece en la fila cero (0), el coeficiente 1, como único elemento. Una identidad
fundamental e inmediata de estos números es (
𝑛
𝑚
)=(
𝑛
𝑛 − 𝑚
), implícita en su propia definición.
*La relación de recurrencia, puede expresarse en términos combinatorios como:
(
𝑛 + 𝑚
𝑚 + 1
) − (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚 + 1
) = (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚
)
Las sucesiones paralelas, se pueden expresar en términos combinatorios como:
𝑺 𝒎={(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} con i = (m-1),m,…,(m+n-2), para cada m=1,2,…,n , donde n,
representa el lugar del término en la sucesión ( y no la fila de ∆ 𝟎)
y su valor suma, 𝑺 𝒎
+
, corresponde a las combinaciones con repetición de n números naturales, tomados m a
m, que simbolizamos como: 𝑪𝒓 𝒏,𝒎 .
Luego para m=1 , con i= 0,1,…,(n-1) resulta:
𝑆1 = {(
𝑖
0
)} = {(
0
0
) , (
1
0
) , (
2
0
) , … , (
𝑛 − 1
0
)} = {1,1,1,1,1, … ,1} , y: 𝑆1
+
= 𝐶𝑟𝑛,1 = ∑ (
𝑖
0
) = (
𝑛
1
)𝑛−1
𝑖=0
Si m=2 , con i=1,2,…,n
𝑆2 = {(
𝑖
1
)} = {(
1
1
) , (
2
1
) , (
3
1
) , … , (
𝑛
1
)} = {1,2,3,4,5,6, … , 𝑛}, y: 𝑆2
+
= 𝐶𝑟𝑛,2 = ∑ (
𝑖
1
)𝑛
𝑖=1 = (
𝑛 + 1
2
)
Notamos que 𝐶𝑟𝑛,1 = (
𝑛
1
), representa el término n-ésimo de 𝑆2
Si m=3, con i=2,3,…,(n+1)

4. 𝑆3 = {(
𝑖
2
)} = {(
2
2
) , (
3
2
) , (
4
2
) , … , (
𝑛 + 1
2
)} = {1,3,6,10,15,21, … ,
(𝑛+1)𝑛
2!
},y: 𝑆3
+
= 𝐶𝑟𝑛,3 = ∑ (
𝑖
2
)𝑛+1
𝑖=2 = (
𝑛 + 2
3
)
Notamos que 𝐶𝑟𝑛,2 = (
𝑛 + 1
2
), representa el término n-ésimo de 𝑆3
Para m=4, con i=3,4,…,(n+2)
𝑆4 = {(
𝑖
3
)} = {(
3
3
) , (
4
3
) , (
5
3
) , … , (
𝑛 + 2
3
)} = {1,4,10,20,35,56, … ,
(𝑛+2)(𝑛+1)𝑛
3!
}, y: 𝑆4
+
= 𝐶𝑟𝑛,4 = ∑ (
𝑖
3
)𝑛+2
𝑖=3 = (
𝑛 + 3
4
)
Notamos que 𝐶𝑟𝑛,3 = (
𝑛 + 2
3
), representa el término n-ésimo de 𝑆4
………………………………………………………………………………..
La expresión general será:
Para m, con i=m-1, m, m+1,…,(m+n-2)
𝑺 𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} = {(
𝒎 − 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎 + 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , … , (
𝒎 + 𝒏 − 𝟐
𝒎 − 𝟏
)}={𝟏,
𝒎
𝟏!
,
(𝒎+𝟏)𝒎
𝟐!
,
(𝒎+𝟐)(𝒎+𝟏)𝒎
𝟑!
, … ,
[𝒏+(𝒎−𝟐)][𝒏+(𝒎−𝟑)]…𝒏
(𝒎−𝟏)!
},
y: 𝑆 𝑚
+
= 𝐶𝑟𝑛,𝑚 = ∑ (
𝑖
𝑚 − 1
)𝑛+𝑚−2
𝑖=𝑚−1 = (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚
),
de manera análoga, concluimos que 𝑪𝒓 𝒏,𝒎 = (
𝒏 + 𝒎 − 𝟏
𝒎
), representa el término n-ésimo de
𝑺 𝒎+𝟏, y a su vez, representa la suma de los n primeros términos de 𝑺 𝒎
+
.
Cada elemento de ∆ 𝟎 , puede escribirse como un número combinatorio de la forma (
𝑛
𝑚 − 1
) , donde
n representa la fila considerada de ∆ 𝟎 , y m, la sucesión 𝑺 𝒎 correspondiente, así p. ej. la intersección de la
sucesión 𝑆5 , con la fila 8, estará dada por (
8
5 − 1
) = (
8
4
) = 70 , como puede comprobarse en cualquiera
de los dos gráficos de ∆ 𝟎, que presentamos a continuación.
TRIANGULO DE PASCAL NUMÉRICO ( ∆ 𝟎 ), (filas desde n=0, hasta n=8) Fila
𝑺 𝟏
1 𝑺 𝟐 0
1 1 𝑺 𝟑 1
1 2 1 𝑺 𝟒 2
1 3 3 1 𝑺 𝟓 3
1 4 6 4 1 𝑺 𝟔 4
1 5 10 10 5 1 𝑺 𝟕 5
1 6 15 20 15 6 1 𝑺 𝟖 6
1 7 21 35 35 21 7 1 𝑺 𝟗 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 8

5. TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS ( ∆ 𝟎 ) , (filas desde n=0, hasta n=8)
𝑺 𝟏
fila
(
𝟎
𝟎
) 𝑺 𝟐
0
(
𝟏
𝟎
) (
𝟏
𝟏
) 𝑺 𝟑
1
(
𝟐
𝟎
) (
𝟐
𝟏
) (
𝟐
𝟐
) 𝑺 𝟒
2
(
𝟑
𝟎
) (
𝟑
𝟏
) (
𝟑
𝟐
) (
𝟑
𝟑
) 𝑺 𝟓
3
(
𝟒
𝟎
) (
𝟒
𝟏
) (
𝟒
𝟐
) (
𝟒
𝟑
) (
𝟒
𝟒
) 𝑺 𝟔
4
(
𝟓
𝟎
) (
𝟓
𝟏
) (
𝟓
𝟐
) (
𝟓
𝟑
) (
𝟓
𝟒
) (
𝟓
𝟓
) 𝑺 𝟕
5
(
𝟔
𝟎
) (
𝟔
𝟏
) (
𝟔
𝟐
) (
𝟔
𝟑
) (
𝟔
𝟒
) (
𝟔
𝟓
) (
𝟔
𝟔
) 𝑺 𝟖
6
(
𝟕
𝟎
) (
𝟕
𝟏
) (
𝟕
𝟐
) (
𝟕
𝟑
) (
𝟕
𝟒
) (
𝟕
𝟓
) (
𝟕
𝟔
) (
𝟕
𝟕
) 𝑺 𝟗 7
(
𝟖
𝟎
) (
𝟖
𝟏
) (
𝟖
𝟐
) (
𝟖
𝟑
) (
𝟖
𝟒
) (
𝟖
𝟓
) (
𝟖
𝟔
) (
𝟖
𝟕
) (
𝟖
𝟖
) 8
Notamos que en la fila 0 solo hay un elemento, en la fila 1 aparecen 2 elementos, en la dos aparecen 3
elementos, y así sucesivamente, es decir el número de elementos de cada fila, corresponde a la sucesión
𝑆2 = {(
𝑖
1
)} = 1,2,3, … , 𝑛, con i=1,2,…,n
Dos de las propiedades más conocidas del triángulo de Pascal, son las siguientes:
1. La suma de los coeficientes combinatorios de cualquiera fila n del triángulo de Pascal, es siempre igual a
2 𝑛
, lo cual puede obtenerse al hacer 𝑥1 = 𝑥2 = 1, en
(𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=𝑜 𝑥1
𝑛−𝑖
𝑥2
𝑖
, de lo cual resulta: (1 + 1) 𝑛
=∑ (
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=0 = 2 𝑛
2. La suma de los coeficientes combinatorios de cualquiera fila n del triángulo de Pascal, con signos
alternados, es siempre igual a cero (0), lo cual puede obtenerse al hacer 𝑥1 = 1, y 𝑥2 = −1, en la misma
expresión del binomio de Newton, de lo que resulta: (1 − 1) 𝑛
=∑ (−1)𝑖
(
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=0 = 0
Existen otras muchas propiedades más o menos conocidas del triángulo de Pascal o ∆ 𝟎, pero las propiedades
en que haremos hincapié, son aquellas que son prácticamente desconocidas para la mayoría del público en
general, y aún para los estudiosos de sus características y particularidades.

6. Algunas propiedades no conocidas del Triángulo de Pascal o ∆ 𝟎
A. Algunos productos internos curiosos
1. Producto escalar de las sucesiones paralelas:
Como cada sucesión paralela, viene a ser la sucesión de las primeras diferencias de la sucesión anterior,
podemos siempre escribir cada uno de sus términos como una suma acumulativa de los elementos de la
sucesión anterior. Así por ej. cada uno de los 6 primeros términos de la sucesión 𝑆3, que podemos representar
como 𝑆3
6
= [1,3,6,10,15,21], se puede escribir como una suma acumulativa de los términos sucesivos de la
sucesión 𝑆2
6
= [1,2,3,4,5,6], tal como se muestra a continuación en el gráfico de ∆ 𝟎:
1
1 1
1 2 1 𝑺 𝟒
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Fila 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
Adicionalmente, si sumamos miembro a miembro todas estas igualdades, obtenemos:
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 1(6) + 2(5) + 3(4) + 4(3) + 5(2) + 6(1) = 56

