Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define qué significa que una variable tiende a un número y presenta las notaciones para expresar límites. Explica cómo calcular límites en diferentes casos como cuando la función está definida o no en el punto, o cuando los límites laterales coinciden o no. También cubre cálculos de límites para funciones polinómicas, racionales e irracionales.
En este documento van a encontrar la definición de la derivada con mas profundidad, además de su gráfica para su mayor entendimiento. Allí de igual forma, podemos ver la derivada compuesta, implícita y laterales. También, están insertas las propiedades de la derivada con sus respectivos ejemplos.
En este documento van a encontrar la definición de la derivada con mas profundidad, además de su gráfica para su mayor entendimiento. Allí de igual forma, podemos ver la derivada compuesta, implícita y laterales. También, están insertas las propiedades de la derivada con sus respectivos ejemplos.
Un viaje a Roma es una buena oportunidad de descubrir geometría. Sacit Ámetam viajó a Roma y este fue el resultado. Un regalo para nuestros alumnos que siempre piensan que las matemáticas son abstractas, que no se encuentran en ningún sitio, que no sirven para nada, ... Esperamos que les ayude a descubrirlas, qué les sorprendan las bellezas de formas que sus ecuaciones generan.¡ Para todos vosotros que lo disfrutéis!. Sacit Ámetam
1. LÍMITES
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
Decir que x tiende a un número a significa que x toma valores próximos, tanto como se desee, a
a ya sean mayores o menores y se representa ax → . De la misma manera, decir que ( )xf tiende a
un número l significa que ( )xf toma valores próximos a l.
Para escribir que el límite cuando x tiende a un número a de una función ( )xf es un número l
utilizamos la siguiente notación: ( ) lxf
ax
=
→
lim
El comportamiento de ( )xf debe ser el mismo tanto si x se acerca a a por la derecha como por
la izquierda. En este caso diremos existe el límite y que el ( ) lxf
ax
=
→
lim
Si
( )
( )
( ) lxf
lxf
lxf
ax
ax
ax
=⇒
=
=
→
→
→
−
+
lim
lim
lim
• Caso 1: si ( )xf está definida en el punto a suele cumplirse que ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim . En este
caso la función es continua en el punto a. Para calcular el límite se sustituye a en la
función.
Ejemplo 1: Calcular el x
x
2
8
loglim
→
xy 2log=
7´9 98189´29´7log2 =
7´99 99820´299´7log2 =
7´999 99982´2999´7log2 =
8´001 00018´3001´8log2 =
8´01 00180´301´8log2 =
8´1 01792´31´8log2 =
1
2. 3loglim
3loglim
3loglim
2
8
2
8
2
8
=⇒
=
=
→
→
→
+
−
x
x
x
x
x
x
Además ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim pues 38log2 = .
• Caso 2: si ( )xf NO está definida en el punto a y en sus proximidades tampoco, no tiene
sentido calcular el límite.
Ejemplo 2: Calcular el x
x
lim
1−→
. No tiene sentido porque la función no está definida
para valores próximos a -1.
• Caso 3: si ( )xf NO está definida en el punto a pero los límites laterales no coinciden, el
límite no existe.
Ejemplo 3: Calcular el
1
lim
0 xx→
x
y
1
=
-0´1 10
1´0
1
−=
−
-0´001 1000
001´0
1
−=
−
-0´00001 100000
00001´0
1
−=
−
0´00001 100000
00001´0
1
=
0´001 1000
001´0
1
=
0´1 10
1´0
1
=
x
x
x
x
x
x 1
lim
1
lim
1
lim
0
0
0
→
→
→
∃/⇒
∞+=
−∞=
+
−
• Caso 4: si ( )xf NO está definida en el punto a pero los límites laterales coinciden, y por
tanto el límite existe. Estos límites se calculan por métodos más específicos.
Ejemplo 4: Calcular el
1
1
lim 21 −
−
→ x
x
x
1
1
2
−
−
=
x
x
y
0´9 52631´0
19´0
19´0
2
=
−
−
0´99 50251´0
199´0
199´0
2
=
−
−
0´999 50025´0
1999´0
1999´0
2
=
−
−
1´001 49975´0
1001´1
1001´1
2
=
−
−
1´01 49751´0
101´1
101´1
2
=
−
−
1´1 47619´0
11´1
11´1
2
=
−
−
2
3. 0´5
1
1
lim
0´5
1
1
lim
0´5
1
1
lim
21
2
1
2
1
=
−
−
⇒
=
−
−
=
−
−
→
→
→
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Sin embargo
0
0
11
11
1
1
lim 221
=
−
−
=
−
−
→ x
x
x
• Caso 5: si ( )xf es una función a trozos, además de los casos anteriores debemos estudiar
el límite en los puntos de unión de los distintos trozos.
