Homología Persistente - IX Jornadas Matemáticas - UMSS
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Introducción a la homología persistente como método para estudiar las características cualitativas de un conjunto de datos.
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- 1. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Homología Persistente Rolando Espinoza La fuente darkrho@gmail.com IX Jornadas Matemáticas Carrera de Ingeniería Matemática FCyT – UMSS 28 de Noviembre 2014 1 / 68
- 2. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Introducción Problema: Dado un conjunto finito A ⊂ Rd, llamado nube de puntos, muestra de un espacio topológico X ⊂ Rd, queremos estudiar las características topológicas de X solo utilizando la información de A. X A Figura 1: Ejemplo de un espacio X y una muestra A de X. 2 / 68
- 3. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Introducción Estrategia: Representamos A como un complejo simplicial filtrado, calculamos su homología persistente y estudiamos el código de barras asociado, que son la vida de los grupos de homología (y números de Betti) asociados a cada complejo simplicial en la filtración. H0 H1 β0=9,β1=0 β0=1,β1=1 β0=1,β1=1 β0=1,β1=1 β0=1,β1=0 t0 t1 t2 t3 t4 t5 A1 A2 A3 A4 A5 ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Figura 2: Una filtración de A y su respectivo código de barras. 3 / 68
- 4. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Primera Parte Complejos Simpliciales y Homología Simplicial Complejos Simpliciales 4 / 68
- 5. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Simpliciales Simplex Definición Un simplex (o simpliciales) de dimensión k o k-simplex σ es la cápsula convexa de una colección de k + 1 puntos afínmente independientes. 0-simplicial 1-simplicial 2-simplicial 3-simplicial Figura 3: k-simpliciales básicos. 5 / 68
- 6. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Simpliciales Simplex Proposición (i) Todo k-simplex σ = x0, . . . , xk es la unión de los segmentos que unen x0 con los puntos del simplex τ = x1, . . . , xk . (ii) Dado un simplex σ, existe uno y sólo un conjunto afínmente independiente de puntos que lo generan. Es decir, los vértices de un simplex quedan unívocamente determinados por el simplex. 6 / 68
- 7. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Simpliciales Simplex – Caras Definición Sea σ = x0, . . . , xk . Todo simplex generado por un subconjunto no vacío de { x0, . . . , xk } se dice que es una cara (o faceta) de σ. Las caras de σ distintas de σ se llaman caras propias. Las caras inmediatas de σ son las caras generadas por k − 1 vértices de σ. 7 / 68
- 8. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Simpliciales Simplex – Caras Figura 4: Caras inmediatas de un 3-simplex. 8 / 68
- 9. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Simplicial Definición Un complejo simplicial (geométrico) K, es un conjunto finito de simpliciales que cumplen: (i) Si σ ∈ K y τ es una cara de σ, entonces τ ∈ K. (ii) Si σ, τ ∈ K y σ ∩ τ = ∅, entonces σ ∩ τ es una cara de σ y τ. 9 / 68
- 10. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Simplicial (a) (b) Figura 5: Ejemplo de un complejo simplicial (a) y un no complejo (b) 10 / 68
- 11. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Simplicial Teorema Sea K un conjunto de simpliciales. Entonces K es un complejo simplicial si y sólo si: (i) Si σ ∈ K y τ es una cara de σ, entonces τ ∈ K. (ii) Para todo par σ, τ ∈ K, si σ = τ, entonces ◦ σ ∩ ◦ τ = ∅. 11 / 68
- 12. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Simplicial Abstracto Definición Un complejo simplicial abstracto K es un par (VK, SK) donde VK es un conjunto finito de elementos llamados vértices y, SK es una colección de subconjuntos finitos no vacíos de VK llamados símplices, y satisfacen (i) cada elemento de VK pertenece a algún elemento de SK y, (ii) si σ es un elemento en SK, entonces todo subconjunto no vacío de σ también es un elemento de SK. 12 / 68