7. Dicho valor resultante (56) sombreado en verde, representa el valor combinatorio, correspondiente a la
intersección de la fila n=8, sombreada en azul, con la sucesión 𝑆4, sombreada en amarillo, como se muestra
en el gráfico anterior. Dicho valor corresponde al término que ocupa el 4⁰ lugar en dicha fila 8, o el 6⁰ lugar de
la sucesión 𝑆4, (m=4).
Como hemos afirmado anteriormente, este valor puede calcularse en función de los parámetros
correspondientes a fila y sucesión paralela, mediante la expresión combinatoria: (
8
4 − 1
) = (
8
3
) = 56.
Análogamente, dicho valor también se corresponde con las combinaciones con repetición, dadas por:
𝐶𝑟,6,3 = (
6 − 3 + 1
3
) = (
8
3
) = 56
Por otra parte, la expresión 1(6) + 2(5) + 3(4) + 4(3) + 5(2) + 6(1), se puede obtener al multiplicar
escalarmente al “vector” sucesión paralela 𝑆2
6
= [1,2,3,4,5,6], por su transpuesto, es decir mediante el
producto escalar:
[1,2,3,4,5,6] ₀ [6,5,4,3,2,1] = 1(6) + 2(5) + 3(4) + 4(3) + 5(2) + 6(1) = 56
Evidentemente, este procedimiento se puede aplicar para obtener cualquier otro término de la sucesión paralela
(S.P.) 𝑆4
6
= [1,4,10,20,35,56], mediante el cálculo de los productos escalares de los vectores subconjuntos
sucesivos de 𝑆2
6
= [1,2,3,4,5,6], por sus respectivos transpuestos, es decir:
[1]₀[1] = 1(1) = 1
[1,2]₀[2,1]=1(2)+2(1)=4
[1,2,3]₀[3,2,1]=1(3)+2(2)+3(1)=10
[1,2,3,4]₀[4,3,2,1]=1(4)+2(3)+3(2)+4(1)=20
[1,2,3,4,5]₀[5,4,3,2,1]=1(5)+2(4)+3(3)+4(2)+5(1)=35
[1,2,3,4,5,6]₀[6,5,4,3,2,1]=1(6)+2(5)+3(4)+4(3)+5(2)+6(1)=56
Inferimos que este procedimiento, se puede generalizar y aplicar para c/u de las S.P. de ∆ 𝟎, así, si
partimos de:
𝑆1
𝑛
=[1,1,1,…,1], con n elementos unitarios, y calculamos dichos productos, obtendremos:
[1]₀[1]=1(1)=1
[1,1]₀[1,1]=1(1)+1(1)=2
[1,1,1]₀[1,1,1]=1(1)+1(1)+1(1)=3

8. ………………………………………
[1,1,1,...,1]₀[1,1,1,…,1]=1(1)+1(1)+…+1(1)=n
Resultados que conforman los términos sucesivos de la S.P. 𝑆2
𝑛
Si partimos de la S.P. 𝑆2
𝑛
= [1,2,3, … , 𝑛], obtendríamos:
[1]₀[1]=1(1)=1
[1,2]₀[2,1]=1(2)+2(1)=4
[1,2,3]₀[3,2,1]=1(3)+2(2)+3(1)=10
……………………………………….
[1,2,3,…,n]₀[n,…,3,2,1]=1(n)+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)2+n(1)=
(𝑛+2)(𝑛+1)𝑛
3!
Resultados que conforman los términos sucesivos de la S.P. 𝑆4
𝑛
Si partimos de la S.P. 𝑆3
𝑛
= [1,3.6, … ,
(𝑛+1)𝑛
2!
], obtendremos:
[1]₀[1]=1(1)=1
[1,3]₀[3,1]=1(3)+3(1)=6
[1,3,6]₀[6,3,1]=1(6)+3(3)+6(1)=21
……………………..
[1,3,6,…,
(𝑛+1)𝑛
2!
]₀ [
(𝑛+1)𝑛
2!
, … , 6,3,1]=
(𝑛+4)(𝑛+3)…𝑛
5!
Resultados que conforman los términos sucesivos de la S.P. 𝑆6
𝑛
De manera que podemos de nuevo, inferir (demostrable por inducción), que si partimos de la S.P. 𝑺 𝒎
𝒏
,
y aplicamos este mismo procedimiento de cálculo, obtendremos los términos sucesivos de la S.P. 𝑺 𝟐𝒎
𝒏
2. Multiplicación triangular
Otra relación poco conocida es la que corresponde al “producto triangular” ( ∆ 𝟎) ₀ (∆ 𝟎)=(∆ 𝟎) 𝟐
Por la simetría de los ∆ 𝟎, con respecto a su eje vertical central (o “altura”), el transpuesto de cualquier vector
fila de un ∆ 𝟎, resulta idéntico al propio vector fila considerado, (recuérdese que (
𝑛
𝑖
) = (
𝑛
𝑛 − 𝑖
) ). Por ende,
el producto escalar de un vector fila n, por su transpuesto, en términos combinatorios, vendrá dado por:
[(
𝑛
0
) , (
𝑛
1
) , … , (
𝑛
𝑛
)] ₀ [(
𝑛
0
) , (
𝑛
1
) , … , (
𝑛
𝑛
)] = (
𝑛
0
)
2
+ (
𝑛
1
)
2
+ ⋯ + (
𝑛
𝑛
)
2