Ejemplo 5: Calcular el ( )xf
x
lim
1→
siendo ( )
≥−
<+−
=
1xsi2
1xsi232
x
xx
xf
( )
( ) 1122limlim
0213123limlim
11
22
11
=−==
=+⋅−=+−=
−−
−−
→→
→→
-xxf
xxxf
xx
xx
2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
Si ( ) Axf
ax
=
→
lim y ( ) Bxg
ax
=
→
lim , entonces:
1. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) BAxgxfxgxf
axaxax
±=±=±
→→→
limlimlim
2. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] BAxgxfxgxf
axaxax
⋅=⋅=⋅
→→→
limlimlim
3. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 0conlimlimlim ≠=÷=÷
→→→
B
B
A
xgxfxgxf
axaxax
4. kk
ax
=
→
lim
3
4. 3. LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS.
3.1 Cuando ax →
( ) ( )aPxP
ax
=
→
lim pues las funciones polinómicas son continuas.
Ejemplo:
( ) ( ) 4521512152lim
2323
1
−=−+−=−−⋅+−=−+
−→
xx
x
3.2 Cuando ±∞→x
( ) ±∞=
±∞→
xP
x
lim dependiendo del signo del término de mayor grado y el grado del
polinomio.
Ejemplos:
+∞=−+
+∞→
52lim 23
xx
x
−∞=−+
−∞→
52lim 23
xx
x
−∞=++−
+∞→
142lim 3
xx
x
+∞=++−
−∞→
142lim 3
xx
x
+∞=−
+∞→
34
lim xx
x
+∞=−
−∞→
34
lim xx
x
−∞=+−
+∞→
6lim 2
x
x
−∞=+−
−∞→
6lim 2
x
x
4. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES.
4.1 Cuando ax → ( ) ( )
( )xQ
xP
xf =
• Caso 1: si ( ) 0≠aQ entonces
( )
( )
( )
( )aQ
aP
xQ
xP
ax
=
→
lim
Ejemplo:
( )
( ) ( ) 2
1
3121
213
32
23
lim 221
−
=
+−⋅+−
+−⋅
=
++
+
−→ xx
x
x
• Caso 2: si ( ) 0=aQ y ( ) 0≠aP entonces aunque el límite no existe se dice que el
límite es infinito
( )
( )
( )
( )
±∞=
=
≠
=
→ 0
0
lim
aQ
aP
xQ
xP
ax
Ejemplos:
4
5. +∞==
→ 0
11
lim
0 xx
−∞=
−
=
−
⋅−
=
−
−
→ 0
3
11
13
1
3
lim
1 x
x
x ( )
+∞==
−
−
→ 0
5
4
32
lim 24 x
x
x
• Caso 3: si ( ) 0=aQ y ( ) 0=aP entonces el punto a es solución de los polinomios
P y Q, por lo tanto dichos polinomios se pueden factorizar siendo uno de los factores
( )ax − . Tendremos entonces que resolver un nuevo límite:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )xQ
xP
xQax
xPax
xQ
xP
axaxax
1
1
1
1
limlimlim
→→→
=
⋅−
⋅−
=
Ejemplos:
( )( ) 2
1
1
1
lim
11
1
lim
0
0
11
11
1
1
lim
11221
=
+
=
−+
−
==
−
−
=
−
−
→→→ xxx
x
x
x
xxx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
6
1
6
21
611
2
6
lim
21
61
lim
0
0
231
6521
23
652
lim
231
6521
lim
0
0
2541
611331
254
61133
lim
2
1
2
12
23
1
2
23
123
234
1
=
−
−
=
−
−−
=
=
−
−−
=
−⋅−
−−⋅−
==
+−
+−−
=
+−
+−−
=
=
+−⋅−
+−−⋅−
==
−+−
−+−−
=
−+−
−+−−
→→→
→→
x
xx
xx
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
xxx
xxxx
xxx
xx
4.2 Cuando ±∞→x ( ) ( )
( )xQ
xP
xf =
( )
( ) ∞±
∞±
=
±∞→ xQ
xP
x
lim pues P y Q son polinomios. Se resuelven dividiendo ambos polinomios
por la parte literal del término de mayor grado que haya en la función.
