Este documento contiene varios ejercicios de cálculo de límites y de determinación de conjuntos de discontinuidad de funciones. También incluye ejercicios de cálculo integral donde se pide calcular la integral definida de diferentes funciones.

1. Ejercicio 1. Usando las propiedades basicas de los límites de funciones
calcular los siguientes límites. En cada caso indicar que propiedades se han
empleado:
(a) lim
x!1
x2
+ 3x + 2
p
3x 1 = 6
p
2 (h) lim
x!2
x4
16
x 2 = 32
(b) lim
x!0
ln (x + 1) = 0 (i) lim
h!0
(t+h)2
t2
h = 2t con t 2 R, t …jo
(c) lim
x! 1
e2x+5
x+2 = e3
(j) lim
x!2
5x2
+9x+2
x2 4 = 11
4
(d) lim
x!3
x2
1
x2 3x+2 = 4 (k) lim
x!b
x3
b3
x b = 3b2
(e) lim
x! 2
x
x+3
x2
+xp
x2+5
= 1p
x2+5
x2
+ x 2 (l) lim
x!1
x 1p
x 1
= 2
(f) lim
x!0
p
1+x
p
1 xp
4x+1 3
= 0 (m)lim
x!0
q
x+4
x
2p
x
= unde ned
(g) lim
x! 4
sin2
x+tan x
cos(2x
3 )
=
p
3
Ejercicio Calcular los siguientes límites:
(a) lim
x!3
(3x 5)
1
1 x
= 1
2 (d) lim
x!0
sin(2x)
x
tan x
3x
= 3
p
2
(b) lim
x!1
3x+1
2x 5
x+1
3x+1
= 1
2 2
2
3
3
p
3 (e) lim
x!+1
p
2x2+1+1
x
x+1
= 1
(c) lim
x!0+
sin(2x)
sin x
1
x
= 1 (f) lim
x!0+
sin(3x2
)
sin(4x2)
1
x
= 0
Ejercicio Sabiendo que lim
y!0
(1 + y)
1
y
= lim
t!1
1 + 1
t
t
= e calcular los
siguientes limites:
(a) lim
x!+1
x 2
x+3
x
= e 5
(e)lim
x!0
ln(1+x)
x = 1
(b) lim
x!+1
1 + a
x
x
= ea
, a 2 R …jo (f) lim
h!0
ln(a+h) ln a
h = 1
a , a > 0 …jo
(c) lim
h!0
1 + h
x
1
h
= e
1
x (g) lim
h!0
eh
1
h = 1
(d) lim
x!0
(1 + sin x)
1
x
= e (h) lim
h!0
ea+h
ea
h = ea
, a 2 R …jo
1

2. Ejercicio Determinar el conjunto de puntos de discontinuidad (en R)
de las siguientes funciones. Rede…nirlas, si fuera posible, para que resulten
continuas:
(a) f(x) = x 1
x(x2 4) (e) f(x) =
8
<
:
4x2
3 si x > 1
1 si x = 1
x2
3x+2
x2 4x+3 si x < 1
(b) f(x) =
8
<
:
x si x < 0
x2
si 0 x < 2
2 si x 2
(f) f(x) = x2
p
x2+1 1
(c) f(x) = x
2
3 4
2x
2
3 3x
2
3 2
(g) f(x) =
( p
3x+1
p
x+3
x2 x si x > 1
sin( 2x+2)
x2+x 2 si x < 1
(d) f(x) = (x 1)2
x2 1
Ejercicio En cada uno de los siguientes casos hallar todos los pares de
numeros reales a y b para los que la funcion f resulta continua en todo R:
(a) f(x) =
8
<
:
x si x 2 ( 1; 0)
ax + b si x 2 (0; 2)
x2
si x 2
(b) f(x) =
8
<
:
x3
+ 1 si x 0
ax2
+ b si 0 < x < 2
x2
1 si x 2
Práctica 6: Cálculo integral
1.
R dx
2x2+5x+13 =
p
79 2
79 arctan
p
79 4
79 x + 5
79
1
79
2.
R ex
dx
e2x+6ex+10 = arctan (ex
+ 3) 1
2
3.
R
x
1
2 sinh
p
xdx =
R 1p
x
sinh
p
x dx
4.
R dxp
x2+6x+21
= 1
2 ln 3 + ln 1
6 x + 1
6
p
x2 + 6x + 21 + 1
2
5.
R 2x+3
9x2 12x+18 dx = 1
9 ln x2 4
3 x + 2 13
252
p
14 + 13
126
p
14 arctan
p
14 3
14 x 1
7
6.
R x
p
arctan 2x
1+4x2 dx = 1
8 ln x2
+ 1
4
R p
arctan 2x
4x2+1 dx
7.
R
sin2
axdx = 1
4a (sin 2ax 2ax)
8.
R
cos2
axdx = 1
4a (sin 2ax + 2ax)
9.
R
sin(9x 1) sin(2x + 5)dx = 1
14 sin (7x 6) 1
22 sin (11x + 4)
2

3. 10.
R
arcsin 1
x dx = arctanh 1q
1
x2 (x2 1)
+ x arcsin 1
x
11.
R
xe2x
cos 3xdx = 1
169 e2x
(5 cos 3x 12 sin 3x + 26x cos 3x + 39x sin 3x)
12.
R
arcsin xdx =
p
1 x2 + x arcsin x
13.
R dx
x2
p
4+x2
= 1
4x
p
x2 + 4
14.
R x2
p
x2 4
dx = 2 ln 2x + 2
p
x2 4 + 1
2 x
p
x2 4
15.
R
sin
p
xdx =
R
sin
p
x dx
16.
R ln 2x
x ln 4x dx = ln x ln (2 ln 2 + ln x) ln 2
17.
R x4
+8x3
x2
+2x+1
(x2+x)(x3+1) dx
18.
R 1
(x+1)(x2+x+1)2 dx
19.
R x3
p
1+2x x2
dx
20.
R sec x
sec x+tan x dx = 2
tan 1
2 x+1
21.
R 1
sin x cos2 x dx = 1
2 cos x (ln (2 2 cos x) cos x ln (2 cos x + 2) cos x + 2)
22.
R
tan3
xdx = 1
2 tan2
x + ln (cos x)
3