- 13. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Simplicial Abstracto Ejemplo Un tetraedro sin el interior: VK = { a, b, c, d } SK = {{ a } , { b } , { c } , { d } , { a, b } , { a, c } , { a, d } , { b, c } , { b, d } , { c, d } , { a, b, c } , { a, b, d } , { a, c, d } , { b, c, d }} 13 / 68
- 14. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Realización Geométrica Si K es un complejo simplicial geométrico en Rm, este determina un complejo simplicial abstracto tomando los vértices de K como conjunto de vértices del complejo abstracto. Recíprocamente, si K es un complejo simplicial abstracto, este determina un complejo simplicial geométrico de la siguiente manera: Si n es la dimensión de K, elegimos un conjunto de puntos (uno por cada vértice de K en posición general en Rm, con m ≥ 2n + 1, y definimos por cada simplex abstracto de K el simplex geométrico que se obtiene tomando la cápsula convexa de los puntos correspon- dientes al simplex. 14 / 68
- 15. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Realización Geométrica a a a a b b b c c d {a} {a, b} {a, b, c} {a, b, c, d} Figura 6: Correspondencia entre simpliciales geométricos y abstractos. 15 / 68
- 16. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Realización Geométrica Teorema Un complejo simplicial (abstracto) K de dimensión n tiene una realización geométrica R2n+1. 16 / 68
- 17. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Lema del Nervio Definición Sea F una colección finita de conjuntos. El nervio consiste en todas las subcolecciones cuya intersección de conjuntos no es vacía, Nrv F = G ⊂ F : G = ∅ . 17 / 68
- 18. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Lema del Nervio Proposición El nervio de F es un complejo simplicial abstracto. U V Nervio U U∩V Nervio U U V NervioU V W U∩V U V WU∩W V∩W Figura 7: Construcciones de nervio del espacio S1 . 18 / 68
- 19. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Lema del Nervio Teorema (Lema del Nervio) Sea F una colección finita de conjuntos cerrados tal que cada intersección entre sus elementos es vacía o contraíble. Entonces Nrv F tiene el mismo tipo de homotopía de F. Remarca Supongamos que queremos representar algún espacio topológico X de manera combinatoria. Cubrimos X por alguna colección de conjuntos F y luego construimos su nervio. 19 / 68
- 20. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Lema del Nervio Figura 8: Ilustración del Lema del Nervio. 20 / 68
- 21. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Construcción de Complejos Simpliciales Estos son algunos complejos que han sido construidos para diferentes aplicaciones: Complejo de ˘Cech Complejo de Vietoris–Rips Complejo de Delaunay* Complejo Alpha* Complejo Witness* Complejo Inducido por Grafo* 21 / 68
- 22. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo de ˘Cech ˘CechS(r) = { σ ⊆ S : ∩x∈σ B(x, r) = ∅ } Figura 9: Complejo de ˘Cech. 22 / 68
- 23. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo de Vietoris–Rips VRipsS(r) = { σ ⊆ S : B(x, r) ∩ B(y, r) = ∅, ∀x, y ∈ σ } Figura 10: Complejo de Vietoris–Rips. 23 / 68
- 24. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo de Vietoris–Rips Teorema (Lema de Vietoris–Rips) Sea S un conjunto finito de puntos y r ≥ 0, entonces ˘CechS(r) ⊆ VRipsS(r) ⊆ ˘CechS( √ 2r). Remarca El Complejo de ˘Cech satisface el Lema del Nervio mientras que el Complejo de Vietoris–Rips no. 24 / 68
- 25. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo de Delaunay El Complejo de Delaunay es isomorfo al nervio del diagrama de Voronoi. DelaunayS = { σ ⊆ S : ∩x∈σ Vx = ∅ } . Figura 11: Complejo de Delaunay. 25 / 68