• Caso 1: si ( ) ( )xQgrxPgr <
( )
( )
0lim =
±∞→ xQ
xP
x
Ejemplo:
1
0
001
00
32
1
23
lim
32
23
lim
32
23
lim
32
23
lim
2
2
222
2
22
2
2
2
2
=
++
+
=
=
++
+
=
++
+
=
++
+
=
∞
∞
=
++
+
+∞→+∞→+∞→+∞→
xx
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
xxxx
• Caso 2: si ( ) ( )xQgrxPgr =
( )
( ) n
n
x b
a
xQ
xP
=
±∞→
lim siendo na y nb los coeficientes
principales de P y Q respectivamente.
Ejemplo:
5
6. 3
5
003
05
44
3
3
5
lim
443
35
lim
443
35
lim
443
35
lim
2222
2
22
2
2
2
2
2
2
2
=
−+
+
=
=
−+
+
=
−+
+
=
−+
+
=
∞
∞
=
−+
+
+∞→+∞→+∞→+∞→
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xxxx
• Caso 3: si ( ) ( )xQgrxPgr >
( )
( )
±∞=
±∞→ xQ
xP
x
lim
Ejemplo:
−∞=
−
=
−
+−
=
=
−
+−
=
−
+
−
=
−
+−
=
∞
∞
=
−
+−
+∞→+∞→+∞→+∞→
0
3
00
03
41
8
3
lim
4
83
lim
4
83
lim
4
83
lim
222
22
2
2
2
2
2
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xxxx
5. LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES.
5.1 Cuando ax → ( )xf
Si la función ( )xf está definida en a, suele verificarse: ( ) ( ) ( )afxfxf
axax
==
→→
limlim
En caso de obtener expresiones no definidas (por ejemplo 0/0), el límite puede resolverse
haciendo transformaciones algebraicas en la expresión inicial; la estrategia más clásica
consiste en multiplicar y dividir por expresiones conjugadas.
Ejemplos:
( ) 3951452lim52lim
77
==−=−=−
→→
xx
xx
( ) ( )
( )
2
5
lim
5
55
lim
5
25
lim
0
0
5
25
lim
552
2
52
2
5
=
+
=
−⋅
−⋅+
=
−
−
==
−
−
→→→→ x
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xxxx
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2
1
1
1
lim
11
1
lim
11
11
lim
0
0
1
1
lim
1111
=
+
=
+⋅−
−
=
+⋅−
+⋅−
==
−
−
→→→→ xxx
x
xx
xx
x
x
xxxx
( )
( ) ( ) 2
2
2
1
2
1
4
lim
44
4
lim
16
4
lim
0
0
16
4
lim
442
2
42
2
4
===
+
=
−⋅+
−⋅
=
−
−
==
−
−
→→→→ x
x
xx
xx
x
xx
x
xx
xxxx
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2
1
12
1
lim
123
3
lim
123
12
lim
123
1212
lim
0
0
3
12
lim
33
333
=
+−
=
+−⋅−
−
=
=
+−⋅−
−−
=
+−⋅−
+−⋅−−
==
−
−−
→→
→→→
xxx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xx
xxx
5.2 Cuando ±∞→x ( )xf
6
7. ( ) ( )xfxf
xx
limlim
±∞→±∞→
= . Si hay cocientes, suele ser válida la regla de los grados
utilizada con las funciones racionales.
