Este documento describe las propiedades geométricas básicas de las rectas y las circunferencias en un plano. Explica cómo calcular la distancia entre puntos, la pendiente y ecuación de una recta, así como los elementos y ecuación de una circunferencia. También cubre conceptos como paralelismo, perpendicularidad, y distancias entre rectas y puntos a rectas.

1. RECTA EN PLANO – CIRCUNFERENCIA
PROF. ORLANDO MANUEL ARIAS
UNELLEZ - GUANARE

2. 1.1.- Distancia entre dos puntos
Sean P1
(x1
, y1
) y P2
(x2
, y2
) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1
y P2
denotada por d = esta dada por:
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1
(x1
, y1
) y P2
(x2
, y2
) así como también
el segmento de recta
Figura 1
I.- RECTA EN EL PLANO

3. Al trazar por el punto P1
una paralela al eje x (abscisas) y por P2
una paralela al
eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulo
rectángulo P1
RP2
y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
Pero:
y
Luego,
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor
positivo.
El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el
valor de la distancia.

4. 1.2.- Coordenadas del punto medio
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento
coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos
extremos.

5. 1.3.- Pendiente de una recta (m)
Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con
respecto al cambio en x.
Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x1
, y1
) y (x2
, y2
), entonces su pendiente
(m) está dada por:
Esto es,

6. 1.4.- Ecuación de una línea recta
La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma:
Ax + By + C = 0
1.5.- Fórmula punto pendiente
Cuando se conoce la pendiente (m) de la recta y un punto P = (x1, y1) por
donde ella pase, es posible encontrar su ecuación general mediante el empleo de la
fórmula:

7. 1.6.- Pendiente (m) cuando se conocen dos puntos
La pendiente (m) de una recta se define como la tangente del ángulo de inclinación de
dicha recta. Por tanto:
De allí que:

8. 1.7.- Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento
perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

9. 1.8.- Distancia entre rectas paralelas
Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto
cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta. Siendo la
fórmula de cálculo:

10. 1.9.- Paralelismo y perpendicularidad
Rectas paralelas
Dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, esto implica que sus
tangentes son iguales, es decir, las pendientes coinciden.
Rectas perpendiculares
Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que difieren en 90 grados
, esto implica que sus tangentes son reciprocas y difieren en signo, es decir, el
producto de sus pendientes es -1

11. II.- LA CIRCUNFERENCIA
2.1.- Definición de circunferencia
En general, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los
puntos del plano real que equidistan de un punto fijo.
2.2.- Elementos principales
Dos elementos son suficientes para definir geométricamente a una
circunferencia. Ellos son el Centro (C) y el radio (r).
El centro: Es el punto fijo de la circunferencia y lo denotaremos como C = (h, k).
Donde h y k son las coordenadas en los ejes X (abscisas) e Y (ordenadas)
respestivamente.

12. El radio: Es la distancia que hay desde el centro hasta cualquier punto P = (x, y) por
donde pase la circunferencia. Lo denotaremos con la letra “r”.
2.3.- Ecuación General de una circunferencia
Una ecuación de la forma: Ax2
+ By2
+ Dx + Ey + F = 0 con A = B pero A y B
distintas de cero; representa la ecuación general de una circunferencia.
2.4.- Fórmulas
La ecuación general de una circunferencia se puede calcular conociendo
cuanto mide el radio y cuales son las coordenadas del centro. Esto es:

13. a.- Si el centro (C) se encuentra en el origen de coordenadas y el radio es r:
x2
+ y2
= r2
b.- Si el centro (C) está fuera del origen de coordenadas y el radio es r:
(x – h)2
+ (y – k)2
= r2