tarea 4

1. C´alculo Diferncial e Integral II
Tarea 4
1. Reescribir los siguientes polinomios cambiando sus centros al punto correspondiente.
a) 3x2 − 10x + 5, a = 2.
b) x3 + x2 + 4x + 1, a = −1.
c) 2x3 − 5x2 + 2x + 5, a = 1.
d) x3 − 5x2 + 7x + 5, a = 2.
e) 5x4 − 17x3 + 20x2 − 8x − 2, a = 1.
2. Hallar los polinomios de Taylor en el punto indicado para las siguientes funciones.
a) cos x, a = π.
b) ex, a = 1.
c) ln x, a = 2.
d) 1/x, a = 1.
e) tan x, a = π/4 (grado 2).
3. Decidir si las siguientes funciones tienen un m´aximo, un m´ınimo o un punto silla en los puntos indicados.
a) x6 + 3x5 + 2x4, a = 0.
b) x4 + 7x3 + 9x2 − 27x − 54, a = −3.
c) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 4, a = −1.
d) x5 − 2x4 − 2x3 + 8x2 − 7x + 2, a = 1.
e) cos3 x, a = π/2.
4. Escribir los siguientes valores como una suma finita de n´umeros racionales con los errores de aproximaci´on respectivos.
a) sen 1; error < 10−17.
b) sen 2; error < 10−12.
c) sen 1
2
; error< 10−20.
d) e; error < 10−4.
e) e2; error < 10−5.
5. Calcular los siguientes l´ımites. No se vale usar la regla de L’Hˆopital
a) l´ım
x→0
ex − cos x
x
.
b) l´ım
x→0
6 sen x − 6x + x3
x5
.
c) l´ım
x→0
2 cos x − 2 + x2
x4
.
d) l´ım
x→0
6ex − 6 − 6x − 3x2 − x3
x2
.
e) l´ım
x→0
x − arctan x
x3
.
6. Sea z ∈ C, donde z = x + iy (x, y ∈ R e i =
√
−1). Demostrar que ez = ex(cos y + i sen y).
Hint: Escribir ez = exeiy y a continuaci´on desarrollar eiy como una serie de Taylor.
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2. 7. Decidir si las siguientes suceciones son convergentes. En caso afirmativo, calcular sus l´ımites.
a) an =
2n2 + 3n − 1
4n2 + 3
.
b) an =
(n2 + 1)2 − 3n2 + 3
n3 − 5
.
c) an = n2 + 3n − n2 + n.
d) an =
√
n −
√
n − 1.
e) an = n1/n
.
En e), escribir an = eln an y calcular el l´ımite de esta expresi´on (se puede usar la regla de L’Hˆopital).
8. Considera la siguiente sucesi´on:
{an}∞
n=1, donde a1 = 1 y an = 2 + an−1, si n > 1.
a) Demostrar que an ≤ 2 para toda n ∈ N.
Hint: Usar Inducci´on.
b) Demostrar que {an}∞
n=1 es creciente.
c) Concluir que {an}∞
n=1 es convergente y calcular su l´ımite.
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