9. El valor de esta suma de cuadrados, puede obtenerse de la identidad:
(1 + 𝑥)2𝑛
= (1 + 𝑥) 𝑛(1 + 𝑥) 𝑛
, de donde:
(
2𝑛
0
) + (
2𝑛
1
) 𝑥 + (
2𝑛
2
) 𝑥2
+ ⋯ + (
2𝑛
𝑛
) 𝑥 𝑛
+ ⋯ + (
2𝑛
2𝑛
) 𝑥2𝑛
= [(
𝑛
0
) + (
𝑛
1
) 𝑥 + (
𝑛
2
) 𝑥2
+ ⋯ + (
𝑛
𝑛
) 𝑥 𝑛
]
2
Si en esta última identidad, desarrollamos el término de la derecha, e igualamos los coeficientes de 𝑥 𝑛
, resulta:
(
𝑛
0
)
2
+ (
𝑛
1
)
2
+ ⋯ + (
𝑛
𝑛
)
2
= (
2𝑛
𝑛
)
Entonces para el producto escalar de una fila n de ∆ 𝟎, por su transpuesto, se verifica:
[(
𝑛
0
) , (
𝑛
1
) , … , (
𝑛
𝑛
)] 𝑜 [(
𝑛
0
) , (
𝑛
1
) , … , (
𝑛
𝑛
)] = (
2𝑛
𝑛
)
La multiplicación escalar fila por fila (desde la fila 0, hasta la fila n), de un ∆ 𝟎 determinado, o “producto
triangular”, tiene como resultado un vector columna de tantos elementos, como filas tenga ∆ 𝟎, es decir n+1
elementos, todos de la forma (
2𝑛
𝑛
), combinatorios que siempre corresponden a los propios términos centrales
(T.C.), en las filas pares de ∆ 𝟎, como indica la tabla a continuación:
Fila: 0 2 4 6 … 2n
T.C. (
0
0
) = 1 (
2
1
) = 2 (
4
2
) = 6 (
6
3
) = 20 … (
2𝑛
𝑛
)
Como estos valores centrales solo aparecen en las filas pares de ∆ 𝟎, necesariamente, si el n⁰ de filas (n) del
∆ 𝟎 considerado, es par, existirán como resultado de dicho producto escalar, n/2 términos centrales internos a
∆ 𝟎, y n/2 términos centrales externos al mismo. Si por el contrario, el n⁰ de filas (n) del ∆ 𝟎 considerado, es
impar, existirán (𝑛 + 1)/2 términos centrales interiores al ∆ 𝟎 considerado, y (𝑛 − 1)/2 términos centrales
externos al mismo.
Como ejemplo aclaratorio, consideremos el “producto triangular” ( ∆ 𝟎) ₀ (∆ 𝟎)=(∆ 𝟎) 𝟐
, de un triángulo de
Pascal de 5 filas, enmarcado en rojo en la figura.

10. n
0 [1]
1 1 1
2 1 [2] 1
3 1 3 3 1
4 1 4 [6] 4 1
5 1 [5] 10 10 5 1
6 1 6 15 [20] 15 6 1
7 1 7 [21] 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 [70] [56] 28 8 1
9 1 9 36 [84] 126 126 84 36 9 1
⁰
Notamos que el vector columna resultante de este producto triangular, consta de 5 elementos, cada uno de los
cuales corresponde a un término central de ∆ 𝟎, siendo los 3 primeros (1,2, y 6) interiores al triángulo
considerado (de 5 filas), mientras que los 2 últimos (20 y 70), son exteriores al mismo.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 1
1 1 2
1 2 1 = 6
1 3 3 1 20
1 4 6 4 1 70

11. Este tipo de producto, también es aplicable a cualquier triángulo equilátero (de igual n⁰ de elementos por lado),
interior, pero de menor rango, y de igual orientación que ∆ 𝟎, con eje central paralelo al de ∆ 𝟎, como el de 3
filas, enmarcado en azul, mostrado en el lado izquierdo de la misma figura, cuando es multiplicado escalarmente
por su correspondiente triángulo de 3 filas de ∆ 𝟎.
[5] 1 5
6 15 ₀ 1 1 = 21
7 [21] 35 1 2 1 84
El vector columna resultante del producto triangular en este caso, constará de tres términos centrales, pero
referidos al eje vertical central, o altura de dicho triángulo, siendo los 2 primeros (5 y 21), internos, y el tercero
(84), externo al triángulo.
Multiplicación por el inverso
Si consideramos un triángulo equilátero, interior a ∆ 𝟎 , y de n filas, pero orientado en sentido
inverso al de ∆ 𝟎, tal como se muestra enmarcado en verde en la figura, y lo invertimos para luego
multiplicarlo escalarmente por un ∆ 𝟎 de igual n⁰ de filas, el producto resultante, será un vector
columna de n elementos, todos con un valor constante, dado por el valor numérico del combinatorio
correspondiente al vértice inferior del triángulo invertido considerado.
56 1 56
35 21 1 1 56
20 15 6 (₀) 1 2 1 = 56
10 10 15 1 1 3 3 1 56
El valor constante, igual para cada elemento del vector columna resultante, se puede escribir como la igualdad
entre los productos escalares de las filas involucradas, que en términos combinatorio vendrá dado por:
∑ (
8
𝑖 + 3
)
0
𝑖=0
(
0
𝑖
) = ∑ (
7
𝑖 + 2
)
1
𝑖=0
(
1
𝑖
) = ∑ (
6
𝑖 + 1
)
2
𝑖=0
(
2
𝑖
) = ∑ (
5
𝑖
)
3
𝑖=0
(
3
𝑖
) = 56
B. Algunos productos externos importantes
3. Productos de ampliación dimensional:

12. 3-1, Caso de los coeficientes trinomiales, a partir de los coeficientes binomiales
El triángulo de Pascal, se corresponde con los coeficientes del desarrollo del Binomio ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
,o números
combinatorios “planos” (k=0), del Binomio de Newton, en donde n=i+j, indica la potencia a considerar para el
binomio, así como, la fila a considerar para el triángulo ∆0, en cada caso. Dicho binomio se desarrolla mediante
la conocida expresión: ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
=∑ (
𝑛
𝑖
) 𝑥1
𝑖𝑛
𝑖=0 𝑥2
𝑛−𝑖
, donde el coeficiente binomial (
𝑛
𝑖
), dará lugar a
los distintos valores combinatorios ubicados en la fila n de dicho triángulo (𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛).
En el caso del Prisma combinatorio (ver bibliografía), para k≥0, n=i+j, y m=i+j+k, la correspondencia
existente, se establece entre los coeficientes del desarrollo del trinomio ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
, valores
combinatorios trinomiales o permutaciones con repetición, que se identiican con el número de caminos posibles
y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para
desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro
punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada
grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos
en dirección Z⁺.
El valor numérico de las Permutaciones con repetición, asociadas a un punto de coordenadas positivas y
enteras (i, j, k), situado en el plano ∆ 𝒌, del “Prisma combinatorio”, se puede denotar mediante la expresión:
𝑃𝑟, (𝑛 + 𝑘), 𝑖, 𝑗, 𝑘 = (
𝑛 + 𝑘
𝑘
) (
𝑛
𝑖
) , donde 𝑛 = 𝑖 + 𝑗, representa la fila n, genérica, y k, el nivel a considerar,
pero siendo (
𝑛 + 𝑘
𝑘
) ≡ (
𝑛 + 𝑘
𝑛
), por definición, la expresión puede escribirse como:
𝑃𝑟, (𝑛 + 𝑘), 𝑖, 𝑗, 𝑘 = (
𝑛 + 𝑘
𝑛
) (
𝑛
𝑖
) = (
𝑛 + 𝑘
𝑛
𝑖
) = (
𝑚
𝑛
𝑖
)
Es decir, que dichas permutaciones con repetición, asociadas a los puntos de coordenadas positivas y enteras,
dentro del espacio prismático que define y delimita al “Prisma Combinatorio”, se corresponden biunívocamente
con la distribución de coeficientes trinomiales, ubicados en los planos paralelos ∆ 𝑘 de dicho espacio
prismático, siendo la distribución binomial en el plano de base ∆ 𝟎, solo el caso particular
correspondiente a 𝒌 = 𝟎 , como ya habíamos afirmado en la definición.
Todos los combinatorios trinomiales del desarrollo de ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
, resultan ubicados en capas
paralelas triangulares ∆ 𝑘 del Prisma Combinatorio, contiguas, desde el nivel k=0, hasta el nivel k= m,
considerando consecutivamente, los valores ubicados en la fila m en el nivel k=0, hasta los valores ubicados
en la fila 0, en el nivel k=m. Dichos coeficientes trinomiales (r=3), quedan así agrupados en un triángulo
equilátero sesgado ∆ 𝑻, base de una pirámide triangular regular, invertida y con vértice en el origen de
coordenadas, conocida como tetraedro de Pascal. En la figura se muestra el caso de ∆ 𝑇 correspondiente a
m=4, que incluye las capas correspondientes a: 𝑘 = 0,1,2,3,4

13. Como podemos observar para el nivel 0, correspondiente a ∆0, los elementos en la base de ∆ 𝑇, serán los de
su fila 4, es decir: 1,4,6,4, y 1
Para el nivel 1, los elementos en ∆ 𝑇 a considerar, serán los de la fila 3 de ∆1, es decir: 4,12,12,4
Para el nivel 2, los elementos en ∆ 𝑇 a considerar, serán los de la fila 2 de ∆2, es decir: 6,12,6
Para el nivel 3, los elementos en ∆ 𝑇 a considerar, serán los de la fila 1 de ∆3, es decir: 4,4
Para el nivel 4, los elementos en ∆ 𝑇 a considerar, serán los de la fila 0 de ∆4, es decir: 1
El primer producto de ampliación dimensional a considerar, es un tipo de producto escalar, que ya lo hemos
estudiado en un trabajo anterior denominado “Prisma Combinatorio” (ver referencias bibliográficas), y podemos
definirlo como: Aquel producto escalar (o), que nos permite transformar un triángulo de coeficientes binomiales
(r=2), contenidos en un determinado ∆ 𝟎, limitado por su fila n, en un triángulo equivalente (de igual n⁰ de
elementos), de coeficientes trinomiales (r=3), contenidos en un correspondiente ∆ 𝑇, también limitado por su
propia fila n.
Así, p. ej. si queremos obtener los coeficientes trinomiales (∆ 𝑻) correspondientes a un trinomio elevado a la
cuarta potencia (m=4), como en el ejemplo anterior, bastará partir de un triángulo de Pascal ∆0, y considerar
sus primeras cinco filas.
La operación se reduce a multiplicar cada una de las filas del triángulo de Pascal limitado por la fila n=4,
por el factor correspondiente ubicado en la última fila del propio triángulo (fila 4, señalada en amarillo
en este ejemplo).
Podemos graficarlo de manera simple, para el caso que nos ocupa (m=4), de la siguiente manera, tomando la
fila 4 como un vector columna al realizar el producto escalar.
∆4
∆3
∆2
∆1
∆0

