Este documento presenta el uso del método WKB para obtener una solución asintótica para las vibraciones transversales de una viga no uniforme descrita por la ecuación de Euler-Bernoulli. Se describe el método WKB, se obtiene una ecuación para las frecuencias propias y se muestra que la solución WKB coincide con la solución exacta para vigas uniformes o con ciertas variaciones de la densidad y el momento de inercia.

1. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Aproximación WKB para vigas
Euler-Bernoulli no uniformes
Hugo Aya B.1 Ricardo Cano M.2 Petr Zhevandrov B.2,3
1Universidad Distrital Francisco José de Caldas
2Universidad de La Sabana
3Universida Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
XVII Congreso Colombiano de Matemáticas 2009
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

2. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Outline
1 Introducción
Introducción
2 Método WKB
Solución asintótica para una viga no uniforme
Método WKB
3 Ecuación para las frecuencias propias
Viga empotrada en sus dos extremos
4 Resultados
5 Bibliografía
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

3. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Introducción
Introducción
Las vibraciones de vigas no uniformes han sido estudiadas
desde el siglo XIX (ver [8, §1302] sobre las investigaciones de
Kirchhoff). Un estudio relativamente reciente se puede ver en
[1], donde se obtienen las frecuencias propias de vigas de
Euler-Bernoulli (EB) en el caso especial de coeficientes para
los cuales las soluciones de la ecuación (EB) se expresa en
términos de funciones elementales.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

4. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Introducción
Para la ecuación de una barra no uniforme (problema de
Sturm-Liouville) con dependencia de los parámetros (densidad,
sección transversal) arbitrarios, en los que la ecuación no se
integra ni siquiera en términos de funciones especiales, se usa
el método WKB (también conocido en la literatura como la
aproximación de Liouville-Green), (ver [2,5]). Nosotros no
encontramos aplicaciones de esta técnica a la ecuación (EB),
que es del orden 4 (en contraste con la ecuación de
vibraciones de barras que es del orden 2), a pesar de que el
método WKB está desarrollado para ecuaciones del orden n
(ver [3]).
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

5. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Solución asintótica para una viga no uniforme
Método WKB
Solución asintótica para una viga no uniforme
Las vibraciones transversales de una viga no uniforme en la
aproximación Euler-Bernoulli se describen por
ρS(x)
∂2y
∂t2
+
∂2
∂x2
EJ(x)
∂2y
∂x2
= 0, (1)
(ver [7]), donde E es el módulo de elasticidad del material de la
viga, ρ es la densidad de la viga, S(x) es la superficie del corte
transversal (aquí se desprecia el movimiento giratorio de la
flexión), J(x) es el momento de inercia del corte transversal
con respecto a su eje horizontal y y es el desplazamiento
transversal.
Supondremos en lo que sigue que las funciones S(x) y J(x)
son suaves y positivas en 0 ≤ x ≤ l, donde l es la longitud de
la viga.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

6. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Solución asintótica para una viga no uniforme
Método WKB
Buscamos los modos naturales de oscilación de la viga en la
forma
y(x, t) = eiωt
v(x)
De esta manera, la ecuación (1) se transforma en la ecuación
equivalente
1
ρS(x)
EJ(x)v (x) = ω2
v(x) (2)
Para condiciones de frontera formuladas más adelante, los
eingevalores ω = ωn de (2) tienden al infinito cuando n → ∞
(ver [2]); por lo tanto, ε = ω
−1
2
n → 0, cuando n → ∞, y podemos
considerar a ε como un parámetro pequeño de nuestro
problema.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

7. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Solución asintótica para una viga no uniforme
Método WKB
WKB
De acuerdo con el método WKB, buscamos la solución de la
ecuación (2) en la forma
v(x) = A(x, ε)e
iΦ(x)
ε (3)
donde
A(x, ε) = A0(x) + εA1(x) + ε2
A2(x) + · · ·
y las funciones desconocidas Φ(x) y Aj(x), j = 0, 1, 2, · · · son
suaves.
Sea ω2
=
1
ε4
. La ecuación (2) se transforma entonces en
v(x) =
ε4
ρS(x)
EJ (x)v (x) + 2EJ (x)v (x) + EJ(x)v(4)
(x) (4)
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

8. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Solución asintótica para una viga no uniforme
Método WKB
De (3) y (4) se sigue que
A(x, ε) =
E
ρS(x)
J(x)Φ4
x A(x, ε) − 2iε 2J(x)Φ3
x Ax (x, ε) + J(x)Φ3
x A(x, ε)
+ O(ε2
) (5)
Al separar los términos en el orden de potencias de ε resulta
ε0
:
EJ(x)
ρS(x)
Φ4
x = 1 (6)
ε1
: 2J(x)Φ3
x A0x + J(x)Φ3
x A0 = 0 (7)
De los ordenes de potencia εn, n ≥ 2 se pueden obtener
ecuaciones para An−1(x), n ≥ 2.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

9. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Solución asintótica para una viga no uniforme
Método WKB
De (6) y 7 se sigue que
Φk (x) = (i)k EJ(x)
ρS(x)
−1
4
dx, k = 1, 2, 3, 4. (8)
A0(x) = C0 J(x)Φ3
x (x)
−1
2
. (9)
Reemplazando (8) en (9) se obtiene que
A
(k)
0 (x) = Ck J−1
8 (x)S−3
8 (x), k = 1, 2, 3, 4. (10)
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

10. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Solución asintótica para una viga no uniforme
Método WKB
Así, la solución v(x) de (2) puede expresarse en la forma
v(x) = J− 1
8 (x)S− 3
8 (x) C1 sen
Ψ1
ε
+ C2 cos
Ψ1
ε
+ C3e−
Ψ1
ε + C4e−
Ψ2
ε
(11)
donde
Ψ1 =
x
0
a−1
4 (t) dt, Ψ2 =
l
x
a− 1
4 (t) dt y a(t) =
EJ(t)
ρS(t)
.
La fórmula (11) representa la combinación lineal de cuatro
funciones que aproximan las cuatro soluciones linealmente
independientes de la ecuación (2) (ver[3]).
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

11. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Solución asintótica para una viga no uniforme
Método WKB
Las soluciones WKB en los casos en que la solución de (2) se
puede obte-ner en términos de funciones elementales
(S, J = constantes, viga uniforme; o S = S0(1 + αx)4,
J = J0(1 + αx)4; en el último caso (ver [1]), la sustitución
v(x) = (1 + αx)2 reduce la ecuación a la de una viga uniforme)
coinciden con las soluciones exactas; en estos casos las
correciones para las amplitudes An, n ≥ 1, se anulan.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

12. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Viga empotrada en sus dos extremos
Condiciones de frontera
Para completar el enunciado de nuestro problema,
especificamos a continuación las condiciones de frontera para
la función v(x) en (2).
Para una viga empotrada en sus dos extremos, las condiciones
de frontera están dadas por
v x=0
= v x=l
= 0, εv x=0
= εv x=l
= 0 (12)
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

13. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Viga empotrada en sus dos extremos
Viga no uniforme
Al reemplazar las condiones de frontera (12) en (11)
obtenemos un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones para
los coeficientes Ci, i = 1, 2, 3, 4. Este sistema tendrá
soluciones no triviales cuando
0 −1 −1 −e− L
ε
− sen L
ε
− cos L
ε
−e− L
ε −1
−γ αε
8
γ + αε
8
(αε
8
− γ)e− L
ε
βε
8
sen L
ε
− δ cos L
ε
δ sen L
ε
+ βε
8
cos L
ε
(δ + βε
8
)e− L
ε
βε
8
− δ
= 0,
(13)
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

14. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Viga empotrada en sus dos extremos
donde
L =
l
0
a−1
4 (x) dx, α = J−1
(0)J (0) + 3S−1
(0)S (0),
β = J−1
(l)J (l) + 3S−1
(l)S (l), γ = a−1
4 (0) y δ = a−1
4 (l).
La ecuación (13) es la ecuación secular para las frecuencias
propias ωn = ε−2.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

15. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Viga empotrada en sus dos extremos
Viga uniforme
Si la viga es uniforme γ = δ, α = 0, y β = 0 por lo tanto, el
determinante en (13) se transforma en
0 1 1 e− L
ε
sen L
ε cos L
ε e− L
ε 1
1 0 −1 e− L
ε
cos L
ε − sen L
ε −e− L
ε 1
= 0, (14)
de lo que resulta
cosh
L
ε
cos
L
ε
= 1,
que coincide con el resultado clásico (ver, por ejemplo, [6]).
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

16. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Viga empotrada en sus dos extremos
Método WKB∗
Hemos obtenido la asintótica del sistema fundamental de
soluciones con la precisión O(ε), por lo tanto, tenemos que
despreciar los términos de este orden y los ordenes más altos
(por ejemplo, e− L
ε = O(ε∞)) en (13). Esto simplifica
notoriamente los cálculos, de manera que el determinante en
(13) se convierte en
0 1 1 0
sen L
ε cos L
ε 0 1
1 0 −1 0
cos L
ε − sen L
ε 0 1
= 0, (15)
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

17. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Viga empotrada en sus dos extremos
de lo que resulta
cos
L
ε
= 0, ε =
2
l
0 a−1
4 (x) dx
(2n + 1)π
,
y se tiene entonces que
ωn =
(2n + 1)π
2
l
0 a−1
4 (x) dx
2
1 + O
1
n
, n ∈ Z+
, n → ∞.
(16)
Este último resultado lo vamos a llamar WKB∗.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

18. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
En las siguientes tres tablas se presentan las frecuencias
adimensionales (E = 1, ρ = 1) de los primeros modos de
oscilación obtenidos para una viga cónica de un metro de
longitud empotrada en sus dos extremos, en la cual el extremo
izquierdo tiene un radio de 1 mm. y el extremo derecho tiene
un radio de 2, 5 y 10 mm., respectivamente.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

19. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Radio1=1 m.m, Radio2=2 m.m.
Modo Numérica WKB Error % WKB∗
Error %
1 5.260911 5.187872 1.388327 5.149840 2.111244
2 14.426868 14.302282 0.863569 14.305112 0.843953
3 28.211485 28.038196 0.614249 28.038025 0.614855
4 46.583044 46.347851 0.504891 46.347861 0.504869
5 69.539662 69.236381 0.436127 69.236381 0.436127
6 97.050575 96.703373 0.357754 96.703373 0.357754
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

20. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Radio1=1 m.m, Radio2=5 m.m.
Modo Numérica WKB Error % WKB∗ Error %
1 9.894705 9.322345 5.784509 9.252896 6,486389
2 26.535193 25.697403 3.157279 25.702488 3.138116
3 51.385673 50.375546 1.965776 50.375238 1.966375
4 84.427051 83.269959 1.370523 83.269976 1.370503
5 125.699345 124.408092 1.027256 124.408092 1.027256
6 175.105920 173.748798 0.775029 173.748798 0.775029
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

21. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Radio1=1 m.m, Radio2=10 m.m.
Modo Numérica WKB Error % WKB∗ Error %
1 17.196945 15.422401 10,318948 15.307508 10,987049
2 45.094693 42.513380 5.724206 42.521802 5.705530
3 86.348180 83.341246 3.482336 83.340738 3.482925
4 141.013897 137.740260 2.321435 137.740289 2.321414
5 209.132897 205.797624 1.594810 205.797622 1.594811
6 290.624462 287.450130 1.092245 287.450130 1.092245
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

22. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
Bibliografía
1. S. Abrate (1995). Vibration of non-uniform rods and
beams. Journal of Sound and Vibration, 185(4), 703-716.
2. L. P. Akulenko, S. V. Nesterov, “High-precision methods in
eingevalue problems and their applications”, Chapman &
Hall. 2005.
3. M. V. Fedoryuk, “Asymptotic analysis:linear ordinary
differential equations”. Springer. 1993.
4. Y. C. Fung, P. Tong, “Classical and computational solid
mechanics”, Advanced series in engineering science - Vol.
1. World Scientific. 2001.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes

23. university-logo
Introducción
Método WKB
Ecuación para las frecuencias propias
Resultados
Bibliografía
5. B. Geist and J. R. McLaughlin (2001). Asymptotic formulas
for the eigenvalues of the Timoshenko beam. J. Math.
Anal. Appl., vol. 253, 341-380.
6. L. D. Landau, E. M. Lifshitz, “Theory of elasticity”, Course
of theoretical physics - Vol.7. Pergamon Press. 1975.
7. A. N. Tijonov, A. A. Samarsky, “Ecuaciones de la física
matemática”, Editorial Mir-Moscu. 1972.
8. I. Todhunter, “A history of the theory of elasticity and the
strength of material”, vol. II, Pt. II. Cambridge. Univ. Press.
1893.
Hugo Aya B., Ricardo Cano M.,Petr Zhevandrov B WKB para vigas Euler-Bernoulli no uniformes