Ejemplos:
+∞=
+∞→
x
x
lim
0
3
lim =
+∞→ xx
2
1
4
1
54
2
lim
54
2
lim 2
2
2
2
==
+
+
=
∞
∞
=
+
+
+∞→+∞→ xx
xx
xx
xx
xx
+∞==
⋅
=
∞
∞
=
+∞→+∞→+∞→ 2
lim
2
lim
2
lim
x
x
xx
x
x
xxx
24
5
4
lim
5
4
lim 2
2
2
2
==
−
=
− +∞→+∞→ xx
x
xx
x
xx
2
1
2
14
lim
32
lim
14
32
lim
14
32
lim
14
32
lim
14
32
lim
2
2
2
2
2
222
==
+−
+
=
=
+−
+
=
+−
+
=
+−
+
=
∞
∞
=
+−
+
+∞→
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xxxx
+∞==
−
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
∞
∞
=
−
+
+∞→
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
0
2
45
lim
32
lim
45
32
lim
45
32
lim
45
32
lim
45
32
lim
4
23
2
2
4
23
2
2
4
23
2
2
2
23
2
2
23
2
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xxxx
2
1
2
4
lim
52
lim
4
52
lim
4
52
lim
4
52
lim
4
52
lim
2
2
2
2
2
222
==
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
∞
∞
=
+
+
+∞→
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xxxx
7
9. [ ] [ ] ( ) +∞=∞+==
+∞→+∞→
b
x
bb
x
xx loglimlogloglim
[ ] [ ] ( ) −∞=== +
→→ ++
0loglimlogloglim
00
b
x
bb
x
xx
( ) −∞==
∞+
=
=
+
+∞→+∞→
0log
1
log
1
limlog
1
loglim bb
x
bb
x xx
( ) ( ) +∞=∞+=−
±∞→
log1loglim 2
x
x
( ) −∞==
+
=
+
+
+∞→+∞→
0log
1
2
limlog
1
2
loglim 22
x
x
x
x
xx
110log
5
10
limlog
5
10
loglim ==
+
=
+ +∞→+∞→ x
x
x
x
xx
01log
5
limlog
5
loglim ==
+
=
+ +∞→+∞→ x
x
x
x
xx
( ) −∞==
+
=
+
+
+∞→+∞→
0log
12
10
limlog
12
10
loglim
xx xx
( ) +∞=∞+=
+
=
+ +∞→+∞→
log
5
2
limlog
5
2
loglim
22
x
x
x
x
xx
8. OPERACIONES CON EL INFINITO
+∞=±∞+ k
+∞=∞+∞+
−∞=±∞− k
−∞=∞−∞−
ACIÓNINDETERMIN=∞−∞+
( ) ( ) ±∞=∞+⋅±k
( ) ( ) ∞=∞−⋅± k
( ) ( ) ±∞=∞+⋅∞±
( ) ( ) ∞=∞−⋅∞±
0=
∞±
±k
±∞=
±
∞±
k
ACIÓNINDETERMIN=
∞±
∞±
( ) ±∞=∞±
+k
( ) 0=∞±
−k
9. LÍMITES INDETERMINADOS
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
∞
∞
0
k
0
0
∞−∞ ∞⋅0 ∞
1 0
0 0
∞
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES FUNC. EXPONENCIALES
9
10. FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
• Caso 1: ∞
∞
Esta indeterminación desaparece dividiendo numerador y denominador por la parte literal
del término de mayor grado.
4
1
1
11
4
lim
1
14
lim
1
14
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
−+
=
+
−+
=
∞
∞
=
+
−+
∞→∞→∞→
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
xxx
1
1
1
1
limlimlimlim
2
22
2
=
+
=
+
=
+
=
∞
∞
=
+
∞→∞→∞→+∞→
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
xxxx
Regla:
- Si ( ) ( )QgrPgr < el límite es 0
- Si ( ) ( )QgrPgr = el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de
mayor grado.
- Si ( ) ( )QgrPgr > el límite es ∞+ ó ∞−
• Caso 2:
0
k
con 0≠k
Esta indeterminación desaparece cuando los límites laterales son iguales.
Si los límites laterales son diferentes, se dice que no existe el límite.
límite
0
1
1
1
lim
0
1
1
1
lim
0
1
1
1
lim
1
1
1
∃/⇒
−∞==
−
+∞==
−
⇒=
−
−→
+→
→
−
+
x
x
x
x
x
x
• Caso 3:
0
0
La indeterminación desaparece de una de las siguientes formas:
- Factorizando numerador y denominador y simplificando.
( ) ( ) ( ) 31lim
1
11
lim
0
0
1
1
lim 2
1
2
1
3
1
=++=
−
++⋅−
==
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
- Multiplicando y dividiendo por el conjugado del radicando y simplificando.