14. De esta manera sencilla y práctica, obtenemos inmediatamente los mismos resultados que la construcción
gráfica “tridimensional” del ejemplo anterior. Evidente mente este resultado es de aplicación general, y puede
resumirse en la fórmula:
∆ 𝟎
𝒏
. 𝑭 𝒏
𝟎
= ∆ 𝒎=𝒏
Donde ∆ 𝟎
𝒏
indica que el triángulo de Pascal (r=2), se desarrolla hasta la fila n, o fila límite, base del triángulo
de coeficientes combinatorios primarios considerado.
𝑭 𝒏
𝟎
= {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒏
𝟎
) , (
𝒏
𝟏
) , (
𝒏
𝟐
) , … , (
𝒏
𝒏 − 𝟏
) , (
𝒏
𝒏
)}
Como ya hemos señalado, indica la fila n de ∆ 𝟎, fila a considerar como fila límite o base del triángulo.
y, ∆ 𝒎=𝒏, indica la distribución triangular de coeficientes trinomiales (r=3) ∆ 𝑻 para el caso m=n
Haciendo hincapié, en que el producto se realiza de manera que cada fila de ∆0
𝑛
, se ve afectada por el factor
correspondiente (de igual posición relativa) de la fila 𝐹𝑛
0
3-2, Caso de los coeficientes tetranomiales, a partir de los coeficientes trinomiales
Como ya hemos establecido, los coeficientes tetranomiales, se distribuyen espacialmente en un tetraedro
regular, que hemos denominado tetraedro suma, porque puede a su vez, contener internamente otro tetraedro,
o tetraedro secundario, y en caso de valores de m, múltiplos de 4, valores singulares, ver bibliografía
(Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016)
Así por ejemplo, los coeficientes tetranomiales de ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝟔
, se distribuyen espacialmente
en tetraedros regulares, que podemos representar de dos maneras:
1. como valores numéricos a lo largo de filas paralelas dentro de las distintas caras triangulares de un
tetraedro desglosado, tal como se muestra a continuación, para el caso m=6
Triángulo de Pascal(∆ 𝟎) Factores(𝑭 𝟒
𝟎
)
1 1
1 1 4
1 2 1 (o) 6
1 3 3 1 4
1 4 6 4 1 1
Triángulo de Coeficientes
Trinomiales (∆ 𝑻)
1
4 4
6 12 6
4 12 12 4
1 4 6 4 1

15. *Tetraedro Secundario
2.Como una representación espacial 3D sin escala del tetraedro suma correspondiente, integrado
por un tetraedro principal con sus distintos niveles, un tetraedro secundario (interior), y una
singularidad, si corresponde, tal como se muestra a continuación para el caso m=6 :
m Coef. N⁰V. 1
6 1 4
6 12 6 6
15 12
20 6 15 30 15
30 12
60 24 20 60 60 20
90 4
*120 4 15 60 90 60 15
*180 6
∑= 84 6 30 60 60 30 6
1 6 15 20 15 6 1
6 6 30 60 60 30 6 6
15 30 15 60 90 60 15 30 15
20 60 60 20 60 60 20 60 60 20
15 60 90 60 15 30 15 60 90 60 15
6 30 60 60 30 6 6 30 60 60 30 6
1 6 15 20 15 6 1 6 15 20 15 6 1
120 180 120 180 120
180 180 180 180
120 180 120
180 180
120

16. Representación esquemática y sin escala del tetraedro suma (T. Suma) o prisma tetraédrico
correspondiente a la distribución de coeficientes Tetranomiales para 𝒎 = 𝟔 .
La base de este tetraedro exterior coincide con el ∆ 𝑻 para 𝑚 = 6, el cual a su vez constituye la base del
tetraedro interior, o pirámide invertida de Pascal del mismo caso, que tiene como vértice, el origen de
coordenadas, y como caras, los triángulos de Pascal (∆0), construidos c/u sobre uno de los tres semiplanos
coordenados, que contienen las 6 primeras filas del mismo (𝑚 = 6).
En la figura, se ha abierto una ventana triangular “ad-hoc” en el tetraedro principal (T.P.) para poder observar
la ubicación y el contenido del tetraedro secundario (T.S.)
Este sencillo procedimiento de multiplicación escalar por la fila n=m de ∆0 ,para obtener los coeficientes de un
polinomio de r elementos, elevado a una potencia m, a partir de los coeficientes de un polinomio de r-1
elementos elevado a la misma potencia m puede extenderse al caso de los coeficientes tetranomiales, pero en
esta ocasión, deberemos considerar como la figura, o cuerpo base a multiplicar escalarmente por la fila n=m,
de ∆0, a la pirámide o tetraedro invertido de Pascal, cuyas secciones, o niveles, están representadas por los
∆ 𝑇 para m=6
(base)
T.Principal con sus 7
niveles
T.Secundario
(interno)