- 26. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Alpha AlphaS(r) = { σ ⊆ S : ∩x∈σ {B(x, r) ∩ Vx} = ∅ } . Figura 12: Complejo Alpha. 26 / 68
- 27. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Alpha Remarca El complejo Alpha es isomorfo al nervio de las celdas de Voronoi. El complejo Alpha es un subcomplejo del complejo de Delaunay, y en consecuencia un subcomplejo del complejo de ˘Cech. El complejo Alpha tiene el mismo tipo de homotopía que la unión de las bolas B(x, r). El complejo Alpha es muy utilizado en aplicaciones durante los últimos años. 27 / 68
- 28. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Witness Complejo desarrollado por Vin de Silva y Gunnar Carlsson. Tiene una construcción más elaborada, enfocada en reducir la complejidad computacional al calcular la homología persistente. De una muestra puntual A de un espacio métrico, tomamos una submuestra L ⊆ A y construimos el complejo sobre L en lugar de A. Dado un k-simplex σ con vértices L y unos puntos w ∈ W, decimos que w es un α-testigo (witness) de σ si los vértices de σ estan dentro todos dentro dk(w) + α de w, donde dk(w) es la distancia de w a sus k + 1-ésimos vecinos más cercanos en L. Luego se hace una expansión de Vietoris–Rips. 28 / 68
- 29. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejo Inducido por Grafo El complejo inducido por grafo, desarrollado por Dey, Fan y Wang, también utiliza la idea del submuestreo y es más útil para capturar la topología e incluso geometría de una variedad. La ventaja sobre el complejo Witness es que este complejo no es necesariamente un subcomplejo del complejo de Delaunay y por lo tanto contiene más simpliciales que ayudan en la inferencia de la topología. Dado el grafo vecindad de una nube de puntos P equipado con una métrica, podemos construir su complejo inducido por un grafo en una submuestra Q ⊆ P armando un simplejo de un conjunto de vértices V ⊆ Q si un conjunto de puntos en P, cada uno siendo el más cercano a un vértice de V , forman un clique (todo par de puntos en P estan conectados por una arista). 29 / 68
- 30. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Primera Parte Complejos Simpliciales y Homología Simplicial Homología Simplicial 30 / 68
- 31. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejos de cadenas Definición (simplicial orientado) Un simplicial orientado es una ordenación de los vértices del simplicial. Dos simpliciales tienen la misma orientación si la permutación de sus índices tiene signo positivo. Definición (p-cadena) Sea K un complejo simplicial y p una dimensión. Una p-cadena c es la combinación lineal de simpliciales orientados, c = aiσi donde σi son p-simpliciales orientados y ai ∈ Z son coeficientes. Denotamos Cp = Cp(K) al grupo de p-cadenas en K. 31 / 68
- 32. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejos de cadenas Definición (operador frontera) Definimos el operador ∂p : Cp(K) → Cp−1(K) por ∂p[v0, . . . , vp] = p i=0 (−1)i [v0, . . . , ˆvi, . . . , vp] para un simplicial orientado [v0, . . . , vp]. Proposición Para cualquier λ, µ ∈ Z, ∂p(λx + µy) = λ∂p(x) + µ∂p(y). 32 / 68
- 33. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejos de cadenas ∂2 v0 v1 v2 v0 v1 v2 Figura 13: Frontera de un simplicial. 33 / 68
- 34. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejos de cadenas Ejemplo ∂2[v0, v1, v2] = [v1, v2] − [v0, v2] + [v0, v1] ∂1[v0, v1] = v1 − v0 Ejemplo (∂1 ◦ ∂2)[v0, v1, v2] = ∂1[v1, v2] − ∂1[v0, v2] + ∂1[v0, v1] = (v2 − v1) − (v2 − v0) + (v1 − v0) = 0 34 / 68
- 35. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Complejos de cadenas Definición (complejo de cadenas) El complejo de cadenas es una secuencia de grupos de cadenas conectados por homomorfismos de frontera. · · · ∂p+2 −→ Cp+1 ∂p+1 −→ Cp ∂p −→ Cp−1 ∂p−1 −→ · · · Teorema (Lema fundamental de la Homología) Para cada entero p ≥ 1, la composición ∂p ◦ ∂p+1 : Cp+1 → Cp es el homomorfismo nulo. 35 / 68