10
11. ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( ) 211lim
11
lim
11
11
lim
1111
11
lim
0
0
11
lim
00
000
=−+=
−+⋅
=
=
−−
−+⋅
=
−+⋅−−
−+⋅
==
−−
→→
→→→
x
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xx
xxx
• Caso 4: ∞−∞
La indeterminación desaparece de una de las siguientes formas:
- Operando la expresión queda inmediato a una de las anteriores indeterminaciones.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) 3
1
6
2
3
2
lim
33
32
lim
33
62
lim
33
1262
lim
33
1232
lim
33
12
3
2
lim
9
12
3
2
lim
3333
3323
==
+
=
+⋅−
−⋅
=
+⋅−
−
=
+⋅−
−+
=
=
+⋅−
−+⋅
=
+⋅−
−
−
=∞−∞=
−
−
−
→→→→
→→→
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xxxxx
xxxx
xxx
- Multiplicando y dividiendo por el conjugado del radicando y simplificando.
( ) ( )
2
1
limlimlim
limlim
2
222
22
2
22
2
=
+
+
=
∞
∞
=
++
=
++
−+
=
=
++
++⋅−+
=∞−∞=−+
+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
x
x
x
xx
x
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
xx
• Caso 5: ∞⋅0
Esta indeterminación se resuelve transformándola en otra de tipo ∞
∞
ó
0
0
( ) 0
1
0
2
1
96
lim
2
96
lim
2
96
lim032
2
3
lim
4
2
4
4
2
44
==
−
−
=
−
−
=
∞
∞
=
−
−
=∞⋅=−⋅
− −∞→−∞→−∞→−∞→
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x xxxx
11
12. FUNCIONES EXPONENCIALES
• Caso 6: ∞
1
La indeterminación desaparece aplicando la siguiente regla:
[ ] )(1)(lim)(
1)(lim
)(lim
1)(lim
xgxfxg
ax
ax
ax
ax
exf
xg
xf
⋅−∞
→
→
→
→
==⇒
∞=
=
Demostración
Recordemos que e
n
n
n
=
+
∞→
1
1lim
Sean na y nb dos sucesiones:
( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) nn
n
n
nn
ba
a
n
b
n
b
n
b
n
aa
aa
⋅−⋅
−
−
+=
−
+=−+=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
111
Por tanto el límite de nb
na equivale a calcular este otro límite:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) nn
n
nn
nn
nn
n
n
ba
ba
a
n
n
ba
a
n
n
b
n
n
e
aa
a
⋅−
⋅−⋅
−
∞→
⋅−⋅
−
∞→∞→
∞→
∞→
=
−
+=
−
+=
1lim
1lim
1
1
1
1
1
1
1
1
1lim
1
1
1
1limlim
Ejemplo
83
8
lim2
3
4
lim2
3
37
lim21
3
7
lim
2
1
3
7
lim eeeee
x
x x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
xxxx
======
+
+
+
⋅
+
⋅
+
−−+
⋅
−
+
+
∞
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
Las siguientes indeterminaciones se resuelven por la regla del L´Hopital, que se estudia en 2º
de Bachillerato.
• Caso 7: 0
0
0
0
0lim =+
→
x
x
x
• Caso 8: 0
∞
0
0
1
lim ∞=
+
→
x
x x
12
13. INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES
Dos funciones ( )xf y ( )xg son equivalentes en un punto ax = si el límite de su cociente
en dicho punto es 1.
( )
( )
1lim =
→ xg
xf
ax
⇔ ( )xf ~ ( )xg en ax =
El límite de una expresión no varía al sustituir las funciones por otras equivalentes.
• 1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
Consideramos la circunferencia de radio 1 y un ángulo x .
xxrL =⋅=⋅= 1α
Según el diagrama
1
sin
lim1
sin
lim11lim
sin
limcoslim
1
sin
cos
cos
1
sin
1
sin
tan
sinsin
sin
tansin
00000
=⇒<<⇒<<⇒
⇒<<⇒<<⇒<<⇒<<
→→→→→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxxx
• 1
tan
lim
0
=
→ x
x
x
Utilizamos el diagrama anterior de nuevo:
1
tan
lim1
tan
lim1coslim
tan
lim1lim
cos
tan
11
tancos
1
tan
tan
tantan
sin
tansin
00000
=⇒<<⇒<<⇒
⇒<<⇒<<⇒<<⇒<<
→→→→→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xxx
xxxxx
Sen x Tg x
Longitud del arco = x
13
14. De la misma forma que en los dos límites anteriores se deduce:
• 1
arcsin
lim
0
=
→ x
x
x
• 1
arctan
lim
0
=
→ x
x
x
•
1
2
cos1
lim 20
=
−
→ x
x
x
• dfgh
14