17. triángulos sesgados de coeficientes trinomiales contenidos en los correspondientes ∆ 𝑇, desde m=0, hasta
m=n.
En el caso que nos ocupa, deberemos considerar los 7 planos segados ∆ 𝑻, contenidos en la pirámide invertida
de Pascal correspondiente, a m=0 hasta m=6, que podemos obtener de manera inmediata, aplicando la reglas
de multiplicación escalar ya establecidas para el caso estudiado anteriormente, de obtención de los coeficientes
trinomiales a partir de lo coeficiente binomiales. Así tendríamos:
m ∆0 , hasta la fila n =m
(Coeficientes Binomiales)
Factor Vector
Columna(𝐹𝑛=𝑚
0
)
Triángulos de Coeficientes
Trinomiales (∆ 𝑻)
0 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 1 1
1 1 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2
3 1 1 1
1 1 3 3 3
1 2 1 3 3 6 3
1 3 3 1 1 1 3 3 1
4 1 1 1
1 1 4 4 4
1 2 1 6 6 12 6
1 3 3 1 4 4 12 12 4
1 4 6 4 1 1 1 4 6 4 1

18. 5 1 1 1
1 1 5 5 5
1 2 1 10 10 20 10
1 3 3 1 10 10 30 30 10
1 4 6 4 1 5 5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1 1 1 5 10 10 5 1
6 1 1 1
1 1 6 6 6
1 2 1 15 15 30 15
1 3 3 1 20 20 60 60 20
1 4 6 4 1 15 15 60 90 60 15
1 5 10 10 5 1 6 6 30 60 60 30 6
1 6 15 20 15 6 1 1 1 6 15 20 15 6 1
El conjunto de todos estos ∆ 𝑻, conforma la distribución de coeficientes trinomiales por nivel, en el espacio de
una pirámide invertida con vértice en el origen, o tetraedro de Pascal para m=6 (desde m=0, hasta m=6
inclusive).
Una vez conocidos los diferentes ∆ 𝑻, del caso considerado (m=6), obtendremos la distribución de coeficientes
tetranomiales en cada nivel del Tetraedro Suma (T.Suma), para ese mismo valor de m, multiplicando
escalarmente todos los coeficientes de cada uno de los ∆ 𝑻, por el factor de igual posición relativa, que le
corresponde en la fila n=m del ∆ 𝑻, cuando m=6 (que es también el mismo valor, en la fila n=m de ∆0, cuando
m=6)
Por último, para determinar todos los coeficientes tetranomiales correspondientes al caso m=6, hemos
organizado la siguiente tabla:

19. m Triángulos de Coeficientes
Trinomiales (∆ 𝑇) desde
m=0, hasta m=6
Factor Vector
Columna(𝐹6
0
)
Coeficientes Tetranomiales
Por nivel del T.Suma. para m=6
0 1 1 1
1 1 6 6
1 1 6 6
2 1 15 15
2 2 30 30
1 2 1 15 30 15
3 1 20 20
3 3 60 60
3 6 3 60 120 60
1 3 3 1 20 60 60 20
4 1 15 15
4 4 60 60
6 12 4 90 180 90
4 12 12 4 60 180 180 60
1 4 6 4 1 15 60 90 60 15

20. 5 1 6 6
5 5 30 30
10 20 10 60 120 60
10 30 30 10 60 180 180 60
5 20 30 20 5 30 120 180 120 30
1 5 10 10 5 1 6 30 60 60 30 6
6 1 1 1
6 6 6 6
15 30 15 15 30 15
20 60 60 20 20 60 60 20
15 60 90 60 15 15 60 90 60 15
6 30 60 60 30 6 6 30 60 60 30 6
1 6 15 20 15 6 1 1 6 15 20 15 6 1
Aunque consideramos que este es un método muy útil, y practico, para la determinación de los coeficientes
tetranomiales, no nos permite visualizar la verdadera distribución espacial de dichos coeficientes.
Este procedimiento es susceptible de aplicar, para casos superiores, tales como, el de obtener los
coeficientes pentanomiales, a partir de los coeficientes tetranomiales etc., para un mismo exponente m.
Pero la manera más inmediata de obtener los resultados deseados al pasar de un caso de m, y r, a un
caso de m y r+1, es aplicando la generalización dada por la propiedad extensiva del producto de
ampliación dimensional, que enunciamos al final de este trabajo
4. Producto de nivel incremental
El producto de nivel incremental, es un tipo de producto escalar que nos permite obtener de manera inmediata
los elementos contenidos en las distintas capas triangulares ∆ 𝑘 , cada una de n filas, de un determinado prisma
combinatorio de 𝛼 niveles, en base al producto de un triángulo ∆ 𝟎, de igual n⁰ de filas y de elementos,
multiplicado escalarmente, por el vector columna conformado con los n+1 primeros términos de la sucesión
paralela 𝑆 𝑚=𝑘+1

21. Podemos entonces establecer, con una nomenclatura similar a la del caso precedente, una expresión
matemática sencilla de tal producto, que nos permita obtener los valores combinatorios para un
determinado ∆ 𝒌:
∆ 𝑘
𝑛
= (∆0
𝑛
) ₀ (𝑆 𝑚=𝑘+1
𝑛+1
)
Donde ∆ 𝑘
𝑛
, indica que el triángulo de valores combinatorios en ∆ 𝑘, que se obtiene, se desarrolla hasta la fila n
como fila límite.
∆ 𝟎
𝒏
, indica que el triángulo de valores combinatorios primarios en ∆ 𝟎, de partida, se desarrolla hasta la fila n
como fila límite.
y, 𝑺 𝒎=𝒌+𝟏
𝒏+𝟏
, se refiere al vector columna construido con los primeros n+1 términos de la sucesión paralela
correspondiente a; 𝑚 = 𝑘 + 1
Así por ejemplo, para obtener los elementos correspondientes de ∆7
4
, bastará calcular:
(∆0
4) 𝑜 (𝑆8
5
) = ∆7
4
Es decir:
Triangulo de Pascal (∆ 𝟎
𝟒
) 𝑆8
5 ∆7
4
1 1 1
1 1 8 8 8
1 2 1 o 36 = 36 72 36
1 3 3 1 120 120 360 360 120
1 4 6 4 1 330 330 1320 1980 1320 330
Supongamos ahora, que queremos construir el prisma combinatorio, correspondiente a los primeros 4 niveles
de k, (𝑘 = 0,1,2,3 ), cada uno limitado por la fila 4 de su propio nivel, como se muestra en la figura:

22. Para ello, bastará calcular los siguientes productos
por nivel:
∆0
4
= (∆0
4) 𝑜 (𝑆1
5
)
∆1
4
= (∆0
4) 𝑜 (𝑆2
5
)
∆2
4
= (∆0
4) 𝑜 (𝑆3
5
)
∆3
4
= (∆0
4) 𝑜 (𝑆4
5
)
Siendo el primer factor ∆0
4
, el triángulo de partida del ejemplo anterior, y los segundos factores, los vectores
columnas correspondientes a las sucesiones paralelas:
𝑆1
5
= {1,1,1,1,1}
𝑆2
5
= {1,2,3,4,5}
𝑆3
5
= {1,3,6,10,15}
𝑆4
5
= {1,4,10,20,35}

23. 5. Por último, queremos incluir una propiedad extensiva del producto de ampliación dimensional,
que podemos enunciar así:
Si se multiplican los coeficientes de las filas 0,1,2,…,m, de uno cualquiera de los triángulos de Pascal
expandidos correspondientes al caso de los coeficientes Binomiales (r=2), Trinomiales (r=3),
Tetranomiales (r=4), etc. (ver bibliografía) , es decir, para un determinado valor de 𝒓, por los coeficientes
respectivos (de igual posición relativa), de la fila m, del triángulo de Pascal (∆ 𝟎), se obtienen los
coeficientes de la fila m, del triángulo de coeficientes expandidos del caso siguiente ( 𝒓 + 𝟏)
Sea, por ejemplo, el caso del triángulo de coeficientes trinomiales (r=3) desde m=0, hasta m=5, donde m
representa la potencia del trinomio, como se recoge en la tabla siguiente:
TRIANGULO DE COEFICIENTES TRINOMIALES (NUMÉRICOS), desde m=0, hasta m=5
m Columnas ,como Filas de ∆ 𝑇 𝑆3
0 1 2 3 4 5 6
0 1 1
1 1 1 1 3
2 1 2 2 1 2 1 6
3 1 3 3 3 6 3 1 3 3 1 10
4 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1 15
5 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1 21
Si multiplicamos escalarmente, cada una de las filas de este triángulo por el término correspondiente de un
vector columna conformado por los 6 elementos de la fila 5 de ∆0, es decir por:
1
5
10
10
5
1
El resultado que se obtiene, son todos los coeficientes de la fila 5 del triángulo de coeficientes tetranomiales
(r=4), como se recoge en la tabla a continuación:

24. Coeficientes de la fila 5, del triángulo numérico de coeficientes tetranomiales (r=4) como una expansión del
triángulo de Pascal, o de los coeficientes binomiales (r=2)
1
5 5 5
10 20 20 10 20 10
10 30 30 30 60 30 10 30 30 10
5 20 20 30 60 30 20 60 60 20 5 20 30 20 5
1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1
Resultado que puede verificarse al revisar las tablas correspondientes en el trabajo titulado “Coeficientes
multinomiales y generalización del triángulo de Pascal” 2016 (ver bibliografía),
Nótese, que los valores contenidos en el triángulo de coeficientes trinomiales de m=0, hasta m=5.
Representan los coeficientes de cada uno de los ∆ 𝑻, correspondientes a la pirámide invertida de Pascal,
para m=5 (desde m=0, hasta m=5). Mientras que los coeficientes tetranomiales obtenidos al multiplicar
dichos ∆ 𝑻, por el factor de igual posición relativa de la fila 5 de ∆ 𝟎, tomada como vector columna,
corresponden a los coeficientes de cada una de las secciones del tetraedro suma para el caso m=5
Aunque suponemos la existencia de otras muchas propiedades aun no descubiertas ni estudiadas, creemos
que, con las aquí expuestas, contribuimos en alguna medida a la ampliación y aplicación del Triángulo de
Pascal al campo multidimensional de los coeficientes polinómicos.
Enrique R. Acosta R. 2018
Bibliografía (de mis trabajos matemáticos anteriores):
Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997-revisado 2016
Prisma Combinatorio 1997-revisado 2016
Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Distribución espacial de coeficientes pentanomiales 2017
Coeficientes multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema multinomial y
otros tópicos complementarios 2017
Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes polinómicos y su cadena de valor 2017
Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones matemáticas 2017
Particiones con repetición. Composición de enteros 2017

25. Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018
Prisma Combinatorio o expansión espacial del triángulo de Pascal 2018
Nota: Cada uno de estos trabajos, puede verse y descargarse en SlideShare.net