- 36. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Ciclos y Fronteras Definición (p-ciclo) Un p-ciclo c es una p-cadena con frontera vacía, es decir, ∂ c = 0. Denotamos por Zp = Zp(K) al grupo de p-ciclos. Definición (p-frontera) Una p-frontera c es una p-cadena que es una frontera de una (p + 1)-cadena, es decir, c = ∂ d con d ∈ Cp+1. Denotamos por Bp = Bp(K) al grupo de fronteras. Proposición Se tiene que Zp = Ker ∂p y Bp = Im ∂p+1. 36 / 68
- 37. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Ciclos y Fronteras Remarca Todo p-frontera es tambien un p-ciclo, o equivalentemente, Bp es un subgrupo de Zp. Figura 14: La secuencia de complejos de cadena, ciclos y grupos de frontera conectados por homomorfismos. 37 / 68
- 38. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Grupos de Homología Definición Los p-ésimo grupos de homología es el p-ésimo grupo de ciclos módulo el p-ésimo grupo de fronteras, Hp = Zp/Bp. El p-ésimo número de Betti es el rango del grupo, βp = rango Hp. 38 / 68
- 39. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Grupos de Homología Ejemplo El círculo se puede representar como un complejo simplicial de dimensión 1 de vértices v0, v1, v2. Escogemos la orientación [v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], entonces ∂1(c) = ∂1(λ0[v0, v1] + λ1[v1, v2] + λ2[v2, v0]) = λ0(v1 − v0) + λ1(v2 − v1) + λ2(v0 − v2) = (λ2 − λ0)v0 + (λ0 − λ1)v1 + (λ1 − λ2)v2. es nulo si solo si λ0 = λ1 = λ2. 39 / 68
- 40. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Grupos de Homología Ejemplo (cont’d) Por lo tanto Ker ∂1 = { λ([v0, v1] + [v1, v2] + [v2, v0]) : λ ∈ Z } ≈ Z Por otro lado, Im ∂2 = 0. Luego H1(K) = Z1/B1 = Ker ∂1/ Im ∂2 ≈ Z. 40 / 68
- 41. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Grupos de Homología Ejemplo (cont’d) Dado que ∂0 = 0, entonces Ker ∂0 ≈ Z3. Además Im ∂1 = { µ0v0 + µ1v1 + µ2v2 : µ2 = −(µ0 + µ1) y µ0, µ1 ∈ Z } Por lo tanto Im ∂1 ≈ Z2. Luego H0(K) = Z0/B0 = Ker ∂0/ Im ∂1 ≈ Z 41 / 68
- 42. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Grupos de Homología Ejemplo (cont’d) Concluimos que los grupos de homología del círculo son H0(K) = Z, H1(K) = Z, Hp(K) = 0, p ≥ 2. Remarca Para complejos de dimensión mayor, el problema se reduce a calcular el rango de la matriz asociada al homomorfismo de frontera. 42 / 68
- 43. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Segunda Parte Homología Persistente y Experimentación Homología Persistente 43 / 68
- 44. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Filtración Definición (filtración) Sea K un complejo simplicial, una función f : K → R monótona creciente, es decir, f(σ) ≤ f(τ) si σ es una cara de τ. Definimos el conjunto de nivel, K(a) = f−1(−∞, a], un subcomplejo de K para cada a ∈ R. Sea m el número de simpliciales en K, obtenemos n + 1 ≤ m + 1 diferentes subcomplejos, que ordenamos como una secuencia creciente ∅ ⊆ K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kn = K. Llamamos a esta secuencia de complejos una filtración de f. 44 / 68
- 45. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Filtración Definición (aplicación de inclusión) Para cada i ≤ j definimos una aplicación de inclusión de el espacio subyacente Ki al espacio Kj fi,j p : Hp(Ki) → Hp(Kj), para cada dimensión p. Remarca Por lo tanto a cada filtración le corresponde una secuencia de grupos de homología conectados por homomorfismos 0 = Hp(K0) f0,1 p −→ Hp(K1) f1,2 p −→ · · · fn−1,n p −→ Hp(Kn) = Hp(K), para cada dimensión p. 45 / 68
- 46. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Persistencia Definición (Grupos de homología persistente) Los p-ésimo grupos de homología persistente son las imágenes de los homomorfismos inducidos por la inclusión, Hi,j p = Im fi,j p , para 0 ≤ i ≤ j ≤ n. Los correspondientes p-ésimo números de Betti persistente son los rangos de estos grupos, βi,j p = rango Hi,j p . Remarca Notese que Hi,i p = Hp(Ki) y Hi,j p ⊆ Hp(Kj). 46 / 68
- 47. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Persistencia Definición (nacimiento y muerte de clases) Sea γ una clase en Hp(Ki), decimos que nace en Ki si γ /∈ Hi−1,i p . Si γ nace en Ki entonces muere entrando en Kj si se une con una clase anterior avanzando de Kj−1 a Kj, es decir, fi,j−1 p (γ) /∈ Hi−1,j−1 p pero fi,j p (γ) ∈ Hi−1,j p . Figura 15: La clase γ nace en Ki y muere entrando en Kj. 47 / 68
- 48. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Persistencia Definición (persistencia) Si γ nace en Ki y muere entrando en Kj entonces llamamos a la diferencía, en el valor de la función, la persistencia, pers(γ) = aj − ai. A la diferencia de los índices j − i llamamos el índice de persistencia. Si γ nace en Ki pero nunca muere entonces su persistencia es infinito. 48 / 68
- 49. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Diagramas de persistencia Definición (nacimiento y muerte de clases de persistencia) Definimos µi,j p el número de clases p-dimensionales nacidas en Ki y que mueren entrando en Kj, es decir, µi,j p = (βi,j−1 p − βi,j p ) − (βi−1,j−1 p − βi−1,j p ), para todo i < j y todo p. Definición (diagrama de persistencia) Dibujando cada punto (ai, aj) con multiplicidad µi,j p , obtenemos el p-ésimo diagrama de persistencia de la filtración, denotado por Dgmp(f). 49 / 68
- 50. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Diagramas de persistencia (ai, aj) ai aj Figura 16: Un diagrama de persistencia con un solo par (ai, aj). 50 / 68
- 51. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Diagramas de persistencia Teorema (Lema fundamental de la Homología Persistente) Sea ∅ = K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kn = K una filtración. Para cada par de índices 0 ≤ k ≤ l ≤ n y cada dimensión p, el p-ésimo número de Betti persistente es βk,l p = βk,n p + i≤k j>l µi,j p . Remarca El diagrama codifica toda la información de los grupos de homología persistente. 51 / 68
- 52. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Espacio de Códigos de Barras Definición (código de barras) Un código de barras es un conjunto finito de intervalos acotados por abajo. Para un diagrama de persistencia, los intervalos estan definidos por los pares (ai, aj). H0 H1 β0=9,β1=0 β0=1,β1=1 β0=1,β1=1 β0=1,β1=1 β0=1,β1=0 t0 t1 t2 t3 t4 t5 A1 A2 A3 A4 A5 ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Figura 17: Una filtración y su respectivo código de barras. 52 / 68
- 53. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Segunda Parte Homología Persistente y Experimentación Casos de Estudio Homología del Toro Cuarteto de Anscombe Fisher’s Iris Dataset 53 / 68
- 54. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: Homología del Toro −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −10−50510 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 x y z qq q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q qq q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q qq q q q q q q qq q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqq q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqqqqqq q q q q q q q q q q q q q qqqqqqq q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q q q q q qq q q qqqq q q qq Figura 18: Una nube de puntos sobre la superficie del Toro. 54 / 68
- 55. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: Homología del Toro (cont’d) 0.00 0.78 1.56 2.34 3.12 3.90 H0 Figura 19: Código de barras correspondiente al grupo de homología H0 del Toro. 55 / 68
- 56. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: Homología del Toro (cont’d) 0.00 0.78 1.56 2.34 3.12 3.90 H1 Figura 20: Código de barras correspondiente al grupo de homología H1 del Toro. 56 / 68
- 57. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: Homología del Toro (cont’d) 0.00 0.78 1.56 2.34 3.12 3.90 H2 Figura 21: Código de barras correspondiente al grupo de homología H2 del Toro. 57 / 68
- 58. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: Homología del Toro (cont’d) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q 0 1 2 3 4 01234 Persistence Diagram Interval Start IntervalEnd q 0 1 2 Figura 22: Diagrama de persistencia de la nube de puntos. 58 / 68
- 59. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: El Cuarteto de Anscombe 2 4 6 8 10 12 14 y dataset = I dataset = II 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x 2 4 6 8 10 12 14 y dataset = III 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x dataset = IV Figura 23: El Cuarteto de Anscombe 59 / 68
- 60. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: El Cuarteto de Anscombe (cont’d) 0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0 Dataset I − H0 0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0 Dataset I − H1 0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0 Dataset II − H0 0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0 Dataset III − H0 0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0 Dataset IV − H0 Figura 24: Códigos de barras asociados al Cuarteto de Anscombe 60 / 68
- 61. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: El Cuarteto de Anscombe (cont’d) qq qqqqqqq q q 0 2 4 6 8 10 12 0246812 Dataset I Interval Start IntervalEnd q 0 1 qqqqqqqqqq q 0 2 4 6 8 10 12 0246812 Dataset II Interval Start IntervalEnd q 0 1 qqqqqqqq q q q 0 2 4 6 8 10 12 0246812 Dataset III Interval Start IntervalEnd q 0 1 qqqqqqqqq q q 0 2 4 6 8 10 12 0246812 Dataset IV Interval Start IntervalEnd q 0 1 Figura 25: Diagramas de persistencia asociados al Cuarteto de Anscombe 61 / 68
- 62. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: Fisher’s Iris dataset Figura 26: Matriz de dispersión del dataset Iris. 62 / 68
- 63. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: Fisher’s Iris dataset (cont’d) 0.00 0.34 0.68 1.02 1.36 1.70 H0 Barcode for Iris Data 0.00 0.34 0.68 1.02 1.36 1.70 H1 Barcode for Iris Data Figura 27: Códigos de barras del dataset Iris. 63 / 68
- 64. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Experimentación: Fisher’s Iris dataset (cont’d) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq q q q q 0.0 0.5 1.0 1.5 0.00.51.01.5 Persistence Diagram of Iris Data Interval Start IntervalEnd q 0 1 Figura 28: Diagrama de persistencia del dataset Iris. 64 / 68
- 66. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Conclusiones De manera general, el método se aplica de la siguiente manera: 1 obtenemos los datos a analizar; 2 asociamos una estructura topológica para generar una filtración de complejos simpliciales; 3 estudiamos las propiedades topológicas mediante la homología persistente; 4 intepretamos las propiedes topológicas: ¿qué significa tener agujeros de dimensión 2 en nuestros datos? ¿hay diferencias topológicas entre dos conjuntos datos? ¿ cómo la evolucación de las propiedades topológicos en el tiempo? 66 / 68
- 67. Homología Persistente Rolando Espinoza Introducción Complejos Simpliciales Homología Simplicial Homología Persistente Experimentación Conclusiones Conclusiones (cont’d) No siempre se pueden sacar conclusiones directas del código de barras y diagrama de persistencia cuando aplicamos el método a un conjunto de datos reales. Es necesario complementar con otras técnicas adicionales de análisis de datos, por ejempo: análisis multivariante, reconocimiento de patrones, aprendizaje automático, etc. 67 / 68